Analyse asymptotique et couche limite

399 Pages·2006·2.62 MB·French

by  Jean Cousteix

´
MATHEMATIQUES
&
APPLICATIONS
Directeursdelacollection:
G.AllaireetM.Bena¨ım
56
MATHE´ MATIQUES & APPLICATIONS
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GRE´GOIREALLAIRE DOMINIQUEPICARD
CMAP,E´colePolytechnique,Palaiseau Proba.etMod.Ale´atoires,Univ.Paris7
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MICHELBENA¨IM ROBERTROUSSARIE
Mathe´matiques,Univ.deNeuchaˆtel Topologie,Univ.deBourgogne,Dijon
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THIERRYCOLIN CLAUDESAMSON
Mathe´matiques,Univ.deBordeaux1 INRIASophia-Antipolis
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MARIE-CHRISTINECOSTA BERNARDSARAMITO
CEDRIC,CNAM,Paris MathsAppl.,Univ.deClermont2
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GE´RARDDEGREZ ANNICKSARTENAER
Inst.VonKarman,Louvain Mathe´matique,Univ.deNamur
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JEANDELLA-DORA ZHANSHI
LMC,IMAG,Grenoble Probabilite´s,Univ.Paris6
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JACQUESDEMONGEOT SYLVAINSORIN
TIMC,IMAG,Grenoble EquipeComb.etOpt.,Univ.Paris6
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FRE´DE´RICDIAS JEAN-MARIETHOMAS
CMLA,ENSCachan MathsAppl.,Univ.dePau
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NICOLEELKAROUI ALAINTROUVE´
CMAP,E´colePolytechniquePalaiseau CMLA,ENSCachan
[email protected] [email protected]
MARCHALLIN JEAN-PHILIPPEVIAL
Stat.&R.O.,Univ.libredeBruxelles HEC,Univ.deGene`ve
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LAURENTMICLO BERNARDYCART
LATP,Univ.deProvence LMC, IMAG,Grenoble
laurent:[email protected] [email protected]
HUYENPHAM ENRIQUEZUAZUA
Proba.etMod.Ale´atoires,Univ.Paris7 Matema´ticas,Univ.Autono´madeMadrid
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VALE´RIEPERRIER
LMC,IMAG,Grenoble
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Jean Cousteix
Jacques Mauss
Analyse asymptotique
et couche limite
Jean Cousteix
Office National d'Etudes et de Recherches Aé rospatiales (ONERA)
Ecole Nationale Supé rieure de l'Aé ronautique et de l'Espace (SUPAERO)
2,avenue Edouard Belin
31055 Toulouse
France
e-mail : [email protected]
Jacques Mauss
Professeurémérite
Institut de M é canique des Fluides de Toulouse (IMFT)
Universit é Paul Sabatier (Toulouse III)
118, route de Narbonne
31062 Toulouse
France
e-mail : [email protected]
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MathematicsSubjectClassification(2000):41A60, 76D09, 34E15, 76D10,
34E10, 34E05
ISSN1154-483X
ISBN-10 3-540-31002-9SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-31002-0SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Préface
Deux spécialistes éminents, l’un des méthodes asymptotiques, l’autre de la
simulation des écoulements avec couche limite, ont fait un effort manifeste,
d’une part pour comprendre leurs méthodes respectives, d’autre part pour
progresser en commun. Cela donne ce livre, très original, qui apporte une
contribution importante au problème du calcul des écoulements laminaires, à
grand nombre de Reynolds, avec couche limite modérément séparée.
Les outils de base sur lesquels se construit le livre ne sont pas nouveaux.
Méthodes asymptotiques, équations différentielles ordinaires, mécanique des
fluides, équations d’Euler et de Prandtl, telles sont les briques dont l’assem-
blage original conduit à l’édifice présenté. Quelques exemples, menés jusqu’à
l’application numérique, rendent les résultats convaincants. Par ailleurs, des
exemples classiques : couche limite au second ordre, modèle en triple pont,
pourundécollementlocalisé,sontretrouvéscommeconséquencedecettenou-
velle construction.
Où est donc la nouveauté? Elle réside dans l’effort de réflexion effectué
pour repenser complètement l’application des méthodes asymptotiques à la
résolution de problèmes comportant une couche limite. Le lecteur est guidé
danscecheminementàtraversdixchapitres.Leschapitres2ă6sontconsacrés
aux méthodes asymptotiques, en général, et à leur utilisation pour résoudre
desproblèmesd’équationsdifférentiellesordinairescomportantunpetitpara-
mètre. Là apparaît la première occasion de découvrir le caractère nouveau
duprocédérecommandéparlesauteurs.Engénéral,onutilisedesdéveloppe-
mentsasymptotiquesappropriésàdesrégionsdifférentesetleraccordentreles
développementsjoueunrôleessentiel.Onpeut,auboutducompte,construire
un développement composite que les auteurs appellent approximation unifor-
mémentvalable.Cettenouvelleterminologiemarquelechangementdestraté-
gie. Le développement composite est l’aboutissement d’une procédure d’aller
et retour entre les régions avec application d’une règle de raccord à chaque
étape. L’approximation uniformément valable, plus exactement sa forme a
priori, est ici le point de départ des auteurs. Ils en mènent la construction de
VI Préface
front, c’est-à-dire sans aller et retour, en substituant dans les équations et les
conditions aux limites, et en minimisant progressivement l’erreur en un sens
asymptotique. Les auteurs montrent que l’on arrive au même résultat qu’en
appliquant la méthode des allers et retours avec conditions de raccord.
Il faut aller juqu’au traitement des couches limites, en mécanique des
fluides, à partir du chapitre sept, pour voir que ce que l’on a gagné est déci-
sif. En effet, la méthode des développements asymptotiques raccordés bute,
danscecas,surl’impossibilitéderésoudreleséquationsdePrandtlau-delàdu
point où le frottement pariétal s’annule. De nombreux chercheurs ont essayé
de surmonter la difficulté en introduisant une interaction entre écoulement
non visqueux et couche limite, mais il fallait renoncer à tout développement
asymptotique alors que l’on en gardait l’esprit. Le procédé des auteurs, qui
s’inspiredecequ’ilsontprésentésurdeséquationsdifférentielles,consisteàsu-
bodoreruneapproximationuniformémentvalableprocédantenpuissancesde
Re−1/2,oùRedésignelenombredeReynolds.Onsubstituedansleséquations
de Navier-Stokes, ainsi que dans les conditions aux limites, et l’on cherche à
rendrelesrestesaussipetitsquepossible,asymptotiquement.Ontraitesimul-
tanémentécoulementnon visqueuxetcouche limite enimposantaux deuxsi-
mulations d’être aussi proches que possible dans une région qui est commune
auxdeuxdomainesdevalidité.Iln’yaplusd’alleretretouravecconditionsde
raccord, car ces dernières sont implicitement contenues dans le processus de
construction, par minimisation asymptotique de l’erreur, de l’approximation
uniformémentvalable.Lesauteurss’assurentquel’onretrouvelemêmerésul-
tat qu’avec la méthode des développements asymptotiques raccordés, lorsque
celle-ci fonctionne, y compris le cas du triple pont pour un décollement dont
l’extension longitudinale est de l’ordre de Re−3/8. Ici, le décollement n’a plus
à être localisé, mais il ne peut être massif, ce qui n’est pas étonnant.
J’aiété,personnellement,trèsséduitparcelivreetjeviensd’essayerd’ex-
pliquerpourquoi.Jesuispersuadéquedeschercheurschevronnéspartageront
cetteopinionetquedejeuneschercheursverrontdesperspectivesderecherche
s’ouvrir devant eux.
Meudon, Jean-Pierre Guiraud
9 février 2004 Professeur honoraire
Université Pierre et Marie Curie
Paris
Table des matières
1 Introduction............................................... 1
2 Introduction aux problèmes de perturbation singulière .... 9
2.1 Problèmes réguliers et singuliers........................... 10
2.1.1 Oscillateur linéaire ................................ 10
2.1.2 Problème séculaire................................. 13
2.1.3 Problème singulier................................. 15
2.2 Méthodes d’approximations pour les problèmes
de perturbation singulière ................................ 17
2.2.1 Méthode des développements asymptotiques raccordés . 17
2.2.2 Méthode des approximations successives
complémentaires .................................. 20
2.2.3 Méthode des échelles multiples ...................... 22
2.2.4 Méthode de Poincaré-Lighthill ...................... 23
2.2.5 Méthode du groupe de renormalisation............... 25
2.3 Conclusion ............................................. 27
Problèmes .................................................. 27
3 Structure de couche limite ................................ 33
3.1 Modèle proposé......................................... 33
3.2 Recherche d’une approximation ........................... 34
3.3 Analyse des différents cas................................. 37
3.4 Conclusion ............................................. 42
Problèmes .................................................. 43
4 Développements asymptotiques ........................... 45
4.1 Fonction d’ordre. Ordre d’une fonction ..................... 45
4.1.1 Définition d’une fonction d’ordre .................... 45
4.1.2 Comparaison de fonctions d’ordre ................... 46
4.1.3 Ordre total ....................................... 46
4.1.4 Ordre d’une fonction............................... 47
VIII Table des matières
4.2 Suite asymptotique ...................................... 48
4.2.1 Définition d’une suite asymptotique.................. 48
4.2.2 Classe d’équivalence ............................... 48
4.2.3 Fonction de jauge ................................. 49
4.3 Développement asymptotique ............................. 50
4.3.1 Approximation asymptotique ....................... 50
4.3.2 Fonctions régulières................................ 51
4.3.3 Développements asymptotiques réguliers et généralisés . 52
4.3.4 Convergence et précision ........................... 53
4.3.5 0pérations sur les développements asymptotiques ...... 56
4.4 Conclusion ............................................. 57
Problèmes .................................................. 58
5 Méthode des approximations successives complémentaires . 61
5.1 Méthode des développements asymptotiques raccordés ....... 61
5.1.1 Opérateur d’expansion ............................. 61
5.1.2 Développement extérieur – Développement intérieur ... 62
5.1.3 Raccord asymptotique ............................. 64
5.2 Couche limite ........................................... 67
5.2.1 Opérateur d’expansion à un ordre donné ............. 67
5.2.2 Approximations significatives ....................... 68
5.3 Raccord intermédiaire.................................... 69
5.3.1 Théorème d’extension de Kaplun .................... 69
5.3.2 Étude d’exemples ................................. 70
5.3.3 Règle du raccord intermédiaire ...................... 72
5.4 Le principe du raccord asymptotique....................... 74
5.4.1 Le principe de Van Dyke ........................... 74
5.4.2 Principe modifié de Van Dyke....................... 74
5.5 Quelques exemples et contre-exemples...................... 75
5.5.1 Exemple 1........................................ 75
5.5.2 Exemple 2........................................ 76
5.5.3 Exemple 3........................................ 77
5.5.4 Exemple 4........................................ 78
5.6 Réflexions sur le raccord asymptotique ..................... 79
5.6.1 La couche limite corrective ......................... 80
5.6.2 Le PMVD d’après l’hypothèse de recouvrement ....... 82
5.7 Méthode des approximations successives complémentaires.... 84
5.7.1 Principe.......................................... 84
5.7.2 Équivalence du PMVD et de la MASC régulière....... 87
5.8 Applications de la MASC................................. 89
5.8.1 Exemple 1........................................ 89
5.8.2 Exemple 2........................................ 91
5.8.3 Exemple 3........................................ 92
5.9 Conclusion ............................................. 93
Problèmes .................................................. 93
Table des matières IX
6 Équations différentielles ordinaires.........................101
6.1 Exemple 1..............................................101
6.1.1 Application de la MDAR ...........................102
6.1.2 Application de la MASC ...........................104
6.2 Exemple 2..............................................109
6.2.1 Application de la MDAR ...........................109
6.2.2 Application de la MASC ...........................111
6.2.3 Identification avec les résultats de la MDAR ..........113
6.2.4 Résultats numériques ..............................114
6.3 Exemple 3..............................................115
6.3.1 Application de la MDAR ...........................115
6.3.2 Application de la MASC ...........................118
6.3.3 Identification avec les résultats de la MDAR ..........119
6.4 Modèle de Stokes-Oseen..................................120
6.4.1 Application de la MASC ...........................120
6.4.2 Résultats numériques ..............................122
6.5 Problème épouvantable...................................123
6.5.1 Application de la MASC ...........................123
6.5.2 Résultats numériques ..............................127
6.6 Conclusion .............................................128
Problèmes ..................................................128
7 Écoulements à grand nombre de Reynolds .................135
7.1 Théories de couche limite.................................137
7.1.1 Couche limite de Prandtl...........................137
7.1.2 Triple pont .......................................141
7.2 Analyse d’une méthode intégrale ..........................149
7.2.1 Méthode intégrale .................................149
7.2.2 Mode direct ......................................153
7.2.3 Mode inverse .....................................154
7.2.4 Mode simultané ...................................155
7.3 Interaction visqueuse-non visqueuse........................157
7.4 Conclusion .............................................159
Problèmes ..................................................160
8 Couche limite interactive ..................................171
8.1 Application de la MASC .................................172
8.1.1 Approximation extérieure ..........................172
8.1.2 Recherche d’une approximation
uniformément valable ..............................173
8.1.3 Jauge pour la pression .............................175
8.2 Couche limite interactive au premier ordre..................175
8.2.1 Équations de couche limite généralisées...............175
8.2.2 Conditions aux limites .............................176
8.2.3 Estimation des restes des équations..................177
X Table des matières
8.3 Couche limite interactive au second ordre...................177
8.3.1 Équations de couche limite généralisées...............177
8.3.2 Conditions aux limites .............................178
8.3.3 Estimation des restes des équations..................179
8.4 Effet de déplacement.....................................179
8.5 Modèle réduit de couche limite interactive
pour un écoulement extérieur irrotationnel..................180
8.6 Conclusion .............................................182
Problèmes ..................................................184
9 Applications des modèles de couche limite interactive......187
9.1 Calcul d’un écoulement avec décollement ...................188
9.1.1 Définition de l’écoulement ..........................188
9.1.2 Méthode numérique ...............................188
9.1.3 Résultats.........................................190
9.2 Influence d’un écoulement extérieur rotationnel..............192
9.2.1 Écoulement non visqueux...........................192
9.2.2 Méthode de résolution .............................194
9.2.3 Écoulements considérés ............................197
9.2.4 Résultats.........................................197
9.3 Conclusion .............................................208
Problèmes ..................................................208
10 Formes régulières de la couche limite interactive...........211
10.1 Modèle de couche limite au second ordre ...................212
10.1.1 Modèle de couche limite interactive au second ordre ...212
10.1.2 Modèle de Van Dyke au second ordre ................213
10.2 Modèle du triple pont....................................217
10.2.1 Écoulement sur une plaque plane avec une
petite bosse.......................................217
10.2.2 Développements réguliers...........................219
10.3 Résumé des approximations aux équations de Navier-Stokes...222
10.4 Conclusion .............................................222
Problèmes ..................................................223
11 Couche limite turbulente ..................................233
11.1 Résultats de l’analyse asymptotique classique ...............233
11.1.1 Équations de Navier-Stokes moyennées ...............233
11.1.2 Échelles ..........................................234
11.1.3 Structure de l’écoulement...........................236
11.2 Application de la méthode des approximations successives
complémentaires (MASC) ................................239
11.2.1 Première approximation............................239
11.2.2 Contribution de la région externe de couche limite.....240
11.2.3 Contribution de la région interne de la couche limite ...242
11.3 Couche limite interactive .................................246
11.3.1 Modèle de premier ordre ...........................246