Analitik Geometri I PDF
Preview Analitik Geometri I
Ders Sorumlusu: Dr. Ümran KÖYLÜ [email protected] Ders Kapsamında Neler Var? Parabol Elips Hiperbol Koordinat sistemi öteleme dönüşümü Koordinat sistemi rotasyon dönüşümü Parametrik eşitlikler Koni kesitlerinin parametrik ifadesi Katı analitik geometri Uzayda vektörler Uzayda Doğru Uzayda bir doğru konumunu belirten bazı özellikleri yardımıyla analitik olarak ifade edilebilir buna vektörel denklem denir. 1. Bir noktadan geçen ve verilen bir doğrultuya paralel olan doğrunun denklemi Verilen nokta M(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) ve doğrunun paralel olduğu 0 0 0 verilen bir 𝑉 = 𝑝, 𝑞, 𝑟 vektörü olsun. Doğrunun hareketli noktasına (herhangi noktasına) X(x,y,z) diyelim. X noktası yer değiştirdikçe d doğrusu 𝑉 ne paralel kalacağından 𝜆 ∈ ℝ olmak üzere daima 𝑀𝑋 = 𝜆𝑉… 1 yazılabilir. Bu doğrunun vektörel denklemidir. 1.Bir Noktadan Geçen Ve Verilen Bir Doğrultuya Paralel Olan Doğrunun Denklemi 𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 = λ 𝑝, 𝑞, 𝑟 = (λ𝑝, λ𝑞, λ𝑟) 0 0 0 Buradan 𝑥 = 𝑥 + λ𝑝, 𝑦 = 𝑦 + λ𝑞, 𝑧 = 𝑧 + λ𝑟 elde edilir 2 0 0 0 ki bu doğrunun parametrik denklemidir. Bu denklemden λ parametresini çekersek 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧 𝜆 = 0, 𝜆 = 0, 𝜆 = 0 buna göre 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧 0 = 0 = 0 = λ 3 elde edilir buda doğrunun 𝑝 𝑞 𝑟 standart denklemidir. 𝑉 = (𝑝, 𝑞, 𝑟) vektörüne d doğrusunun doğrultman vektörü p,q,r değerlerine d doğrusunun doğrultman parametreleri denir. Özel Haller Doğrunun doğrultman parametrelerinden biri yada ikisi sıfır olabilir Doğrultman parametrelerinden bir tanesi sıfır olduğunda 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧 𝑝 = 0 ise denklem 𝑥 − 𝑥 = 0, 0 = 0 = λ olup 𝑜𝑥 eksenine dik 0 𝑞 𝑟 konumda olan doğrunun denklemidir. Yani 𝑦0𝑧 düzlemine paralel olan doğrunun denklemidir. 𝑥−𝑥 𝑧−𝑧 𝑞 = 0 ise denklem 0 = 0 = λ , 𝑦 − 𝑦 = 0 olup 𝑜𝑦 eksenine dik 0 𝑝 𝑟 konumda olan doğrunun denklemidir. Yani d ∥ 𝑥0𝑧 olan doğrunun denklemidir. 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑟 = 0 ise denklem 0 = 0 = λ , 𝑧 − 𝑧 = 0 olup 𝑜𝑧 eksenine dik 0 𝑝 𝑞 konumda olan doğrunun denklemidir. Yani d ∥ 𝑥0𝑦 olan doğrunun denklemidir. Özel Haller Doğrultman parametrelerinden iki tanesi sıfır olduğunda 𝑝 = 𝑞 = 0 ise doğrunun 0𝑥 ve 0𝑦 eksenlerine dik konumda yani 𝑑 ⊥ x0y olan doğru olup denklemi 𝑥 − 𝑥 = 0, 𝑦 − 𝑦 = 0, 0 0 𝑧−𝑧 0 = λ şeklindedir. 𝑟 𝑝 = 𝑟 = 0 ise doğrunun 0𝑥 ve 0𝑧 eksenlerine dik konumda yani 𝑑 ⊥ x0z olan doğru olup denklemi 𝑥 − 𝑥 = 0, 𝑧 − 𝑧 = 0, 0 0 𝑦−𝑦 0 = λ şeklindedir. 𝑞 𝑞 = 𝑟 = 0 ise d doğrusu 0y ve 0𝑧 eksenlerine dik konumda yani 𝑑 ⊥ y0z olan doğru olup denklemi 𝑦 − 𝑦 = 0, 𝑧 − 𝑧 = 0, 0 0 𝑥−𝑥 0 = λ şeklindedir. 𝑝 Örnek A(2,-3,0) noktasından geçen ve 𝑉 =(4,7,-5) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik ve standart denklemlerini yazınız. A(5,-1,4) noktasından geçen ve 𝑉 =(-1,4,0) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik ve standart denklemini yazınız. M(3,7,0) noktasından geçen ve 𝑉 =(0,0,6) vektörüne paralel olan doğrunun standart denklemini yazınız. Aykırı Doğrular Uzayda iki doğru birbirine paralel değilseler ve hiçbir ortak noktaları yoksa bu iki doğruya aykırı doğrular denir. 2.Verilen İki Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi Uzayda verilen iki nokta A(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) ve B(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 1 1 1 2 2 2 0𝑋 = 0𝐴 + 𝐴𝑋 0𝑋 = 0𝐴 + 𝜆𝐴𝐵 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )+ 𝜆(𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 ) 1 1 1 2 1 2 1 2 1 𝑥 = 𝑥 + 𝜆(𝑥 −𝑥 ) 1 2 1 𝑦 = 𝑦 + 𝜆(𝑦 −𝑦 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚 1 2 1 𝑧 = 𝑧 + 𝜆(𝑧 −𝑧 ) 1 2 1 Bu durumda 𝑉 = 𝐴𝐵 = 𝑝, 𝑞, 𝑟 = (𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 ) 2 1 2 1 2 1 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧 Buradan 1 = 1 = 1 = 𝜆 olur. 𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦 𝑧 −𝑧 2 1 2 1 2 1 Örnek A(4,-1,5) ve B(-2,-1,8) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz?
Description:The list of books you might like
