Analiz˙es uždavinynas

448 Pages·2012·1.67 MB·Lithuanian

Analize˙s uždavinynas
Vytautas Kazakevičius
2012 m. lapkričio 1 d.
ii
Vienmate˙ analize˙
Faktorialai,binominiaikoeficientai. Jeia R,n,k N 0 ,tai
∈ ∈ ∪{ }
k!=1 2 3 k, (2k+1)!!=1 3 5 (2k+1), (2k)!!=2 4 6 (2k);
· · ··· · · ··· · · ···
(cid:18)a(cid:19) a(a 1) (a k+1) (cid:18)n(cid:19) n! (cid:18) n (cid:19)
= − ··· − ; = = .
k k! k k!(n k)! n k
− −
Niutonobinomoformule˙.
(a+b)n=an+(cid:18)n(cid:19)an−1b+(cid:18)n(cid:19)an−2b2+ +(cid:18) n (cid:19)abn−1+bn.
1 2 ··· n 1
−
Trigonometrine˙sformule˙s.
cos(x y)=cosxcosy sinxsiny, sin(x y)=sinxcosy cosxsiny;
± ∓ ± ±
cos(x y) cos(x+y) sin(x+y)+sin(x y) cos(x+y)+cos(x y)
sinxsiny= − − , sinxcosy= − , cosxcosy= − ;
2 2 2
sin2x+cos2x=1, cos2x=cos2x sin2x, sin2x=2sinxcosx, sin2x= 1−cos2x, cos2x= 1+cos2x;
− 2 2
cos2x= 1 , sin2x= tg2x , cosx= 1−tg2x2, sinx= 2tgx2 .
1+tg2x 1+tg2x 1+tg2x 1+tg2x
2 2
Asimptotiniaiskleidiniai. Kaix 0,
→
(1+x)a=1+(cid:18)a(cid:19)x+(cid:18)a(cid:19)x2+ +(cid:18)a(cid:19)xn+O(xn+1);
1 2 ··· n
ex=1+x+x2 +x3 + +xn +O(xn+1);
2 6 ··· n!
ln(1+x)=x x2 +x3 + +( 1)n−1xn +O(xn+1);
− 2 3 ··· − n
cosx=1 x2 +x4 + +( 1)n x2n +O(x2n+2);
− 2 24 ··· − (2n)!
sinx=x x3 + x5 + +( 1)n x2n+1 +O(x2n+3);
− 6 120 ··· − (2n+1)!
arcsinx=x+1x3+ 3 x5+ + (2n−1)!! x2n+1+O(x2n+3);
6 40 ··· (2n)!!(2n+1)
arctgx=x x3 +x5 + +( 1)nx2n+1 +O(x2n+3);
− 3 5 ··· − 2n+1
tgx=x+x3 + 2 x5+O(x7);
3 15
ax=exlna=1+xlna+(xlna)2 + ;
2 ···
loga(1+x)= ln(l1n+ax) = ln1a(cid:16)x−x22 +···(cid:17).
Ribos. Jeia>0,tai
xa 0, xa ; 1 1 0;
−−x−→−→0 −x−→−−∞→∞ xa −x−→−−0−+→∞ xa −x−→−−∞→
ex 0, ex ; lnx , lnx ;
−x−→−−−−∞−→ −x−→−−∞→∞ −x−→−−0−+→−∞ −x−→−−∞→∞
π
cosx,sinxneturiribos,kaix ; arctgx .
→±∞ −x−→−−±−∞−→±2
Funkciju˛palyginimas. Teguk,a,b,ε>0. Tada:
jeix ,tai1 lnkx xε,xa xb(kaia<b),xk eεx;
jeix→0∞+,tai1≺ lnk(1≺/x) x−≺ε,x−a x−b(kaia≺<b),x−k eε/x.
Išves→tiniu˛lentel≺e˙. ≺ ≺ ≺
(xa)′=axa−1, (ex)′=ex, (lnx)′= 1;
x
iii
′ ′ ′ 1 ′ 1
(cosx) = sinx, (sinx) =cosx, (tgx) = , (ctgx) = ;
− cos2x −sin2x
′ 1 ′ 1
(arcsinx) = , (arccosx) = ,
p1 x2 −p1 x2
− −
′ 1 ′ 1
(arctgx) = , (arcctgx) = .
1+x2 −1+x2
Pirmaformule˙ teisingasubetkokiaisa,teigiamaisirneigiamais,sveikaisirtrupmeniniais. Pavyzdžiui,
c′=0, x′=1, (x2)′=2x, (x3)′=3x2;
(cid:16)1(cid:17)′= 1 , (cid:16) 1 (cid:17)′= 2 ;
x −x2 x2 −x3
(√x)′= 1 , (√3x)′= 1 .
2√x 3√3x2
Išvestiniu˛skaičiavimotaisykle˙s.
′ ′ ′ ′ ′
(cu) =cu, (u v) =u v;
± ±
(uv)′=u′v+uv′, (cid:16)u(cid:17)′= u′v−uv′;
v v2
(cid:2)f(u)(cid:3)′=f′(u)u′.
Integralu˛skaičiavimotaisykle˙s.
Z Z Z Z Z Z Z
cu=c u, (u v)= u v, udv=uv vdu;
± ± −
Z Z
f(x)dx=F(x) f(cid:0)u(x)(cid:1)du(x)=F(cid:0)u(x)(cid:1)
⇒
Integralu˛lentele˙.
Z xadx= xa+1, Z dx =lnx, Z exdx=ex, Z sinxdx= cosx, Z cosxdx=sinx;
a+1 x −
Z dx Z dx Z dx x Z dx 1 x
=tgx, = ctgx, =arcsin , = arctg ,
cos2x sin2x − pa2 x2 a a2+x2 a a
−
Z dx = 1 lna+x arba Z dx = 1 lnx−a.
a2 x2 2a a x x2 a2 2a x+a
− − −
Pirmojeformule˙jeagalibu¯tibetkoksskaičius,nelygus 1(kaia= 1,taikomaantrojiformule˙):teigiamasirneigiamas,
sveikasirtrupmeninis. Pavyzdžiui, − −
Z 1dx=x, Z xdx= x2, Z x2dx= x3;
2 3
Z dx x−1 1 Z dx x−2 1 Z x3/2 2x√x Z dx x1/2
= = , = = , √xdx= = , = =2√x.
x2 1 −x x3 2 −2x2 3/2 3 √x 1/2
− −
Paskutine˙seformule˙seayrabetkoksteigiamasskaičius.
I˛ke˙limas˛idiferencialą.
dx= 1d(cx), dx=d(x+c), xadx= 1 dxa+1, dx =dlnx, exdx=dex;
c a+1 x
dx dx
sinxdx= dcosx, cosxdx=dsinx, =darcsinx, =darctgx.
− p1 x2 1+x2
−
Trečiojeformule˙jeagalibu¯tibetkoksskaičius,nelygus 1: teigiamasirneigiamas,sveikasirtrupmeninis. Pavyzdžiui,
−
xdx= 1dx2, x2dx= 1dx3, dx = d1, dx = 1d 1 , √xdx= 2dx3/2, dx =2d√x.
2 3 x2 − x x3 −2 x2 3 √x
Kintamojokeitiniai.
Z p(x)
dx integrale: u=x+a;
(x+a)m
iv
Z p(x)
dx integrale: u=x+a;
(x+a)2+b2
Z R(x, m√x+a)dx integrale: u= m√x+a;
Z
R(tgx)dx integrale: u=tgx;
u=cosx (jeiR(cos, sin)= R(cos,sin));
Z R(cosx,sinx)dx integrale: u=sinx (jeiR( co−s,sin)=−R(cos,sin));
u=tgx (jeiR(−cos, sin)=−R(cos,sin)).
− −
Netiesioginiaiintegralai.
jeif(x) const,kaix ,taiR∞f(x)dxintegralaskonverguoja,kaia>1,irdiverguoja,kaia61;
• ∼ xa →∞
const
jeif(x) ,kaix c ,taiRcf(x)dxintegralaskonverguoja,kaia<1,irdiverguoja,kaia>1;
• ∼ (x c)a → −
−
const
jeif(x) ,kaix c+,taiR f(x)dxintegralaskonverguoja,kaia<1,irdiverguoja,kaia>1.
• ∼ (c x)a → c
−
Eilute˙s.
conts
• jeian∼ na ,kain→∞,taiPnaneilute˙konverguoja,kaia>1,irdiverguoja,kaia61;
• jei n√an→c,kain→∞,taiPnaneilute˙konverguoja,kaic<1,irdiverguoja,kaic>1;
• jei anan+1 →c,kain→∞,taiPnaneilute˙konverguoja,kaic<1,irdiverguoja,kaic>1.
Stirlingoformule˙.
n! √2πnnne−n, (2n)!!=2nn!, (2n+1)!!= (2n+1)! = (2n+1)(2n)!.
∼ (2n)!! 2nn!
Daugiamate˙ analize˙
Diferencialas. Jeiy=y(x1,...,xm),tai
∂y ∂y
dy= ∂x1dx1+···+∂xmdxm,
d2y=Xi ∂∂xy2i2(dxi)2+2iX<j∂x∂i2∂yxjdxidxj,
y(x+dx) y(x)+dy+1d2y.
≈ 2
Sude˙tine˙sfunkcijosdiferencijavimas. Jeiy=y(x1,...,xm),tai
∂y = ∂y ∂x1 + + ∂y ∂xm.
∂t ∂x1 ∂t ··· ∂xm ∂t
Ekstremumai. Jeiataškeyray=f(x)funkcijosekstremumas,taidf(a)=0,t.y.
∂f ∂f
(a)= = (a)=0.
∂x1 ··· ∂xm
Jeidf(a)=0,tai:
jeid2f(a)>0suvisaisdx=0,taiayralokalausminimumotaškas;
• 6
jeid2f(a)<0suvisaisdx=0,taiayralokalausmaksimumotaškas;
• 6
jeid2f(a)>0suvienudxird2f(a)<0sukitudx,taiayrabalnotaškas;
•
kitaisatvejaisreikalingaspapildomastyrimas.
•
v
Silvestrokriterijus. Tegu
ϕ(dx,dy)=a11(dx)2+2a12dxdy+a22(dy)2
ir
D=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)aa1112 aa1222(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12).
Tada
• jeiD>0ira11>0,taiϕ(dx,dy)>0suvisais(dx,dy)6=(0,0);
• jeiD>0ira11<0,taiϕ(dx,dy)<0suvisais(dx,dy)6=(0,0);
jeiD<0,taiϕ(dx,dy)>0suvienu(dx,dy)irϕ(dx,dy)<0sukitu(dx,dy).
•
Tegu
ϕ(dx,dy,dz)=a11(dx)2+a22(dy)2+a33(dz)2+2a12dxdy+2a13dxdz+2a23dydz.
ir
D1=a11, D2=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)aa1112 aa1222(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12), D3=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)aaa111123 aaa122223 aaa123333(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12).
Tada
• jeiD1>0,D2>0irD3>0,taiϕ(dx,dy,dz)>0suvisais(dx,dy,dz)6=(0,0,0);
• jeiD1<0,D2>0irD3<0,taiϕ(dx,dy,dz)<0suvisais(dx,dy,dz)6=(0,0,0).
Matricine˙ notacija. Jeix Rm,tai
∈
0x11
x=(x1,...,xm)=BB ... CCA6=(cid:0)x1 ··· xm(cid:1).
xm
Jeiy : Rm R,tai
→
0 ∂y 1
∂x1
y′= ∂(x1,.∂.y.,xm) =(cid:16)∂∂xy1 ··· ∂∂xym(cid:17), ∇y=BBBB ... CCCC=(cid:16)∂∂xy1,...,∂∂xym(cid:17).
 ∂y A
∂xm
Jeiy=(y1,...,yn): Rm→Rn,tai
0∂y1 ∂y1 1
∂x1 ··· ∂xm
y′= ∂∂((xy11,,......,,xymn)) =BBBB ... ... ... CCCC.
∂yn ∂ynA
∂x1 ··· ∂xm
Paviršiai. JeiMyrak-matispaviršiusRmerdve˙jeira M,taitamtikraaaplinkaMpoerdvyjeparametrizuojama
lygtimis ∈
8>>><.x1=x1(u1,...,uk),
.
.
>>>:xm=xm(u1,...,uk).
Vektoriai
∂(x1,...,xm)(u), i=1,...,k,
∂ui
tadasudaroliestiniu˛taškex=x(u)poerdvioTxM bazę. Jeipaviršiusužrašytaslygtimis
ϕ1(x)=···=ϕm−k(x)=0, (0.1)
taivektoriai
∇ϕj(x), j=1,...,m−k,
sudaronormaliu˛poerdviobazętaškex.
vi
Sąlyginiai ekstremumai. Jeif : M R,oM užrašytas(0.1)lygtimis,taisąlyginiaif funkcijosekstremumai
galibu¯titiktaškuosex,kuriuose f(x)yraM→normale˙ xtaške,t.y.
∇
∇f(x)=λ1∇ϕ1(x)+···+λm−k∇ϕm−k(x)
sutamtikraisλ1,...,λm−k∈R. Kritiniaitaškairandamiišsprenduslygčiu˛sistemą
8∂L
< (x)=0, i=1,...,m;
∂xi
:ϕj(x)=0, j=1,...,m−k;
čiaLžymiLagranžofunkcijas:
L(x)=f(x)−λ1ϕ1(x)−···−λm−kϕm−k(x).
JeiayrakritinistaškasirL—atitinkamaLagranžofunkcija(t.y.funkcija,sukuria L(a)=0),analizuojamosjos
antrojodiferencialod2L(a,dx)reikšme˙s,atitinkančiosdx∈TaM,t.y.tokiusdx=(dx1,..∇.,dxm),sukuriais
∂∂ϕx1j(a)dx1+···+∂∂xϕmj (a)dxm=0, j=1,...,m−k.
Tada:
• jeid2L(a)>0suvisaisdx∈TaM\{0},taiataškeyrafunkcijossąlyginisminimumas;
• jeid2L(a)<0suvisaisdx∈TaM\{0},taiataškeyrafunkcijossąlyginismaksimumas;
• jeid2L(a)>0suvienudx∈TxM ird2L<0sukitudx∈TxM,ayrasąlyginiobalnotaškas.
Orientacijos. Jeia1,...,ak yrabazine˙spaviršiausliestine˙skokiamenorstaške,tai
ξ= a1∧···∧ak
ka1∧···∧akk
yravienaišpaviršiausorientaciju˛tametaške(kitaorientacijayra ξ).
Daugialypiaiintegralai. Jeixyrak-matis,y—l-matiskin−tamasisirC Rk+l,tai
⊂
Z Z Z
f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy;
C A B(x)
čia
A= x y(x,y) C , B(x)= y (x,y) C .
{ |∃ ∈ } { | ∈ }
Jeix=x(u)yradifeomorfizmastarpO′irOaibiu˛irA O,tai
⊂
Z Z
f(x)dx= f(cid:0)x(u)(cid:1)J(u)du;
A A′
čia
A′= u O′ x(u) A , J(u)=(cid:12)det∂x(u)(cid:12).
{ ∈ | ∈ } (cid:12) ∂u (cid:12)
Poline˙sirsferine˙skoordinate˙s. Jeirirϕyra(x,y)taškopoline˙skoordinate˙s,tai
(x =rcosϕ; ′
O = (r,ϕ) r>0, 0<ϕ<2π , ir dxdy=rdrdϕ.
y =rsinϕ; { | }
Jeir,θirϕyra(x,y,z)taškosferine˙skoordinate˙s,tai
8x =rcosθcosϕ;
><y =rcosθsinϕ; O′= (r,θ,ϕ) r>0, π/2<θ<π/2, 0<ϕ<2π , ir dxdydz=r2cosθdrdθdϕ.
{ | − }
>:z =rsinθ;
Oileriofunkcijos. Apibre˙žimas: sux,y>0
Γ(x)=Z∞tx−1e−tdt, B(x,y)=Z1(1 t)x−1ty−1dt.
0 0 −
vii
Pagrindine˙ssavybe˙s:
π
Γ(n)=(n 1)!, Γ(x+1)=xΓ(x), Γ(1/2)=√π, Γ(x)Γ(1 x)= ;
− − sinπx
Γ(x)Γ(y)
B(x,y)=B(y,x)= .
Γ(x+y)
Paviršiniaiintegralai. JeiM yrak-matispaviršiusRm erdve˙je,x=x(u),u U,—joparametrizacija,A M
irf : A R,tai ∈ ⊂
→ Z Z Z
σk(A)= Adσk(x), Af(x)dσk(x)= A′f(cid:0)x(u)(cid:1)J(u)du;
čia
′ ∂x(u)
A ={u∈U|x(u)∈A}, J(u)=k∂1(u)∧···∧∂k(u)k, ∂i(u)= ∂ui .
Kitaformule˙ jakobianuiskaičiuoti:
J(u)=qdet(aij(u)); čiaaij(u)=∂i(u)·∂j(u).
Atskiriatvejai:
m=2, k=1:(x =x(t); J=qx′2(t)+y′2(t);
y =y(t);
8x =x(t);
m=3, k=1:><y =y(t);J=qx′2(t)+y′2(t)+z′2(t);
>:z =z(t);
8x =x(u,v);
m=3, k=2:><y =y(u,v); J=pEG F2,
−
>:z =z(u,v);
E=x′u2+yu′2+zu′2, G=x′v2+yv′2+zv′2,F =x′ux′v+yu′yv′ +zu′zv′.
Formu˛ integravimas. Tegu M yra k-matisorientuotas paviršiusRm erdve˙je, x = x(u), u U, — jo teigiama
parametrizacijairA M. Jei ∈
⊂
ω= X fi1...ik(x)dxi1...dxik,
i1<···<ik
tai
(cid:12)(cid:12)(cid:12)∂x∂iu11(u) ··· ∂x∂iu1k(u)(cid:12)(cid:12)(cid:12)
ZAω=ZA′ω∗(u)du; čiaω∗(u)=i1<X···<ikfi1...ik(cid:0)x(u)(cid:1)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)∂xik...(u) ... ∂xik...(u)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12).
(cid:12) ∂u1 ··· ∂uk (cid:12)
Srities krašto išorine˙ orientacija. TeguOyraatvirasRm poaibis,∂O—jokraštoišorine˙ puse˙ irx=x(u)—
kokianors∂Oparametrizacija. Tegue1,...,emyrastandartine˙Rmerdve˙sbaze˙,∂i(u)= ∂∂xu(ui) irn(u)—išorine˙krašto
normale˙ x(u)taške,t.y.tokianormale˙,kadx(u)+εn(u) Osupakankamaimažaisε. Jeisuvisaisu
6∈
n(u)∧∂1(u)∧···∧∂m−1(u)=c(u)e1∧···∧em
sutamtikruc(u)>0,tainagrine˙jamaparametrizacijateigiama.
viii
Turinys
Formule˙s ii
Pratarme˙ xiv
I Vienmate˙ analize˙ 1
1 Funkciju˛ asimptotika 3
1.1 O ir o simboliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Asimptotiniu˛ skleidiniu˛ dalyba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Elementariosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Ribos 37
2.1 Pagrindinis ribu˛ skaičiavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Specialu¯s uždaviniu˛ tipai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ix
x
3 Funkciju˛ tyrimas 51
3.1 Grafiku˛ eskizai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Išvestine˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Funkciju˛ tyrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Neapibre˙žtinis integralas 87
4.1 Kintamojo keitimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 Racionaliu˛ju˛ funkciju˛ integravimas . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Iracionalios ir trigonometrine˙s funkcijos . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 Dalinio integravimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 Apibre˙žtinis integralas 139
5.1 Niutono-Leibnico formule˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.1.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 Netiesioginiai integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2.2 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2.3 Sprendimai ir atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . 159