Analyse 2e année PC PSI

384 Pages·2004·7.58 MB·French

by  Bernard Beck

H HACHETTE
Supérieur

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lesarticles425etsuivantsduCodepénal.
A
vant-propos
L’objectifpremierdecetouvrageestlaréussiteauxconcoursetauxexamens.
Pour cela, nous avons tenté de rendre intelligible et attrayante une petite partie des mathématiques : celle du pro-
gramme.
Danscetteoptique,noussouhaitonsquecelivresoitunoutildetravailefficaceetadaptéauxbesoinsdesenseignants
etdesétudiantsdetoutniveau.
LecoursestagrémentédenombreuxExemplesetApplications.
LesExercicesaidentl’étudiantàtestersacompréhensionducours,luipermettentd’approfondirsaconnaissancedes
notionsexposées...etdepréparerlesorauxdesconcours.
LesExercicesrésolusetTDsontplusaxésverslesécritsdesconcours.
L’algorithmiqueetlecalculformelfontpartieduprogrammedesconcours.
DenombreuxexercicesprennentencomptecetteexigenceainsiquedesTDd’Algorithmiqueentièrementrédigés.
Lesauteurs
délit
un
est
autorisée
non
photocopie
La
C/PSI.
P
année,
e2
Math,
Prépa/
H
–
Livre
Hachette
c(cid:4)
3
S
ommaire
SÉRIESNUMÉRIQUES 5
ESPACESVECTORIELSNORMÉS 35
CONTINUITÉ 63
SUITESETSÉRIESDEFONCTIONS 92
DÉRIVATION,INTÉGRATIONDESFONCTIONSVECTORIELLES 116
LIENENTREDÉRIVATIONETINTÉGRATION 159
FONCTIONSINTÉGRABLES 192
SÉRIESENTIÈRES 230
SÉRIESDEFOURIER 254
CALCULDIFFÉRENTIEL 278
TD:INDICATIONSETRÉPONSES 311
EXERCICES:INDICATIONSETRÉPONSES 320
INDEX 379
1
Séries
numériques
Archimède(environ287-212av.J.-C.) étudiel’aire
délimitéepar unarcdeparaboleet la cordequile
sous-tend.Il introduitalorslasérie:
1 1 1 1 1
1+ , 1+ + , 1+ + ···
4 4 16 4 16
4
et déterminesa limite .
3
Le XVIe siècleapporteun doubleprogrès:un
effortdesymbolismemathématiquerend lescalculs
plusaiséset lanotiondefonctionsedégagedeson
originegéométrique.
O
Vers1660,soucieuxd’exprimerdesfonctions(ainsi
B J E C T I F S
ln(1+x) et (1+ x)a) commesommedeséries,les
mathématicienss’intéressentà l’étude
Notiondesérieconvergente.
systématiquedesséries.
Toutefois,ladéfinitionrigoureusedela Sommeetrested’unesérieconvergente.
convergence Comparaison de séries à termes positifs délit
et certainsoutilsci-dessousexposésn’apparaîtront pourendéterminerlanature. estun
qu’au débutdu XIXe siècle,avec Abel,Cauchyet SériesdeRiemann. autorisée
GaCuasnst.oLr,eàs tlraafivnaudxudXeIDXeedsieèkcilned,,pWeremieertsttrroanstsdeet CRoègmlepadreaids’oAnlàemunbeeritn.tégrale. photocopienon
compléter lathéorie. La
Écrituredécimaled’unréelpositif(PSI). C/PSI.
P
Cechapitrevousprésente, danslelangage CritèredeCauchydesséries(PSI). année,
mathématiqued’aujourd’hui,cettedéfinitionet les e2
Critèrespécialdessériesalternées. Math,
teqchuneicqeusesouqtuilisepneduévceonutléevnetn.tDueelplelmuse,nntoêutsrevmerirsoenns Sériesabsolumentconvergentes. HPrépa/
–
donnée,œluavqrueeplloeuerstdaétleorrmstirnaenrslfaornmatéuereend’uunneesséuriitee. conPvreordguenittedse. Cauchy de séries absolument HachetteLivre
c(cid:4)
5
AnalysePC-PSI
Dans ce chapitre, l’appellation «série» désignera uniquement des séries à
termesréelsoucomplexes. K est R ou C.
1
Généralités
Il arrivera que la suite u ne
1.1. Définition d’une série soit définie qu’à partir d’un cer-
tainrang,leplussouvent k = 1
Soit u = (u ) une suite d’éléments de K. On pose, pour tout n de N :
n ou k =2. Lasérieneseraalors
(cid:46)n
définiequ’àpartirdecerang.
S = u . Lasuiteainsidéfinie S = (S ) estunesuited’élémentsde K,
n k n
0 (cid:46) (cid:46) En pratique, connaissant
appeléesérieassociéeàlasuite u. Onlanote un ou un, s’ilyaun (un), la suite (Sn) de(cid:46)s sommes
n partielles de la série u est
risquedeconfusionsurl’indice. k
définieparlaformule:
(cid:46)n
L’élémentde K: S = u estappelélasommepartielled’indice n de (cid:46)n
n k
∀n S = u .
(cid:46) 0 n k
lasérie u . 0
k
Réciproquement,silasuite (S )
n
est connue, le terme général u
(cid:26) (cid:33) n
1 (cid:46)1 de la série est déterminé par
Exemple: La série de terme général , c’est-à-direla série , est
k k S0 =u0 et:
appeléesérieharmonique. ∀n ∈N∗ u = S −S .
n n n−1
Lasuite u estalorsparfaitement
1.2. Convergence et divergence d’une série déterminéeetunique.
La série de terme général u est dite convergente si la suite (S ), où
k n RapportMines-Ponts,2003
(cid:46)n
S = u , convergedans K. Sinon,elleestditedivergente. « De trop nombreux étudiants
n k
confondent la notion de série et
k=0
la somme d’une telle série quand
Notation elle converge. Plus généralement,
(cid:46)
on déplore un amalgame entre les
Lorsquelasérie u converge,lalimitedelasuite (S ) dessommespar-
k n
notations:
(cid:46)∞ (cid:46)∞ (cid:46) (cid:46) (cid:46)+∞ (cid:46)n
tiellesestappeléesommedelasérieetnotée un ou un. un, un, un et uk.»
délit n=0 0 n(cid:1)0 n=0 k=0
un
est
autorisée Théorème(cid:46)1
photocopienon Silasérie un converge,sontermegénéraltendvers 0. I(cid:46)l fauukt bdieenladisstoimngmueer, la(cid:46)∞séurine,
La
C/PSI. Démonstration de la série qui n’est défini0e que
P
année, Letermegénéraldelasérieest: un = Sn−Sn−1. lorsquelasérieconverge.
eMath,2 Unesériedontletermegénéralnetendpasvers 0 diverge.Elleestditesérie
Prépa/ grossièrementdivergente. Dnoemuxbrseérfiiensiqduei dteifrfmèreesntsopnatr udne
H
Livre– Exemple : Une s(cid:46)érie géométrique est une série associée à une suite géomé- mêmenature,c’est-à-diresontsi-
Hachette tmrieqnute,.pLoaursé|raie|<1,anp cfioxnévedragnessiN,etetseculefimxéendtasnis, |Ca,| <las1é.riPelguésogménétérriaqluee- mveurglteanntéems.entconvergentesoudi-
c(cid:4)
6
1.
Sériesnumériques
(cid:25) (cid:32)
determegénéral cak convergeetapoursomme: La somme d’une série géomé-
k(cid:1)p
triqueconvergenteestdoncobte-
(cid:46)∞ cak = cap . nueparlaformule:
1−a
k=p premierterme
Lorsque |a|(cid:2)1 et c estnonnul,lasérieestgrossièrementdivergente. 1−raison
RapportCentrale,2001
Théorème2
(cid:46) «Il est très courant de manipuler
La suite (u ) converge si, et seulement si, la série (u − u )
n n+1 n des séries ou des intégrales alors
converge.
quecenesontencorequedessym-
boles.»
Démonstration Cauchy,en1821,écrivait:
(cid:44)
«J’aiétéforcéd’admettrediverses
Soit u =(u ) unesuitenumérique.Lasommepartielle S delasérie (u −u )
n n n+1 n propositions qui paraîtront peut-
est:
(cid:44)n être un peu dures; par exemple,
S = (u −u )=u −u .
n k+1 k n+1 0 qu’une série divergente n’a pas de
k=0 somme».
Lasérieconvergesi,etseulementsi,lasuite u converge.
(cid:5) Pours’entraîner:ex.1à4.
(cid:46) 1
Exemple:Naturedelasérie
n2 RapportE4A,2002
(cid:46) 1 « Quelques erreurs trop souvent
• Lasuite (Sn) dessommespartiellesdelasérie n2 estcroissante,ainsi rencontrées: si le terme générique
(cid:46) 1 delasérietendvers 0,alorscelle-
quecelle, (T ), delasérie .
n n(n+1) ci converge; u(n) est équivalent
Deplus: à 0,donclasérieconverge.»
1 1 1
∀n (cid:2)2 (cid:3) (cid:3) .
n(n+1) n2 n(n−1)
Onendéduit:
1
T − (cid:3) S −1(cid:3) T .
n 2 n n−1
Lessuites (S ) et (T ) sontdoncdemêmenature.
n n (cid:26) (cid:33)
1
• Laconvergencedelasuite entraînecelledelasérie AvecMaple
n
(cid:26) (cid:33)
(cid:46) 1 1 (cid:46) 1 7 F’8*AC*6&*6%A((#69ADDABBB(9
− , donccelledelasérie , puis
n+1 n n(n+1) ,’8*AC*6&*6%A((#69ADDABBB(< 7
Ecenlfilend:el(cid:46)aNsérie1(cid:46)n12.(cid:46)N (cid:26) 1 1(cid:33) 1 F,’’88**AACC**66&&**661(cid:46)n%%=00AA10((n(((##n661+99AA1DD)DD=--661133--006600--10))EE((9< nonautoriséeestundélit
TN = 1 n(n+1) = 1 (n+1) − n =1− N +1. (cid:46)∞ 1 =1 photocopie
Lasérie (cid:46)n(n1+1) convergedoncvers 1. n=1 n(n+1) PC/PSI.La
année,
1.3. Reste d’une série convergente eMath,2
Lorsquelasérie (cid:46)u converge,onpeutalors,pour n fixédans N, définir Prépa/
k (cid:46) –H
RRn =esSta−ppSenlé, roeùsteSde’ostrdlaresomnmdeedlaeslaérsieéri(cid:46)e u .uk. HachetteLivre
n k c(cid:4)
7
AnalysePC-PSI
Théorème3
(cid:46)
Soit u une série convergente et (R ) la suite des restes de cette
k n
série.Alors:
• lasuite (R ) tendvers 0 ;
n
(cid:46)∞
• pourtout n, ona R = u ;
n k
n+1
(cid:46)∞
• pourtout n, u = S + R .
k n n
0
Encalculnumérique,majorer |R |=|S−S |, c’estmajorerl’erreurcommise
n n
enapproximant S par S .
n
1.4. Linéarité
Théorème4
L’ensemble des séries convergentes à coefficients dans K est un K-
espace vectoriel et l’application qui, à une série convergente, associe sa
somme,estlinéaire.
(cid:26) (cid:33)
(cid:46) (cid:46) (cid:46) (cid:46) 1
• Si les séries u et v convergent, alors la série (u + v ) Les séries n+ et
n n n n 2n
converge. (cid:46)
(cid:46) (cid:46) n divergent, mais la série
• Si la série u converge et la série v diverge, alors la série (cid:15)(cid:26) (cid:33) (cid:19)
(cid:46) n n (cid:46) 1
(u +v ) diverge. n+ −n converge
n n 2n
(cid:46) (cid:46) (cid:46)(cid:15)(cid:26) 1 (cid:33) (cid:19)
• Siles(cid:46)séries un et vn divergent,onnepeutriendire,apriori,de etlasérie n+ 2n −2n
lasérie (un+vn). diverge.
Application 1
(cid:46) 1
Étudedelasérieharmonique
délit k
un
est
nonautorisée 1pa)rMlaonctormerpalaradisivoenrgàeunnceeidnetéglarasléer.ie harmonique y
photocopie 2)Enutilisantlacomparais(cid:46)onnà1uneintégrale,don-
C/PSI.La nerunéquivalentde Sn = k.
année,P 3) Donnerun développemenk=t1asymptotiqueà deux y= 1t
e2
Math, termesde Sn.
HPrépa/ 4(cid:46)) En u1tilisant ce résultat, montrer que la série 1
– convergeetcalculersasomme. n
HachetteLivre 1)M(o2nntr+on1s)nladivergencedelasérie. nD−o1c.1.n n+1 t
c(cid:4)
8