analízis feladatgy˝ujtemény i

338 Pages·2014·4.63 MB·Hungarian

´ ˝ ´
ANALIZIS FELADATGYUJTEMENY I
Jegyzetek ´es p´eldat´arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz
sorozat
Algoritmuselm´elet
Algoritmusok bonyolults´aga
Analitikus m´odszerek a p´enzu¨gyben ´es a k¨ozgazdas´agtanban
Anal´ızis feladatgyu˝jtem´eny I
Anal´ızis feladatgyu˝jtem´eny II
Bevezet´es az anal´ızisbe
Complexity of Algorithms
Differential Geometry
Diszkr´et matematikai feladatok
Diszkr´et optimaliz´al´as
Geometria
Igazs´agos eloszt´asok
Introductory Course in Analysis
Mathematical Analysis – Exercises I
Mathematical Analysis – Problems and Exercises II
M´ert´ekelm´elet ´es dinamikus programoz´as
Numerikus funkcion´alanal´ızis
Oper´aci´okutat´as
Oper´aci´okutat´asi p´eldat´ar
Parci´alis differenci´alegyenletek
P´eldat´ar az anal´ızishez
P´enzu¨gyi matematika
Szimmetrikus struktu´r´ak
T¨obbv´altoz´os adatelemz´es
Vari´aci´osz´am´ıt´as ´es optim´alis ir´any´ıt´as
Ge´mes Margit, Szentmiklo´ssy Zolta´n
´
ANALIZIS
˝ ´
FELADATGYUJTEMENY
I
E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem
Term´eszettudom´anyi Kar
Typotex
2014
(cid:13)c 2014–2019, G´emes Margit, Szentmikl´ossy Zolt´an,
E¨otv¨os Lora´nd Tudom´anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar
Szerkeszt˝ok: K´os G´eza ´es Szentmikl´ossy Zolt´an
Lektor´alta: Pach P´eter P´al
Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)
A szerz˝o nev´enek feltu¨ntet´ese mellett nem kereskedelmi c´ellal szabadon
m´asolhat´o, terjeszthet˝o, megjelentethet˝o ´es el˝oadhat´o, de nem m´odos´ıthat´o.
ISBN 978 963 279 230 9
K´eszu¨lt a Typotex Kiad´o (http://www.typotex.hu) gondoz´as´aban
Felel˝os vezet˝o: Votisky Zsuzsa
Mu˝szaki szerkeszt˝o: Gerner J´ozsef
K´eszu¨lt a TA´MOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 sz´amu´,
Jegyzetek ´es p´eldat´arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz”c´ımu˝ projekt
”
keret´eben.
KULCSSZAVAK: anal´ızis, kalkulus, deriv´alt, integr´al, t¨obb-v´altoz´o, komp-
lex.
O¨SSZEFOGLALA´S: Ez a feladatgyu˝jtem´eny els˝osorban azon egyetemi hall-
gat´ok sz´am´ara k´eszu¨lt, akik matematik´at, ezen belu¨l kalkulust ´es anal´ızist
tanulnak. A k¨onyv f˝o feladata bevezetni az olvas´ot a a differenci´al ´es integ-
r´alsz´am´ıt´asba ´es ezek alkalmaz´asaiba.
Tartalomjegyz´ek
Alapfogalmak, val´os sz´amok 7
1.1. Elemi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Logikai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Bizony´ıt´asi m´odszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5. A val´os sz´amok axi´omarendszere . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6. A sz´amegyenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Sz´amsorozatok konvergenci´aja 31
2.1. Sorozatok hat´ar´ert´eke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. A hat´ar´ert´ek tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4. A Bolzano-Weierstrass-t´etel ´es a Cauchy-krit´erium . . . . . . 44
2.5. Sorozatok nagys´agrendje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Val´os fu¨ggv´enyek hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga 48
3.1. Fu¨ggv´enyek glob´alis tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. A hat´ar´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3. Folytonos fu¨ggv´enyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A differenci´alsz´am´ıt´as ´es alkalmaz´asai 76
4.1. A deriv´alt fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. Deriv´al´asi szab´alyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3. K¨oz´ep´ert´ekt´etelek, L’Hospital szab´aly . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. Sz´els˝o´ert´ekkeres´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5. Fu¨ggv´enyvizsg´alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6. Elemi fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Az egyv´altoz´os Riemann-integr´al 98
5.1. Hat´arozatlan integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2. Hat´arozott integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3. A hat´arozott integr´al alkalmaz´asai . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4. Improprius integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Numerikus sorok 121
6.1. Numerikus sorok konvergenci´aja . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2. Pozit´ıv tagu´ sorok konvergenciakrit´eriumai . . . . . . . . . . 125
6.3. Felt´eteles ´es abszolu´t konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . 130
6
Fu¨ggv´enysorozatok ´es sorok 132
7.1. Pontonk´enti ´es egyenletes konvergencia . . . . . . . . . . . . . 135
7.2. Hatv´anysorok, Taylor-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3. Trigonometrikus sorok, Fourier-sor . . . . . . . . . . . . . . . 143
T¨obbv´altoz´os fu¨ggv´enyek differenci´al´asa 147
8.1. Topol´ogiai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2. T¨obbv´altoz´os fu¨ggv´enyek grafikonja . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3. T¨obbv´altoz´os hat´ar´ert´ek, folytonoss´ag . . . . . . . . . . . . . 156
8.4. Parci´alis ´es tot´alis deriva´lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.5. T¨obbv´altoz´os sz´els˝o´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
T¨obbv´altoz´os Riemann-integr´al 169
9.1. Jordan-m´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.2. T¨obbv´altoz´os Riemann-integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Vonalintegr´al ´es primit´ıv fu¨ggv´eny 182
10.1.S´ık ´es t´erg¨orb´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.2.Skal´ar-, ´es vektormez˝ok, differenci´aloper´atorok . . . . . . . . 187
10.3.Vonalintegr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Komplex fu¨ggv´enyek 196
Megold´asok 204
Aj´anlott irodalom 338
1. fejezet
Alapfogalmak, valo´s sz´amok
Biztat´asul k¨ozl¨om, hogy t´evesnek bizonyult a c´afolata annak a
h´ıresztel´esnek, mely szerint m´egsem hazugs´ag azt tagadni, hogy lesz
olyan vizsg´az´o, akinek egy anal´ızis t´etel bizony´ıt´as´at sem kell tudnia
ahhoz, hogy ne bukjon meg.
(Baranyai Zsolt)
1.1. Az A ⊂ R halmazt korl´atosnak nevezzu¨k, ha van olyan K ∈ R val´os
sz´am, hogy minden a∈A eset´en |a|≤K.
Az A⊂R halmaz felu¨lr˝ol korl´atos, ha van olyan M ∈R val´os sz´am (fels˝o
korl´at), amelyre minden a∈A eset´en a≤M.
Az A ⊂ R halmaz alulr´ol korl´atos, ha van olyan m ∈ R val´os sz´am (als´o
korl´at), amelyre minden a∈A eset´en a≥m.
1.2. Cantor-axi´oma: Egym´asba skatuly´azott korl´atos z´art intervallumso-
rozat metszete nem u¨res.
1.3. Fels˝o hat´ar, szupr´emum: Ha az A halmaznak van legkisebb fels˝o
korl´atja´es ez a sz´am M, akkor ezt az M sz´amot a halmaz fels˝o hat´ar´anak
vagy szupr´emum´anak nevezzu¨k ´es M =supA-val jel¨olju¨k.
1.4. Teljess´egi t´etel: Ha A ⊂ R felu¨lr˝ol korl´atos nem u¨res halmaz, akkor
van legkisebb fels˝o korl´atja.
1.5. Bernoulli-egyenl˝otlens´eg: Ha n∈N ´es x>−1, akkor
(1+x)n ≥1+n·x.
Egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor van, ha n=0 vagy n=1 vagy x=0.
1. Alapfogalmak, valo´s sza´mok 8
1.1. Elemi feladatok
A´br´azoljuk a sz´amegyenesen a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egek megol-
d´ashalmaz´at!
1.1. |x−5|<3 1.2. |5−x|<3
1.3. |x−5|<1 1.4. |5−x|<0.1
Oldjuk meg az al´abbi egyenl˝otlens´egeket!
1.5. 1 ≥−1 1.6. 6x2+7x−20>0
5x+6
1.7. 10x2+17x+3≤0 1.8. −6x2+8x−2>0
1.9. 8x2−30x+25≥0 1.10. −4x2+4x−2≥0
1.11. 9x2−24x+17≥0 1.12. −16x2+24x−11<0
1.13. Hol a hiba?
1 1
log ≤log ´es 2<4
2 2 2 2
O¨sszeszorozva a k´et egyenl˝otlens´eget:
1 1
2log <4log
2 2 2 2
A logaritmus azonoss´agait haszn´alva:
(cid:18)1(cid:19)2 (cid:18)1(cid:19)4
log <log
2 2 2 2
A log x fu¨ggv´eny szigoru´an monoton n˝o, teh´at:
2
1. Alapfogalmak, valo´s sza´mok 9
1 1
<
4 16
A´tszorozva az egyenl˝otlens´eget:
16<4.
Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o egyenleteket ´es egyenl˝otlens´egeket!
√ √
1.14. |x+1|+|x−2|≤12 1.15. x+3+ x−5=0
(cid:12) (cid:12)
1.16. (cid:12)(cid:12) x+1 (cid:12)(cid:12)> 1 1.17. |2x−1|<|x−1|
(cid:12)2x+1(cid:12) 2
√ √
1.18. x+3+|x−2|=0 1.19. x+3+|x−2|≤0
1.2. Logikai alapfogalmak
1.20. Min´el egyszeru˝bben mondjuk ki az al´abbi ´all´ıt´asok tagad´as´at:
(a) Minden eg´er szereti a sajtot.
(b) Aki ma´snak vermet ´as, maga esik bele.
(c) Minden asszony ´elet´eben van egy pillanat
Mikor olyat akar tenni, amit nem szabad.
(d) Van olyan a, hogy minden b-hez egyetlen x tartozik, melyre
a+x=b
(e) 3 nem nagyobb, mint 2, vagy 5 oszt´oja 10-nek.
(f) Nem z¨or¨og a haraszt, ha a sz´el nem fu´jja.
(g) Ha a nagyn´en´emnek kerekei voln´anak, ˝o lenne a miskolci gyorsvo-
nat.
1.21. Egyudvarbanvan5kecske´es20bolha. Tudjuk,hogyvanolyankecske,
amit minden bolha megcs´ıpett. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy van olyan
bolha, amelyik minden kecsk´et megcs´ıpett?
1.22. Fogadjuk el igaznak a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asokat:
1. Alapfogalmak, valo´s sza´mok 10
(a) Ha egy ´allat eml˝os, akkor vagy van farka, vagy van kopoltyu´ja.
(b) Egyik ´allatnak sincs farka.
(c) Minden ´allat vagy eml˝os, vagy van farka, vagy van kopoltyu´ja.
K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy minden ´allatnak van kopoltyu´ja?
1.23. Balkezes Bendegu´z, aki val´oban balkezes, a bal kez´evel csak igaz ´al-
l´ıt´asokat tud le´ırni, a jobb kez´evel pedig csak csak hamis ´all´ıt´asokat.
Melyik kez´evel´ırhatja le a k¨ovetkez˝o mondatokat?
(a) Balkezes vagyok.
(b) Jobbkezes vagyok.
(c) Balkezes vagyok ´es Bendegu´z a nevem.
(d) Jobbkezes vagyok ´es Bendegu´z a nevem.
(e) Balkezes vagyok vagy Bendegu´z a nevem.
(f) Jobbkezes vagyok vagy Bendegu´z a nevem.
(g) A 0 se nem p´aros, se nem p´aratlan.
1.24. Azt mondj´ak, a fekete macska szerencs´etlens´eget hoz. Melyik mondat-
tal tagadhatjuk ezt?
(a) A fekete macska szerencs´et hoz.
(b) Nem a fekete macska hoz szerencs´etlens´eget.
(c) A feh´er macska hoz szerencs´etlens´eget.
(d) A fekete macska nem hoz szerencs´etlens´eget.
1.25. LegyenAapozit´ıveg´eszekhalmaza. Jelentsea|baztaz´all´ıt´ast,hogya
oszt´ojab-nek. D¨ontsu¨kel,hogymely´all´ıt´asokigazakazal´abbiakk¨ozu¨l:
(a) ∀a∈A ∃b∈A a|b (b) ∀a∈A ∀b∈A a|b
(c) ∃a∈A ∀b∈A a|b (d) ∃a∈A ∃b∈A a|b
1.26. Matematika orsz´agban a b´ır´o csak a bizony´ıt´ekoknak hisz. P´eld´aul, ha
F azt ´all´ıtja, hogy van fekete oroszl´an, akkor ´all´ıt´as´anak helyess´eg´er˝ol
meggy˝ozheti a b´ır´ot azzal, ha mutat neki egy fekete oroszl´ant.
(a) F azt ´all´ıtja, hogy minden oroszl´an fekete. El´eg bizony´ıt´ek-e, ha
mutat a b´ır´onak egy fekete oroszl´ant?