ANALYSE 1. Espaces vectoriels normés. Séries à termes constants. Dérivation. Intégration SPÉ • PC • PSI • PT

193 Pages·1997·24.09 MB·French

by  Povl Thomsen

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Pov. Thomsen
5i5
Professeur en Spé PC au lycée Sainte-Marie à Antony
i+10
AIIALYSE
1. Espaces yectoriels normés
Séries à termes constants
Dériyation. Intésra(ion
SPÉ • PC • PSI • PT
Résumés de cours
63 exercices et problèmes avec solutions
Coordination: Daniel FREDDN
VILLE DE LYON
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MASSON
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Cette pratique qui s'est généralisée, notamment dans les
établissements d'enseignement, provoque une baisse brutale des
achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs
de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement
est aujourd'hui menacée.
lE Nous rappelons donc que la reproduction et la vente sans
PHOTOCOPILLAGE autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites.
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© Masson, Paris. 1997
ISBN: 2-225-85531-5
MASSON S.A. 120, bd Saint-Germain, 75280 Paris Cedex 06
TABLE DES MATIÈRES
Introduction ..................................................... 5
1. Espaces vectoriels normés .................................... 7
• Normes et distances
• Suites dans un espace vectoriel normé
• Étude locale d'une application
• Applications continues
Énoncés des exercices et problèmes ................................ 17
Coups de pouce .................................................... 19
Corrigés ........................................................... 20
2. Séries à termes constants ................................... 31
• Séries réelles ou complexes
• Convergence des séries à termes réels positifs
• Convergence des séries à termes réels ou complexes
• Séries alternées
Énoncés des exercices et problèmes ................................ 35
Coups de pouce ......................... ........................... 38
Corrigés ...... " ................................................... 40
3. Dérivation des fonctions vectorielles ....................... 59
• Dérivée en un point
• Fonctions de classe Ck
• Ck-difféomorphismes
Énoncés des exercices et problèmes ................................ 63
Coups de pouce .................................................... 68
Corrigés ........................................................... 69
4 Table des matières
4. Intégration sur un segment des fonctions vectorielles .... 85
• Fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux
• Définition de l'intégrale
• Propriétés de l'intégrale
Énoncés des exercices et probl(;me ................................. 89
Coups de pouce .................................................... 90
Corrigés ........................................................... 91
5. Dérivation et intégration ................................... 99
• Primitive et intégrale d'une fonction continue par morceaux
• Théorème du relèvement
• Étude globale des fonctions de classe Cl
• Développements limités
Énoncés des exercices et problèmes ............................... 103'
Coups de pouce ................................................... 106
Corrigés ......................................................... 107
6. Intégration sur un intervalle quelconque ................. 123
• Fonctions intégrables
• Normes définies par des intégrales
Énoncés des exercices et problèmes ............................... 127
Coups de pouce ................................................... 131
Corrigés ......................................................... 132
7. Problèmes généraux Énoncés ............................ 153
Coups de pouce .................................... ............... 161
Corrigés ......................................................... 164
INTRODUCTION
Cet ouvrage est le premier d'une série de trois volumes destinés aux
étudiants de seconde année des sections PC, PSI et PT.
Comme dans les autres Flash, vous y trouverez:
- un résumé bref, mais complet, des notions mathématiques actuelle
ment au programme des concours des grandes écoles scientifiques;
- des exercices variés.
Certains exercices sont des applications directes du cours destinées à
vous familiariser avec les notions étudiées, d'autres demandent plus de
recherche, mais ils sont tous corrigés de façon détaillée et tous les raison
nements et calculs sont explicités.
Nous sommes en effet convaincus que la réussite aux concours demande
plus l'étude approfondie d'un nombre restreint d'exemples bien choisis,
plutôt qu'un survol superficiel d'un nombre élevé d'exercices;
- des coups de pouce, situés entre les énoncés et les corrigés, vous per
mettront d'avancer si vous êtes bloqué. Ils sont, bien sûr, à consommer
avec modération; .
- des problèmes généraux qui sont des problèmes donnés aux concours,
mais adaptés aux programmes actuels.
Les éléments de programme, et les exercices associés, spécifiques aux
P SI sont signalés par un • en marge, et les indications concernant les
PT par un •.
Un conseil : quand vous avez terminé un exercice qui vous semble dif
ficile, n'oubliez pas de le marquer afin de pouvoir le refaire au moment
des révisions.
Nous espérons que ces livres vous aideront de façon agréable et efficace.
Bon courage!

ESPACES VECTORIELS
,
NORMES
• Normes et distances
• Suites dans un espace vectoriel normé
• Étude locale d'une application
• Applications continues
,
L'essentiel du cours
On étudie des espaces vectoriels sur le corps K avec K = IR ou K = cr: .
• Normes et distances
• Norme
- Définition
Une norme sur un espace vectoriel E est une application N de E dans
IR qui vérifie :
(l)VxEE N(x) ~ 0 ;
(2) Vx E E N(x) =0 ==} x=O;
(3) V), E K Vx E E N (),x) = 1),1 N(x) ;
(4)VXEE VyEE N(x+y)~N(x)+N(y).
On écrit souvent N(x) = IIxii , ou N(x) = IIxilE .
- Propriétés
IIxii = 0 {==} x = 0 ;
~ ~ ~:: ~
Illxii -lIylll { ::: } IIxli + lIyll .
Le couple (E, N) est appelé espace vectoriel normé.
- Exemples classiques
1. E = Kn ; pour x = (Xl, ... ,Xn) E E, on définit:
= Ixt! + ... +
Nl(x) Ixnl
Jlxll2 + ... +
Ixnl2
sup {lxll,.·., Ixn!}.
8 Espaces vectoriels normés
2. E = C([a, b], K) étant l'espace vectoriel des fonctions continues sur
[a, b] et à valeurs dans K, pour J E E on pose :
lb .lb- -----
N1(f) = IJ(t)1 (ft ; N2(f) = IJ(t)12 dt.
N1 est la norme de la convergence en moyenne, N2 la norme de la con
vergence en moyenne quadratique.
3. E = B(A, F) étant l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur
un ensemble A et à valeurs dans un espace vectoriel normé F, on pose :
Noe(f) = sup IIJ(t)11
tEA
où 1111 désigne la norme dans F.
Noe est la norme de la convergence uniforme.
4. E étant muni d'un produit scalaire (x, y) (xly) ,
f---+
N(x) = J(xlx), xE E
définit une norme appelée norme euclidienne si K = IR et hermitienne si
K = ([;. Les normes N2 des exemples 1 et 2 sont des normes euclidiennes
ou hermitiennes.
*' Dans la suite, E est un espace vectoriel normé.
En PT, on se limitera aux cas E = IRn et E = ([;n .
• Distance associée à une norme
- Définition
La distance entre deux éléments x et y de E est :
d (x, y) = lIy - xII·
- Propriétés
VxE E VYE E d(x,y) ~ 0 ;
VxE E Vy E E d (x, y) = 0 {::::=> x = y;
VxE E VYE E d(x,y) = d(y,x) ;
VxE E VYE E Vz E E d(x,y) ~ d(x,y) + d(y,z).
- La distance entre deux parties A et B non vides de E est :.
d(A,B) = inf{d(x,y); x E A, y E B}.
- Le diamètre d'une partie non vide A est:
diamA = sup{d(x,y); xE A,y E A}.
- Si diam A est fini, A est dite bornée.
- Une application J définie sur un ensemble U et à valeurs dans E est
dite bornée si J(U) est une partie bornée de E.
Espaces vectoriels normés 9
• Boules
La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est:
B(a,r)={xEE; IIx-ali <r}.
La boule fermée:
B(a,r)={xEE; IIx-all~r}.
Exemple: Pour f E E = B([a, b], IR) muni de la norme Noo , BU, r)
est l'ensemble des fonctions 9 dont le graphe est inclus dans le "tuyau" :
{(X,Y)EIR2; a~x~b, If(x)-yl<r} .
• Suites dans un espace vectoriel normé
• Convergence
- Une suite (an)nEN de points de E converge vers lE E si, pour tout
é > 0 , il existe un rang r à partir duquel lIan -lll ~ é , ce qui s'écrit:
Vé>O 3rElN Vn~r lIan-lll~é.
Untel élément l est alors unique; il est appelé la limite de (an) et on
écrit:
lim an = l .
n--++oo
On dit alors que (an) est une suite convergente.
- Dans le cas où E = IR, on définit de plus:
lim an = +00 par: Vk E IR 3 r E 1N 'In ~ r an ~ k ,
n--++oo
lim an = -00 par: Vk E IR 3 rEIN 'In ~ r an ~ k .
n--++oo
- Opérations algébriques
Si lim an = l et lim b = l', alors:
n
n--+oo n--++oo
lim (an+bn)=l+l',
n--++oo
et, pour À E K :
• Normes équivalentes
A priori, la convergence d'une suite dépend de la norme choisie.
N et N'étant deux normes sur E, pour que toute suite convergente dans
(E, N) soit également convergente dans (E, N'), il faut et il suffit qu'il .
existe a > 0 tel que N' ~ aN .
N et N' sont équivalentes s'il existe a > 0 et a' > 0 tels que N' ~ aN
et N ~ a'N',
10 Espaces vectoriels normés
ou encore si les fonctions ~ et ;, sont bornées sur E \ {O} .
Alors une suite converge dans (E, N) si et seulement si elle converge
dans (E, N').
• Cas d'un espace vectoriel de dimension finie
- Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont
équi valentes.
- Soit E de dimension finie, (el, ... , es) une base de E. Une suite (an)
dans E s'écrit:
an = aln el + ... + asn es,
où (aln), ""., (asn) sont des suites dans K.
(an) converge vers l li el + ... + ls es si et seulement si (ajn) converge
O."
vers lj pour tout jE {l, ... ,s}.
Dans la suite du chapitre, les espaces vectoriels sont supposés de dimen
sion finie.
• Comparaison de suites
Soit (an) une suite dans E et (an) une suite réelle positive.
- S'il existe M > 0 tel que, pour tout n E IN, Ilanli ~ Man, on dit
(an) domine (an) et on écrit an = O(an) .
- Si, pour tout é > 0, il existe un rang à partir, duquel on a Il an Il ~é an,
(an) est négligeable par rapport à (an) et on écrit an = o( an) .
- Si (an) ne s'annule pas, on a :
an = O(an) si et seulement si ( ::) est bornée;
an = o(an) si et seulement si lim an = O.
n-t+oo an
Deux suites réelles ou complexes (an) et (bn) sont équivalentes si,
pour tout é > 0, il existe un rang à partir duquel on a :
lan-bnl~élanl ·
On écrit an '" bn .
+00
Si an ne s'annule pas, an '" bn si et seulement si lim bn = I .
+00 n-++oo an
• Suites de Cauchy
- Une suite (an) dans E est dite de Cauchy si, pour tout é > 0, il existe
un rang r à partir duquel on a lIam - an Il ~ é, ce qui s'écrit:
'ié>O 3rEIN 'im~r 'in~r lIam-anll~é,