Analyse 3

95 Pages·2004·0.656 MB·French

by  Giroux A.

Analyse 3
Notes de cours
Andr´e Giroux
D´epartement de Math´ematiques et Statistique
Universit´e de Montr´eal
Mai 2004
Table des mati`eres
1 INTRODUCTION 3
1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 L’ESPACE EUCLIDIEN 5
2.1 Propri´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Propri´et´es g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Propri´et´es topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 FONCTIONS NUME´RIQUES CONTINUES 22
3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 FONCTIONS NUME´RIQUES DE´RIVABLES 32
4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Fonctions continuˆment d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 OPTIMISATION 43
5.1 Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 TRANSFORMATIONS DE L’ESPACE EUCLIDIEN 49
6.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Transformations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Transformations diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 DE´RIVATION EN CHAˆINE 59
7.1 Le th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 FONCTIONS INVERSES 68
8.1 Le th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 FONCTIONS IMPLICITES 77
9.1 Le th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES 82
10.1 Vari´et´es diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3 Extremums li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Table des figures
1 Un t´etra`edre dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Un plan dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Une discontinuit´e `a l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Une discontinuit´e le long d’un rayon . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Une fonction continuˆment d´erivable. . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Une transformation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 Les coordonn´ees sph´eriques dans R3 . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Un point de rebroussement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2
1 INTRODUCTION
L’analyse math´ematique est l’´etude approfondie du calcul diff´erentiel et
int´egral.Cecoursportesurlecalculdiff´erentieldesfonctionsdeplusieursva-
riables. On commence par y ´etablir les propri´et´es alg´ebriques, g´eom´etriques
ettopologiquesdel’espaceeuclidien`andimensions,l’espaceRn.Ony´etudie
ensuite le calcul diff´erentiel des fonctions num´eriques de plusieurs variables,
les fonctions Rn → R. On y analyse enfin les transformations diff´erentiables
des espaces euclidiens, les fonctions Rn → Rm, avec en particulier une
d´emonstration du th´eor`eme des fonctions inverses et une de celui des fonc-
tions implicites. Comme application, on pr´esente les m´ethodes classiques du
calcul diff´erentiel pour l’optimisation d’une fonction f(x ,x ,...,x ), avec
1 2 n
ou sans contrainte sur les variables x ,x ,...,x .
1 2 n
L’´etudiant est r´eput´eˆetre familier avec le calcul diff´erentiel des fonctions
d’une variable, les fonctions R → R. Rappelons quelques r´esultats impor-
tants de ce calcul.
a) Le crit`ere de Cauchy.
Une suite {xn}n∈N num´erique est convergente si et seulement si
lim |x −x | = 0.
n m
n,m→+∞
b) Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
Toute suite {xn}n∈N de points d’un intervalle compact [a,b] contient
une suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle.
c) La propri´et´e des valeurs extrˆemes.
L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un in-
tervalle compact.
d) Le th´eor`eme des accroissements finis.
Si f : [a,b] → R est d´erivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], il existe
un point c ∈]a,b[ tel que
f(b)−f(a) = f0(c)(b−a).
e) Le th´eor`eme de Taylor.
Si f est n+1 fois d´erivable dans un intervalle ouvert I contenant x ,
0
on peut ´ecrire, pour x ∈ I,
f(x) = Xn f(k)(x0)(x−x )k + f(n+1)(ξ)(x−x )n+1
0 0
k! (n+1)!
k=0
avec ξ entre x et x.
0
3
f) Les fonctions convexes.
Une fonction d´erivable f : (a,b) → R est convexe sur (a,b) si et
seulement si sa d´eriv´ee est croissante sur (a,b). Elle satisfait alors
les in´egalit´es
x −x x −x
2 3 3 1
f(x ) ≤ f(x )+ f(x )
3 1 2
x −x x −x
2 1 2 1
quelques soient a < x < x < x < b et
1 3 2
f(x) ≥ f(x )+f0(x )(x−x )
0 0 0
quelques soient x,x ∈ (a,b).
0
L’´etudiant est aussi suppos´e connaˆıtre les concepts fondamentaux de
l’alg`ebre lin´eaire : matrices, d´eterminants, ´ecriture matricielle d’un syst`eme
d’´equations lin´eaires, r`egle de Cramer pour le r´esoudre, vecteurs, transfor-
mations lin´eaires Rn → Rm et th´eor`eme des axes principaux.
1.1 Exercices
Justifier ses r´eponses.
1. Calculer
π π
limsupsinn cosnπ , liminfsinn cosnπ.
n→+∞ 2 n→+∞ 2
2. D´eterminer, sans calculatrice, le plus grand des deux nombres πe et
eπ.
3. Montrer que
x
1−x ≤ e−x ≤ 1−x+
e
lorsque 0 < x < 1.
4
2 L’ESPACE EUCLIDIEN
Un point x de l’espace euclidien `a n dimensions Rn est un n-tuplet :
x = (x ,x ,...,x ).
1 2 n
L’addition et la multiplication scalaire y sont d´efinies par
x+y = (x +y ,x +y ,...,x +y )
1 1 2 2 n n
et
λx = (λx ,λx ,...,λx )
1 2 n
respectivement. On peut donc ´ecrire
n
X (n)
x = x e
j j
j=1
si
(n)
e = (0,0,...,1,...,0)
j
(le 1 occupant la jie`me position). Pour utiliser l’´ecriture matricielle, il sera
quelquefoiscommoded’identifierlepointxavecsonvecteurposition,l’´el´ement
de Rn×1 (la matrice n × 1, le vecteur colonne) dont les entr´ees sont les
nombres x . Alors xT d´esignera l’´el´ement de R1×n (la matrice 1 × n, le
j
vecteur ligne) obtenu par transposition matricielle :
xT = (x x ... x ).
1 2 n
(Remarquer que les entr´ees d’une matrice 1×n ne sont pas s´epar´ees par des
virgules.)
2.1 Propri´et´es alg´ebriques
Une somme
N
X
λ x
k k
k=1
est une combinaison lin´eaire des points x , une combinaison affine
k
si PN λ = 1 et une combinaison convexe si, de plus, λ ≥ 0 pour
k=1 k k
tout k. Un ensemble E ⊆ Rn est un ensemble convexe s’il contient toute
combinaison convexe de ses points.
Exemple.
5
Ladroitepassantpara,b ∈ Rn (a 6= b)estl’ensembledescombinaisons
affines de a et b :
x = (1−λ)a+λb = a+λ(b−a), λ ∈ R.
Danslecasg´en´eriqueou`a 6= b pourtoutk,celaimposelesn−1contraintes
k k
suivantes sur les coordonn´ees du point x qui la parcourt :
x −a x −a x −a
1 1 2 2 n n
= = ··· = .
b −a b −a b −a
1 1 2 2 n n
Le segment [a,b] est l’ensemble des combinaisons convexes de a et b
x = (1−λ)a+λb, 0 ≤ λ ≤ 1.
Exemple.
Soient x ,x ,x ,...,x m+1 points tels que les m vecteurs
0 1 2 m
x −x ,x −x ,...,x −x
1 0 2 0 m 0
soient lin´eairement ind´ependants. Le poly`edre (le polytope)
[x ,x ,x ,...,x ]
0 1 2 m
de sommets x ,x ,x ,...,x est l’ensemble des combinaisons convexes
0 1 2 m
de ces points. C’est un ensemble convexe. Lorsque m = 2, on obtient un
triangledontlescˆot´essontlessegments[x ,x ],[x ,x ]et[x ,x ].Lorsque
0 1 1 2 2 0
m = 3,onobtientunt´etra`edredontles facessontlestriangles[x ,x ,x ],
0 1 2
[x ,x ,x ], [x ,x ,x ] et [x ,x ,x ] et les arˆetes sont les cˆot´es [x ,x ],
0 1 3 0 2 3 1 2 3 0 1
[x ,x ], [x ,x ], [x ,x ], [x ,x ] et [x ,x ] de ces triangles.
0 2 0 3 1 2 1 3 2 3
Exemple.
Un pav´e (un parall´el´epip`ede rectangle) P est d´efini par n in´egalit´es
strictes ou larges :
P = (a ,b )×(a ,b )×···×(a ,b )
1 1 2 2 n n
(dansR,[a,b]d´esigneunintervalleferm´e,]a,b[,unintervalleouvertet(a,b),
un intervalle quelconque).
6
x
3
(cid:1)0,0,c(cid:2)
(cid:1)0,0,0(cid:2) (cid:1)0,b,0(cid:2) x
2
(cid:1)a,0,0(cid:2)
x
1
Fig. 1 – Un t´etra`edre dans R3
Lorsque n = 2, il est possible d´efinir un produit xy qui prolonge `a R2 la
structure de corps qui existe sur R. Identifions xe(1) ∈ R avec xe(2) ∈ R2.
1 1
Il suffit de d´efinir
(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)
e e = e , e e = e e = e , e e = −e
1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1
et de postuler la distributivit´e de ce produit sur l’addition et sa commuta-
tivit´e avec la multiplication scalaire; on obtient :
(2) (2)
xy = (x y −x y )e +(x y +x y )e .
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
(2) (2)
Si x e +x e 6= 0,
1 1 2 2
1 x −x
1 (2) 2 (2)
= e + e .
x1e(12)+x2e(22) x21+x22 1 x21+x22 2
Puisque (e(2))2 = −1, ce corps ne peut pas ˆetre ordonn´e. Il s’agit en fait du
2
corps des nombres complexes C.
Le produit pr´ec´edent ne peut pasˆetre prolong´e `a R3. Supposons en effet
le contraire. Identifions x e(2) +x e(2) ∈ R2 avec x e(3) +x e(3) ∈ R3 et
1 1 2 2 1 1 2 2
posons
(3) (3) (3) (3) (3)
e e = u e +u e +u e .
2 3 1 1 2 2 3 3
7
Alors on devra avoir
−e(3) = (e(3))2e(3) = e(3)(e(3)e(3))
3 2 3 2 2 3
(3) (3) (3) (3)
= e (u e +u e +u e )
2 1 1 2 2 3 3
(3) (3) (3) (3) (3)
= u e −u e +u (u e +u e +u e )
1 2 2 1 3 1 1 2 2 3 3
de telle sorte que
0 = (−u +u u )e(3)+(u +u u )e(3)+(1+u2)e(3)
2 1 3 1 1 2 3 2 3 3
et en particulier
1+u2 = 0
3
ce qui est absurde.
2.2 Propri´et´es g´eom´etriques
Le produit scalaire est d´efini par
n
X
x·y = x y = xTy
j j
j=1
et la norme d’un vecteur par
v
kxk = √x·x = uutXn x2.
j
j=1
Avec ces notations, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz s’´ecrit
|x·y| ≤ kxkkyk
avec´egalit´esietseulementsilesvecteursxetysontlin´eairementd´ependants
et l’in´egalit´e du triangle devient
kx+yk ≤ kxk+kyk
avec´egalit´epr´ecis´ementlorsquelesvecteursxetysontdesmultiplespositifs
l’un de l’autre.
Exemple.
8
La boule ouverte de centre x et de rayon r > 0 est d´efinie par une
0
in´egalit´e stricte
B(x ,r) = {x | kx−x k < r}
0 0
et la sph`ere de mˆemes centre et rayon est
S(x ,r) = {x | kx−x k = r}.
0 0
Une boule est un ensemble convexe.
Observons que l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz est ´equivalente `a
(cid:26) (cid:27)
|x·y|
kyk = sup | x 6= 0 = sup{|x·y| | kxk = 1}.
kxk
La norme d’une transformation lin´eaire A : Rn → Rm est d´efinie
par
(cid:26) (cid:27)
kA(x)k
kAk = sup | x 6= 0 = sup{kA(x)k | kxk = 1}.
∞
kxk
Si
 
a a ··· a
1,1 1,2 1,n
a2,1 a2,2 ··· a2,n
A =  . . .  ∈ Rm×n
 . . . 
 . . ··· . 
a a ··· a
m,1 m,2 m,n
est sa matrice relativement aux bases canoniques, c’est-`a-dire si
(m) (n)
a = e ·A(e )
i,j i j
donc
 
n n
X (n) X (n)
A(x) = A xjej  = xjA(ej )
j=1 j=1
 
n m m n
X X (m) X X (m)
= xj ai,jei =  ai,jxjei ,
j=1 i=1 i=1 j=1
on a
v
u m n
kAk∞ ≤ utXXa2i,j = kAk.
i=1 j=1
9