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´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONS Directeursdelacollection: G.AllaireetM.Bena¨ım 56 MATHE´ MATIQUES & APPLICATIONS Comite´ deLecture/EditorialBoard GRE´GOIREALLAIRE DOMINIQUEPICARD CMAP,EćolePolytechnique,Palaiseau Proba.etMod.Aleátoires,Univ.Paris7 [email protected] [email protected] MICHELBENAÏM ROBERTROUSSARIE Mathe´matiques,Univ.deNeuchaˆtel Topologie,Univ.deBourgogne,Dijon [email protected] [email protected] THIERRYCOLIN CLAUDESAMSON Mathe´matiques,Univ.deBordeaux1 INRIASophia-Antipolis [email protected] [email protected] MARIE-CHRISTINECOSTA BERNARDSARAMITO CEDRIC,CNAM,Paris MathsAppl.,Univ.deClermont2 [email protected] [email protected] GE´RARDDEGREZ ANNICKSARTENAER Inst.VonKarman,Louvain Mathe´matique,Univ.deNamur [email protected] [email protected] JEANDELLA-DORA ZHANSHI LMC,IMAG,Grenoble Probabilite´s,Univ.Paris6 [email protected] [email protected] JACQUESDEMONGEOT SYLVAINSORIN TIMC,IMAG,Grenoble EquipeComb.etOpt.,Univ.Paris6 [email protected] [email protected] FRE´DE´RICDIAS JEAN-MARIETHOMAS CMLA,ENSCachan MathsAppl.,Univ.dePau [email protected] [email protected] NICOLEELKAROUI ALAINTROUVE´ CMAP,EćolePolytechniquePalaiseau CMLA,ENSCachan [email protected] [email protected] MARCHALLIN JEAN-PHILIPPEVIAL Stat.&R.O.,Univ.libredeBruxelles HEC,Univ.deGene`ve [email protected] [email protected] LAURENTMICLO BERNARDYCART LATP,Univ.deProvence LMC, IMAG,Grenoble laurent:[email protected] [email protected] HUYENPHAM ENRIQUEZUAZUA Proba.etMod.Aleátoires,Univ.Paris7 Matema´ticas,Univ.Autono´madeMadrid [email protected] [email protected] VALE´RIEPERRIER LMC,IMAG,Grenoble [email protected] Directeursdelacollection: G. ALLAIRE et M. BENAÏM Instructionsauxauteurs: Lestextesouprojetspeuventeˆtresoumisdirectementa`l'undesmembresducomitédelectureavec copiea`G.ALLAIREOUM.BENAÏM.Lesmanuscritsdevronteˆtreremisa`l’E´diteur sousformatLATEX2e. Jean Cousteix Jacques Mauss Analyse asymptotique et couche limite Jean Cousteix Office National d'Etudes et de Recherches Aé rospatiales (ONERA) Ecole Nationale Supé rieure de l'Aé ronautique et de l'Espace (SUPAERO) 2,avenue Edouard Belin 31055 Toulouse France e-mail : [email protected] Jacques Mauss Professeurémérite Institut de M é canique des Fluides de Toulouse (IMFT) Universit é Paul Sabatier (Toulouse III) 118, route de Narbonne 31062 Toulouse France e-mail : [email protected] LibraryofCongressControlNumber:2005938506 MathematicsSubjectClassification(2000):41A60, 76D09, 34E15, 76D10, 34E10, 34E05 ISSN1154-483X ISBN-10 3-540-31002-9SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN-13 978-3-540-31002-0SpringerBerlinHeidelbergNewYork Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationre´serve´spourtouspays. Laloidu11mars1957interditlescopiesoulesreproductionsdestineésaùneutilisationcollective. Touterepre´sentation,reproductioninte´graleoupartiellefaiteparquelqueproce´de´quecesoit,sansleconsentement del’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionneéparlesarticles425etsuivants duCodepeńal. SpringerestmembreduSpringerScience+BusinessMedia (cid:1)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2006 springer.com Imprime´ aux Pays-Bas Imprime´surpapiernonacide 3141/SPIPublisher Services-543210- Préface Deux spécialistes éminents, l’un des méthodes asymptotiques, l’autre de la simulation des écoulements avec couche limite, ont fait un effort manifeste, d’une part pour comprendre leurs méthodes respectives, d’autre part pour progresser en commun. Cela donne ce livre, très original, qui apporte une contribution importante au problème du calcul des écoulements laminaires, à grand nombre de Reynolds, avec couche limite modérément séparée. Les outils de base sur lesquels se construit le livre ne sont pas nouveaux. Méthodes asymptotiques, équations différentielles ordinaires, mécanique des fluides, équations d’Euler et de Prandtl, telles sont les briques dont l’assem- blage original conduit à l’édifice présenté. Quelques exemples, menés jusqu’à l’application numérique, rendent les résultats convaincants. Par ailleurs, des exemples classiques : couche limite au second ordre, modèle en triple pont, pourundécollementlocalisé,sontretrouvéscommeconséquencedecettenou- velle construction. Où est donc la nouveauté? Elle réside dans l’effort de réflexion effectué pour repenser complètement l’application des méthodes asymptotiques à la résolution de problèmes comportant une couche limite. Le lecteur est guidé danscecheminementàtraversdixchapitres.Leschapitres2ă6sontconsacrés aux méthodes asymptotiques, en général, et à leur utilisation pour résoudre desproblèmesd’équationsdifférentiellesordinairescomportantunpetitpara- mètre. Là apparaît la première occasion de découvrir le caractère nouveau duprocédérecommandéparlesauteurs.Engénéral,onutilisedesdéveloppe- mentsasymptotiquesappropriésàdesrégionsdifférentesetleraccordentreles développementsjoueunrôleessentiel.Onpeut,auboutducompte,construire un développement composite que les auteurs appellent approximation unifor- mémentvalable.Cettenouvelleterminologiemarquelechangementdestraté- gie. Le développement composite est l’aboutissement d’une procédure d’aller et retour entre les régions avec application d’une règle de raccord à chaque étape. L’approximation uniformément valable, plus exactement sa forme a priori, est ici le point de départ des auteurs. Ils en mènent la construction de VI Préface front, c’est-à-dire sans aller et retour, en substituant dans les équations et les conditions aux limites, et en minimisant progressivement l’erreur en un sens asymptotique. Les auteurs montrent que l’on arrive au même résultat qu’en appliquant la méthode des allers et retours avec conditions de raccord. Il faut aller juqu’au traitement des couches limites, en mécanique des fluides, à partir du chapitre sept, pour voir que ce que l’on a gagné est déci- sif. En effet, la méthode des développements asymptotiques raccordés bute, danscecas,surl’impossibilitéderésoudreleséquationsdePrandtlau-delàdu point où le frottement pariétal s’annule. De nombreux chercheurs ont essayé de surmonter la difficulté en introduisant une interaction entre écoulement non visqueux et couche limite, mais il fallait renoncer à tout développement asymptotique alors que l’on en gardait l’esprit. Le procédé des auteurs, qui s’inspiredecequ’ilsontprésentésurdeséquationsdifférentielles,consisteàsu- bodoreruneapproximationuniformémentvalableprocédantenpuissancesde Re−1/2,oùRedésignelenombredeReynolds.Onsubstituedansleséquations de Navier-Stokes, ainsi que dans les conditions aux limites, et l’on cherche à rendrelesrestesaussipetitsquepossible,asymptotiquement.Ontraitesimul- tanémentécoulementnon visqueuxetcouche limite enimposantaux deuxsi- mulations d’être aussi proches que possible dans une région qui est commune auxdeuxdomainesdevalidité.Iln’yaplusd’alleretretouravecconditionsde raccord, car ces dernières sont implicitement contenues dans le processus de construction, par minimisation asymptotique de l’erreur, de l’approximation uniformémentvalable.Lesauteurss’assurentquel’onretrouvelemêmerésul- tat qu’avec la méthode des développements asymptotiques raccordés, lorsque celle-ci fonctionne, y compris le cas du triple pont pour un décollement dont l’extension longitudinale est de l’ordre de Re−3/8. Ici, le décollement n’a plus à être localisé, mais il ne peut être massif, ce qui n’est pas étonnant. J’aiété,personnellement,trèsséduitparcelivreetjeviensd’essayerd’ex- pliquerpourquoi.Jesuispersuadéquedeschercheurschevronnéspartageront cetteopinionetquedejeuneschercheursverrontdesperspectivesderecherche s’ouvrir devant eux. Meudon, Jean-Pierre Guiraud 9 février 2004 Professeur honoraire Université Pierre et Marie Curie Paris Table des matières 1 Introduction............................................... 1 2 Introduction aux problèmes de perturbation singulière .... 9 2.1 Problèmes réguliers et singuliers........................... 10 2.1.1 Oscillateur linéaire ................................ 10 2.1.2 Problème séculaire................................. 13 2.1.3 Problème singulier................................. 15 2.2 Méthodes d’approximations pour les problèmes de perturbation singulière ................................ 17 2.2.1 Méthode des développements asymptotiques raccordés . 17 2.2.2 Méthode des approximations successives complémentaires .................................. 20 2.2.3 Méthode des échelles multiples ...................... 22 2.2.4 Méthode de Poincaré-Lighthill ...................... 23 2.2.5 Méthode du groupe de renormalisation............... 25 2.3 Conclusion ............................................. 27 Problèmes .................................................. 27 3 Structure de couche limite ................................ 33 3.1 Modèle proposé......................................... 33 3.2 Recherche d’une approximation ........................... 34 3.3 Analyse des différents cas................................. 37 3.4 Conclusion ............................................. 42 Problèmes .................................................. 43 4 Développements asymptotiques ........................... 45 4.1 Fonction d’ordre. Ordre d’une fonction ..................... 45 4.1.1 Définition d’une fonction d’ordre .................... 45 4.1.2 Comparaison de fonctions d’ordre ................... 46 4.1.3 Ordre total ....................................... 46 4.1.4 Ordre d’une fonction............................... 47 VIII Table des matières 4.2 Suite asymptotique ...................................... 48 4.2.1 Définition d’une suite asymptotique.................. 48 4.2.2 Classe d’équivalence ............................... 48 4.2.3 Fonction de jauge ................................. 49 4.3 Développement asymptotique ............................. 50 4.3.1 Approximation asymptotique ....................... 50 4.3.2 Fonctions régulières................................ 51 4.3.3 Développements asymptotiques réguliers et généralisés . 52 4.3.4 Convergence et précision ........................... 53 4.3.5 0pérations sur les développements asymptotiques ...... 56 4.4 Conclusion ............................................. 57 Problèmes .................................................. 58 5 Méthode des approximations successives complémentaires . 61 5.1 Méthode des développements asymptotiques raccordés ....... 61 5.1.1 Opérateur d’expansion ............................. 61 5.1.2 Développement extérieur – Développement intérieur ... 62 5.1.3 Raccord asymptotique ............................. 64 5.2 Couche limite ........................................... 67 5.2.1 Opérateur d’expansion à un ordre donné ............. 67 5.2.2 Approximations significatives ....................... 68 5.3 Raccord intermédiaire.................................... 69 5.3.1 Théorème d’extension de Kaplun .................... 69 5.3.2 Étude d’exemples ................................. 70 5.3.3 Règle du raccord intermédiaire ...................... 72 5.4 Le principe du raccord asymptotique....................... 74 5.4.1 Le principe de Van Dyke ........................... 74 5.4.2 Principe modifié de Van Dyke....................... 74 5.5 Quelques exemples et contre-exemples...................... 75 5.5.1 Exemple 1........................................ 75 5.5.2 Exemple 2........................................ 76 5.5.3 Exemple 3........................................ 77 5.5.4 Exemple 4........................................ 78 5.6 Réflexions sur le raccord asymptotique ..................... 79 5.6.1 La couche limite corrective ......................... 80 5.6.2 Le PMVD d’après l’hypothèse de recouvrement ....... 82 5.7 Méthode des approximations successives complémentaires.... 84 5.7.1 Principe.......................................... 84 5.7.2 Équivalence du PMVD et de la MASC régulière....... 87 5.8 Applications de la MASC................................. 89 5.8.1 Exemple 1........................................ 89 5.8.2 Exemple 2........................................ 91 5.8.3 Exemple 3........................................ 92 5.9 Conclusion ............................................. 93 Problèmes .................................................. 93 Table des matières IX 6 Équations différentielles ordinaires.........................101 6.1 Exemple 1..............................................101 6.1.1 Application de la MDAR ...........................102 6.1.2 Application de la MASC ...........................104 6.2 Exemple 2..............................................109 6.2.1 Application de la MDAR ...........................109 6.2.2 Application de la MASC ...........................111 6.2.3 Identification avec les résultats de la MDAR ..........113 6.2.4 Résultats numériques ..............................114 6.3 Exemple 3..............................................115 6.3.1 Application de la MDAR ...........................115 6.3.2 Application de la MASC ...........................118 6.3.3 Identification avec les résultats de la MDAR ..........119 6.4 Modèle de Stokes-Oseen..................................120 6.4.1 Application de la MASC ...........................120 6.4.2 Résultats numériques ..............................122 6.5 Problème épouvantable...................................123 6.5.1 Application de la MASC ...........................123 6.5.2 Résultats numériques ..............................127 6.6 Conclusion .............................................128 Problèmes ..................................................128 7 Écoulements à grand nombre de Reynolds .................135 7.1 Théories de couche limite.................................137 7.1.1 Couche limite de Prandtl...........................137 7.1.2 Triple pont .......................................141 7.2 Analyse d’une méthode intégrale ..........................149 7.2.1 Méthode intégrale .................................149 7.2.2 Mode direct ......................................153 7.2.3 Mode inverse .....................................154 7.2.4 Mode simultané ...................................155 7.3 Interaction visqueuse-non visqueuse........................157 7.4 Conclusion .............................................159 Problèmes ..................................................160 8 Couche limite interactive ..................................171 8.1 Application de la MASC .................................172 8.1.1 Approximation extérieure ..........................172 8.1.2 Recherche d’une approximation uniformément valable ..............................173 8.1.3 Jauge pour la pression .............................175 8.2 Couche limite interactive au premier ordre..................175 8.2.1 Équations de couche limite généralisées...............175 8.2.2 Conditions aux limites .............................176 8.2.3 Estimation des restes des équations..................177 X Table des matières 8.3 Couche limite interactive au second ordre...................177 8.3.1 Équations de couche limite généralisées...............177 8.3.2 Conditions aux limites .............................178 8.3.3 Estimation des restes des équations..................179 8.4 Effet de déplacement.....................................179 8.5 Modèle réduit de couche limite interactive pour un écoulement extérieur irrotationnel..................180 8.6 Conclusion .............................................182 Problèmes ..................................................184 9 Applications des modèles de couche limite interactive......187 9.1 Calcul d’un écoulement avec décollement ...................188 9.1.1 Définition de l’écoulement ..........................188 9.1.2 Méthode numérique ...............................188 9.1.3 Résultats.........................................190 9.2 Influence d’un écoulement extérieur rotationnel..............192 9.2.1 Écoulement non visqueux...........................192 9.2.2 Méthode de résolution .............................194 9.2.3 Écoulements considérés ............................197 9.2.4 Résultats.........................................197 9.3 Conclusion .............................................208 Problèmes ..................................................208 10 Formes régulières de la couche limite interactive...........211 10.1 Modèle de couche limite au second ordre ...................212 10.1.1 Modèle de couche limite interactive au second ordre ...212 10.1.2 Modèle de Van Dyke au second ordre ................213 10.2 Modèle du triple pont....................................217 10.2.1 Écoulement sur une plaque plane avec une petite bosse.......................................217 10.2.2 Développements réguliers...........................219 10.3 Résumé des approximations aux équations de Navier-Stokes...222 10.4 Conclusion .............................................222 Problèmes ..................................................223 11 Couche limite turbulente ..................................233 11.1 Résultats de l’analyse asymptotique classique ...............233 11.1.1 Équations de Navier-Stokes moyennées ...............233 11.1.2 Échelles ..........................................234 11.1.3 Structure de l’écoulement...........................236 11.2 Application de la méthode des approximations successives complémentaires (MASC) ................................239 11.2.1 Première approximation............................239 11.2.2 Contribution de la région externe de couche limite.....240 11.2.3 Contribution de la région interne de la couche limite ...242 11.3 Couche limite interactive .................................246 11.3.1 Modèle de premier ordre ...........................246