Análisis y métodos numéricos con Geogebra

132 Pages·2015·5.69 MB·Spanish

Análisis y métodos
numéricos con Geogebra
Rafael Álvarez Sánchez
Francisco Ferrández Agulló
Francisco Martínez Pérez
Antonio Zamora Gómez

Análisis y métodos
numéricos con Geogebra
Cuaderno de prácticas de
Matemáticas II
Grado en Ingeniería
Informática
Universidad de Alicante

Rafael Álvarez Sánchez
Francisco Ferrández Agulló
Francisco Martínez Pérez
Antonio Zamora Gómez
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Internacional.
© Autores
2015
Disponible en:
http://hdl.handle.net/10045/46891
Ana´lisis y m´etodos num´ericos con Geogebra
Pra´cticas de Matem´aticas II
Cuaderno para el laboratorio, elaborado para la versi´on 4.2 de Geogebra
´
Rafael Alvarez Sa´nchez Francisco Ferra´ndez Agull´o
Francisco Mart´ınez P´erez Antonio Zamora Go´mez

´
Indice general
1. Introducci´on a Geogebra. 1
1.1. Caracter´ısticas generales de GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Primeras construcciones con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Entrada algebraica en GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2. Uso de GeoGebra. Entrada Directa . . . . . . . . . . . . . 6
Nu´meros y ´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Puntos y vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Rectas y ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Funci´on de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Funciones predefinidas y operaciones . . . . . . . . . . . . 6
Lista de objetos y de operaciones . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Uso de GeoGebra. Comandos . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Comando Booleano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Nu´meros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Listas y Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Hoja de C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Construcciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Concepto de derivada. Los teoremas de Rolle y valor medio. 13
2.1. Concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Comentarios y reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Investigaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Los teoremas de Rolle y valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. El teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. An´alisis de gr´aficas y optimizaci´on 47
3.1. An´alisis de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Optimizaci´on de magnitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Optimizaci´on de la longitud de cable uniendo la parte
superior de dos postes al suelo . . . . . . . . . . . . . . . 51
i
3.2.2. Optimizaci´on de la superficie de una lata de refresco con
un volumen concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. Sumas de Riemann. A´reas. 57
4.1. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2. A´rea bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3. A´rea entre dos curvas que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4. Primitivas de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5. Resoluci´on de ecuaciones de una variable 73
5.1. M´etodo de la Bisecci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. M´etodo de la Secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3. M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4. Cuestionario sobre los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6. Interpolaci´on 101
6.1. Interpolaci´on con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.1. Introducci´on de puntos de muestreo . . . . . . . . . . . . 102
6.1.2. Obtenci´on del polinomio de interpolaci´on y c´alculo de
puntos interpolados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2. Aproximando una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1. Enfoque est´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.2. Enfoque interactivo o din´amico . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3. Animaci´on mediante interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4. Interpolaci´on por Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.1. Ejemplo de interpolaci´on con 3 muestras . . . . . . . . . . 109
6.4.2. Ejercicio de interpolaci´on con 5 muestras . . . . . . . . . 111
6.5. Interpolaci´on por diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5.1. Ejemplo de interpolaci´on con 3 muestras . . . . . . . . . . 112
6.5.2. Ejercicio de interpolaci´on con 5 muestras . . . . . . . . . 114
6.6. Interpolaci´on por Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.6.1. Interpolaci´on con 3 muestras . . . . . . . . . . . . . . . . 115
´
Indice de figuras
1.1. Soluci´on a un sistema de dos ecuaciones lineales. . . . . . . . . . 4
2.1. Representaci´on gr´afica de f(x)=ex. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Di´alogo para definir el deslizador ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Vista gr´afica de los ejes y el deslizador ξ. . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Di´alogo para definir el deslizador x . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
P
2.5. Di´alogo de propiedades de la recta R. . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. C´alculo de la pendiente m extra´ıdo de secantePP(cid:48). . . . . . . . . 18
2.7. Gr´afica de la recta tangente a f en P. . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8. Gr´afica del tri´angulo rect´angulo PP(cid:48), ∆x, ∆y. . . . . . . . . . . 20
2.9. Convergencia de msecantePP(cid:48) a y(cid:48) para cualquier x si ∆x→0. 22
P P
2.10.Cambio de la funci´on f(x) a trav´es de sus propiedades.. . . . . . 23
2.11.Comprobaci´onconcualquierintervalodefunci´onderivableycon-
tinua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.12.Representaci´on gr´afica de f(x)=x4−x3+x2−1. . . . . . . . . 25
2.13.Localizaci´on gr´afica de los puntos de intersecci´on A y B. . . . . . 26
2.14.Definici´on del deslizador ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.15.Ponemos el nombre a r a trav´es del di´alogo de propiedades. . . 28
p
2.16.Desplazamiento de la paralela r conjuntamente con C. . . . . . 28
p
2.17.Ajuste de propiedades para la funci´on derivada f(cid:48)(x). . . . . . . 29
2.18.Propiedades de la recta tangente t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.19.Desplazamiento conjunto de C, r y t. . . . . . . . . . . . . . . . 31
p
2.20.Determinaci´on del valor c∈]a,b[ tal que m=f(cid:48)(c)=0. . . . . . 32
2.21.Utilizaci´ondeCASparadeterminarelvalorc∈]a,b[talquem=
f(cid:48)(c)=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.22.Cambio a la funci´on x3+2x2−x+1. . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.23.Cambio del punto B a trav´es de sus propiedades. . . . . . . . . . 34
2.24.Primer punto C con tangente horizontal. . . . . . . . . . . . . . . 35
2.25.Segundo punto C con tangente horizontal. . . . . . . . . . . . . . 36
2.26.Utilizaci´ondeCASparadeterminarlosvaloresc∈]a,b[talesque
m=f(cid:48)(c)=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.27.Cambio de propiedades en k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.28.Variaci´on del intervalo [a,b] desplazando la recta r. . . . . . . . . 38
2.29.Nuevo deslizador α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.30.Modificaci´on a la recta r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.31.Inclinaci´on de las rectas r y r mediante el deslizador α. . . . . . 40
p
2.32.Primer punto C con r tangencial a f(x). . . . . . . . . . . . . . . 42
2.33.Segundo punto C con r tangencial a f(x). . . . . . . . . . . . . . 43
iii
2.34.Utilizaci´ondeCASparadeterminarlosvaloresc∈]a,b[talesque
f(cid:48)(c)= f(b)−f(a) =y(cid:48). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
b−a
2.35.Teorema del valor medio para la funci´on f(x) = x4 −2x2 con
α=0 (Rolle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.36.Utilizaci´ondeCASparadeterminarlosvaloresc∈]a,b[talesque
f(cid:48)(c)= f(b)−f(a) =y(cid:48). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
b−a
3.1. Gr´afico de los postes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Gr´afico de los postes. Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Taman˜os de latas de refresco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4. A´rea y volumen de un cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5. Funci´on ´area de un cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1. Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Rect´angulo Izquierda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3. Suma izquierda de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4. Rect´angulo Derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5. Suma derecha de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Gr´afica de f(x)=xe−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7. Gr´afica de f(x)=xe−x y ´area entre x y x . . . . . . . . . . . 65
A B
4.8. Gr´aficas de f(x)=xe−x y g(x)=|xe−x| y ´areas entre x y x . 66
A B
(cid:12) (cid:12)
4.9. Gr´aficasdef(x)=−x2+1,g(x)=x2−1,h(x)=(cid:12)−x2+1−(x2−1)(cid:12)
y ´areas entre x y x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A B
4.10.Error al redefinir f(x)=−x2+k y forma de evitarlo. . . . . . . 68
4.11.Gr´aficas de f(x) = −x2 + k (k = 4), g(x) = x2 − 1, h(x) =
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)−x2+1−(x2−1)(cid:12) y ´areas entre xA y xB . . . . . . . . . . . . 69
4.12.Integral indefinida de f(x)= x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
x4−16
4.13.Integral indefinida, simplificada, de f(x)= x3 . . . . . . . . . 71
x4−16
5.1. Valores iniciales en el m´etodo de la bisecci´on. . . . . . . . . . . . 74
5.2. Segundo intervalo en el m´etodo de la bisecci´on. . . . . . . . . . . 75
5.3. Punto de corte de f con el eje de abscisas. . . . . . . . . . . . . . 77
5.4. Intervalo inicial [a,b].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5. Extremos del intervalo inicial [a ,b ]=[a,b] y valor intermedio p . 78
1 1 1
5.6. Extremos del intervalo [a ,b ] y valor intermedio p . . . . . . . . 78
2 2 2
5.7. Representaci´on gr´afica del intervalo [a ,b ] y el valor intermedio
1 1
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1
5.8. Representaci´on gr´afica del intervalo [a ,b ] y el valor intermedio
2 2
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
5.9. Representaci´on gr´afica del intervalo [a ,b ] y el valor intermedio
3 3
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3
5.10.Decrecimiento exponencial de la longitud de los intervalos. . . . . 82
5.11.Aproximaci´on de una funci´on f =f(x) mediante la recta secante. 83
5.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.13.Valor p fuera del intervalo [a ,b ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1 1 1
5.14.Sucesi´on de valores p , i=1,2,3,··· . . . . . . . . . . . . . . . . 86
i
5.15.Representaci´on gr´afica del m´etodo de la secante, n=1. . . . . . 87
5.16.Representaci´on gr´afica del m´etodo de la secante n=2. . . . . . . 88
5.17.Representaci´on gr´afica del m´etodo de la secante n=3. . . . . . . 88