Analisis Matematico - Volumen I Spanish

866 Pages·2007·35.64 MB·Spanish

by  Rey Pastor

BIBUOT~ UCM
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JULIO REY PASTOR
PEDRO PI CALLEJA
C ~ S ARA-. T R E JO
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Aná lisis matemático
Volumen 1: Análisis algebraico • Teoría de ecuaciones
Cálculo infinitesimal de una variable
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Estár. p.-chttlldas y penadas pe;- ta ley la reproducCiÓn y la difusión lotales o
parCiales de eóla obra, en cualqUIer fOtme, por medios mer.-ánicos o electrónicos.
indus'lie por lotocopia grabacién magnetofónica y cualquier otro sistema de
alrnacenam¡enlo óe Intormación, sir. el previo COIlsentlm.enlc esenIo del edilor
Todos loS ,Iw!lc;hos III$IIIV.\lII,. lit" u,D. 19/J:!\ EDI lOAIAL KN'ElUSZ SA
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I UII'lO DE EOICION I\RllCtJllt~A A,!'U.'''' lI'1unlll'l\
ÍNDICE GENERAL
PÁG.
P'resenta,ción . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XVII
Nota a 1ft segunda. edición ......................... XIX
Nota (l lt[ séptima edición .... ...................... XIX
Plan de la obra..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . xx
1. Flllalidlld y estrOlctura. 2. Contenido. 3. Biblio-
grafia general.
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTACIóN DEL NúMERO RACIONAL
§ 1. Introducción lógica ............. .. ............ 1
1. Unidad y conjunto. 2. L6gica deductiva. 3. Méto-
dos de demostración. 4. Conceptuación matemática.
5. Igualdad. Relaciones de equivalencia. 6. Definiciones
por abstracción. 7. Axiomática. 8. Estructura de la
Matemática. Ejel'clclOS.
§ 2. El númel'o natUl'al .......... ................. lE
L Diversas fundamentaclones delnúmel'o l1atUl'1l1, 2. In
c!u!!ción cOJlJpleta, Axiomas de PEA NO, 3. Definicioncs
pOI' recun encia. 4. Opel'aciones fnndamentales. 5. De
finición de mayo!' y menOl'. Le~Tes de la desigualdad.
6. Leyes form:..les: l)l'incipio ele permanencia. 7. Con-
cepto deE den. 8, Col"re:;,pondencia. 9. Conjuntos fi-
nitos. 10. N úmero_<:1Irdinat 11. C011jUlltos numera-
li-les-: --~-ercieios. - -
El número entero 30
1. Definición de número entero. 2. Enwl'os positivos y
negativos. 3. Suma, producto y desigualdad. 4. Ley
unifonne y leyes formales. 5. Isomol'Íismo entre los nú
meros naturales y los enteros positivos. 6. La sustrae
('ión. Operaciones enteras. 7. Módúlos de las operacIones
Jundarnell18les. 8. Produd us éle valor nulo. 9. Regla
de los signos y de la desigualdad. 10. Representación
gráfica. 11. La facultad de abstracción. Ejercicios.
~ ·1. Sím holos nmnél'icos y operatorios. Polinomios ... 39
n.
1. Símbolos nwnéricos. 2. Monomios. 3. Símbolo
11. Simholo!:. 5. Producto de potencias de igual base.
O. f;lIllre.,irl!, de paréntesis. 7. Polinomios. 8. Pro·
filie 41 11 · rlus Rumns. !l. Producto de varias sumas.
10. n. . totol l. 11. Vnlor numérico dc un polhlOmio.
ret!! e •
VI íNDICE GENERAL
PÁG.
~ 5. Divisibilidad numéricl1 ..... .. ....... .......... 46
1. División entera. 2. Divisibilidad y orden parcial.
3. La. divisibilidad respecto 8 la Ildicidn y a la sustracción.
4. La divisibilidad respecto l\ la multiplicación. 6. Má
ximo común divisor y 1l1ínimo común múltiplo de dos nú-
meros. 6. El algoritmo de EUCLIDES. 7. DiviSOl'es ~.
múltiplos comunes de valios nÚhu:!rOIl. 8. Descomposi-
ción en fadores primos: teol'emll fundumental. 9. Apli-
caciones del teorema fundamental. 10. Obtenci6n de to-
dos los divisores de un número. 11. Congl'uencias y cla-
ses residuales. 12. Operaciones con clases residuales,
Gl'UpOS, anillos, cuerpos. Ejercicios.
§ 6. El número racional .......................... 65
1. Definición de número l·aciollal. 2. Suma y pl'odudo
de números racionales: leyes fOl·nlales. 3. l!:'ol11orfismo
con los entel·OS. 4. La división en el campo racional.
Operaciones racionales. 5. La desigualdad en el campo
de los números racionales. 6. Repl'csentación gráfica de
los números racionales. 7. Potencias de exponente en-
tero. 8. Series de fl'acciones ¡gUilles y desiguales.
9. Medias aritméticas, geométricas y armónicas. Ejer
cicios,
Votas al Capítulo 1 ... , ..... ,..................... . 77
L El álgebra de BOOLE. 11. El algoritmo de la Hume
raclOn. III. Complementos sobre divisibilidad numérica.
IV. Biblivg.'afía.
CAPÍTULO Il
EL NÚMERO REAL Y EL NúMERO COMPLEJO
§ 7.. Concepto de número real ....... , . . . . . . . . . . . . . . 93
1. Segmentos inconmensurables y resolución aproximada
de ecuaciones. 2. SuCeSiO!lS€ . _ 3._~.Ilrruú111aciones de
cimales y Sil .genenIíiacíóll. _ 4.. Definición de número
í'eal' por sucesiones de intervalos encajarlos. 5. Opera
clc:in-es··runaamentales y desigualdad enhe números reales.
6. Clases contiguas y cortaduras de DEDEKIND. 7. Com-
.. tu~.tE.s..Jinea!es.: interval~s. Ejercicios.
§ 8. Potencias y logaritmos de los números reales ... 111
1. Raíz arltméticn. 2. Cltlcu]o de radicales. 3. Racio
nalización de denominadOI·CE>. 4. Potencias de exponente
raci.onal. 6. Variación y l'cpl'osental!ión gráfica de las
potencinli de exponente racional. '6. Potencias de expo-
nente real: su Vil riación. 7. LOb'1!.ritmos de los números
}'eales positivos: su variación. 8. CllIeulo logarítmico.
Ejercicios,
~ 9. Concepto de número complejo 126
1. Orig(>Tl aritmético de los númel'os complejos. 2. De
finición de número complejo. Operaciones fundamentuk!f.
íNVICE GENERAL Vil
PÁG,
3. Representación geométrica., 4. Módulo y argumento
de un número complejo, 5. Las operaciones racionales
en el campo complejo. Ejercicios.
~ 10. Potencias y raíces en el campo complejo ........ 137
l. P()tencias de exponente entero. 2. Raíces de los nú-
meros complejos: represent.aciÓn gráfica, 3. Raíz cua-
lirada en fOI'ma binómica. 4. Raíces de los números rea-
les. 5. Raíces primitivas de la unidad. EjerciCios.
Nntcl8 al Capít?llo Il .. ...... , .•....... , .. ,......... 144
1. Plenitud y unidrlad del sistema de los númel'os reales.
n. El infinito matemlitico. UI. Sistemas hipel'comple-
jos. IV. EibliUl!"·afia.
CAPíTULO IU
COMBINATORIA. ÁLGEBRA LINEAL
~ 11. Análisis combinatorio ........................ 153
1. Variaciones. 2. Permutaciones. 3. Combinaciones.
4. Números combinatol'ios. 5. Sustituciones. 6. Sus-
tituciones cu:culares: descomposicióll en ciclos. Ejer·
cicios.
§ 12. Poten das de binomios y polinomios 166
1. Potencia de un binomio. 2. Potencia de un polinomío.
Ejercici()s.
§ 13. Determinantes ................. ,..... ........ 170
1. Origen tIe la teol'ia ele los detemtinantes. 2. Deter-
minantes de segundo y tel'Cel' Ol·den. 3. Determinantes
de orden cualquiera: sus pl·opie<lades. 4. Desarrollo de
un determinante. 5. Menores complementarios. Regla de
LAPLACE. 6. PI'odudo de detenl1inantes. 7, Determi-
nantes especiales. Ejercicios.
§ 14. Cálculo de matrices .. , ................... ,... 191
1. Definiciones. 2. Dependencia lineal de filas y colum-
nas. 3. Cal'Rctel'Ística de una matriz; su cálculo.
Ejercicios.
~ 15. Sistemas de ecuaciones lineales ' ...... .... , ... . 195
l. Expl'esiones algebraicas: su valor numérico. 2. Plan·
teamiento y ü'ansfol'mación de ecuaciones. 3. Teorema
fundamental de equivalencia en los sistemas de ecuaciones
lineales; método de l'educcÍón. 4. Regla de CIlAMER.
5. Sistema genel'al de ecuaciones lineales. (j. Sistemas
de ecuaciones lineales homogéneas. 7. Sustituciones lí·
neal1'6. Ejercicios.
,Vol'Us lit CU1Ji1nlo l/J .. ............... .. . '.' . . . . . . .. 214
1. CJ'lLf)()~ de I>U:!ItiluciOlltls entrc permutaciones. JI. Bi-
hlll1l1'rlÚl ••
~U[
CAPi'l'UL.O IV
ALGORITMO AL<:Jt:BRAICO
§ 16. Principio de identidad. Operaciones racionales con
polinomios . . . . ................ ..... ......... 221
l. Principio de identidad de los polinomios de una valla·
ble. 2. Principio de identidad {le polinomios de var.ias
variables. 3. Opel'aciones enteras con polinomios.
4. División entera de dos polinomios de una variable. 5. Di·
visión de un poJinomio por o.: - a. G. División elltel'a
de dos polinOllli()s (le vadas variables. '7. Método de los
coeficientes indeterminados. Ejercicios.
~ 17. Divisibilidad algebraica ........ ....... .. .... .. 231
1. Concepto de irredll('ibilidad en un campo racional. 2. Teo-
remas fundamentales de la divisibilidad algebraica entre
polinomios de Ulla o más val·iabIes. 3. Máximo común
divisor y mínimo comú'\ múltiplo de los polinomios de una
variable. 4. :Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo .le los polinomios de varias variables. 5. Des
composición en factore- primos d~ un polinomio de una o
más variables: teorelna fundamental. Ejercicios.
18. Ceros de dos polinomios de lIna va dable .. . . . . .. 245
1. Teorema fundamental uel álgebra. 2. Descomposición
factorial. Relaciones entre las l'ElÍct=~ y los coeficientes.
Ejercicios.
19. Resolución elemental de ecuaciones por radicales . 25ü
1. Ecuación de segundo grado. 2. Ecuaciones reducibles
a cuadráticas. 3. Ecuación cúbica. 4. Ecuación cuár-
tica. Ejercicios.
Tolas al Capítulo IV ......... ...... ,. ... ...... .... 265
J. Números algebraicos y trascenilentes. JI. Problemas
clásicos de! álgebra. ITI. Bibliografía.
CAPÍTULO V
EL UMITE ARITMÉTICO
20. Suces;iooes de números nales .......... ... ... . 273
J. J.ll1litci;¡ finiLo!; e infinito!!. 2. Prupiedades de los Ií-
mit.ow 'i"iLua. ~. SurQHioll('!I ~llIlcnidas en otra. 4. Su
c.ulbn It!onfilonas {h mim ru" rCIII c!.q. 5. Límites de os
c:1I.cIAII o( I! IIn .1ICA!&Í"n. 11. Critl'río general de conver-
Ir 1'11:11., ~1If:4lllil)lilll!l rell'lIllIr~. F.jcrcicios.
21. ... I~ulll d Ih~,i~... ..... . ... ............. . .. 282
l. hui dI! lal! IIJH;rUt'¡OIlIl.'l raciuualcs. 2. y,imite dll los
,.,..,'1,11108 y 11Ot.IIU1IlIl. 3. Llmitl!s de potencias en 108
íNDICE GENERAL IX
PAG.
casos singulal·es. 4. Límites indeterminados. 5. El
número e. 6. Sucesiones de números complejos. EjCl'-
cicios .
• ~ 22. Sedes numéricas ... ... . ' ..... , . , . . . . . . . . . . . .. 295
1. Propiedades generales de las sel'i~. 2. Seri.es de tér-
minos positivos: criterios de cOllvergencia. 3. Series al
temadas. 4. Series de tél"luinos positivos y negati-
vos. ó. Series de té.t·millos complejos. 6. Operaciones
con series. Ejel'cicios.
Notas al Cn]lít1Jlo V 330
l. Algoritmos general es de convergencia y sumación.
n.
Al·itmética decimal de los números aproximados.
1I1. Fracciones continuas. IV. Bibliografía.
CAPÍTULO VI
LAS FUNCIONES REALES Y LA CONTINUIDAD
• ~ 2!l. La noción de función ......................... 353
1. Vaxiables y constantes. 2. Noción de función.
3. Campo de existencia. Funciones uniformes y multifor-
mes. Definición general de función. 4. Característica de
una función. Funciones de varias val'iables. 5. Breve re-
seña histórica. 6. Exp1'esión algorítmica de funciones.
7. Funciones racionalcs y funciones enteras. 8. Funcio-
nes algebraicas y cut'vas algebraicas. Funciones tI'ascen
dentes. 9. Funciones pares e impares, 10. Función
potencial. 11. Funciones crecientes o decl·ccientes.
12. Funciones iovel'Slls. 13. Función de fllllción.
14. Cotas y extremos de variables o conjuntos reales.
Ejel'cicios.
- ~ 201. El Umite funcional ..... ... .. ................. 372
1. El límite de una función. 2. Propiedades de los limi-
tes. 3. InfinitésimoH. 4. Cálculo de límites. 5. Lí-·
mite infinito y límite pa1'a x ~ oo. 6. Forma topológica
<le la definición de límite. 7, Criterio de cOllvel'gencia
de BOLZANo-CAUCRY. 8. Lhnites de oscilación. 9. Li-
mite aritmético y limite funcional Ejercicios.
I 26. Noción de ·continuidad. Discontinuidades ....... 387
l. Continuidad.. 2. Divel.'sag claRes dc discontinuidades.
3. Discontinuidades evitables. Vel'dadero valor. 4. Lí-
mites laterales y discontinuidades de Pl'imera especie.
5. Continuidad lateral y continuidad en un intervalo.
11. Discontinuidades de segunda especie. 7. Operaciones
con la" funciones continuas. Ejercicios.
~fi. I'rupi('d:ldf.!!-I de las funciones continuas en un in
I~n"alo cCl"mdo " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 396
1. CQn.'rvllción .Ie l'igno en el entOTIlO de Ull ptlnto.
2. rOl d III!! hm.;it~llc" '·ontinnas. 3. Resoludón de
x
ecuaciones. 4. La propicclnll D tle 10.1 fllnciones conti
nuas. 6. Máximos y mínimo! d" tllncluucs continuas.
6. Continuidad uni!Ol'lnf;:. T(.~)l'clnfl. .1. Hl::olNE-CANTOR.
EjerciclOi:l.
Notas al Capítulo VI 401
(. Nota histórica sobn, la continuidad. n. Con,;untos
lineales. In. El lema de BOKEL y sus aplicaciones.
IV. Discontinuidades puntuales y totales. V. Funciones
semicontinuas. VI. Bibliografía.
CAPíTULO VII
rp
LAS FUNCIONES TRASCENDENTES
ELEMENTALES
§ 27. Funciones exponencial, logarítmica y potencial 411
1. Función exponencial. 2. La continuidad en las fUI1-
ciones lnonótonas. 3. Función )ogaritmica. 4. Fun·
ción potenciaL Ejercicios.
§ 28. Funciones circulares ......... . . . . . . . . . . . . . . . .. 4]4
1. Funciones circulares. 2. El limite de (sen Ix para
:1)
x .... O. 3. Periodicidad. 4. Función sinusoidaL
5. Funciones circulares inversas. 6. Continuidad de las
funciones circulares. Ejercicios.
§ 29. Funciones hiperbólicas 425
1. Funciones hiperbólicas. 2. Representación parBrnétri-
ca. Ejercicios.
Notas al Capítulo VII ........... ............... ... 428
r. Curvas de PEA NO. n. Tablas de funciones.
CA PÍTULO VIII
FUNCIONES DERIVABLES
§ 30. Concepto de derivada ........ ..... ...... ...... 433
I
1. Incrementos y razún incremental. 2. Noción de deri-
vada. 3. Cálculo directo de algunas derivadas. 4. In
terpretación geométrica de ]a derivada. 5. Derivaoas
laterales. Derivada infinita. 6. La fu n ció n deriva-
da. 7. Ángulo de dos curvas. 8. Continuidad de las
lunciones derivables. Ejercicios.
; § 31. Las primeras aplicaciones de la derivada ....... 442
1. Ecuación de la tangente B una curva plana unifor-
me. 2. Ecuación de la normal. 3. Segmentos cletel'
minados pOI' la tangente y la normal. 4. Movimienlo
rectiUneo. Velocidad. Ejercidos.
íNDlCE GENERAL XI
PÁG.
• ~ 32. Cálculo de la derivada ....................... . 446
1. Linealidad de la derivación. 2. Derivada del logarit·
mo. 3. Derivada de una función de función. 4. El
método de la derivada logarítmica. Reglas uel producto y
del cociente. 5. Derivación de determinantes. 6. De-
rivadas de las funciones potencial y exponencial. 7. De-
rjvadas de las funciones circulares. 8. Derivada de la
función inverSa. 9. Aplicación a las funciones cjrculare~
inversas. 10. Del'Ívadas de las funciones hiperbólica~
directas e inversas. 11. Tabla de derivadas. Ejerci·
cios.
• ~ 33. Variación de las funciones ...... .............. 457
1. Criterios de crecimiento y decrecimiento. 2. Máximos
y mh\inl0S relativos. 3. Condición necesaria de máximo
o de mínimo. 4. Deterrmn8ción de máximos y míni-
mos. 6. Criterio 1 Q: Variación de la función. 6. Cri-
terio 2Q: Variación de la derivada nrimera. 7. Criterio
30: Mediante la derivada segunda. - 8. Simplificaciones
en el cálculo de máximos y mínimos. 9. Coneavidad.
Puntos de inflexión. 10. Estudio de la variación. Ejer
cicios.
:.. :\4. La diferencial ........... .................... 469
1. Definición de diferencial y expl'"sión analítica. 2. Re
presentación geomótrica. 3. Relación con el incremen-
to. 4. Regla:; oe djferenciaci0n. 5. Diferencial de una
función de función. 6. Tangente y normal a una CUl'Va
plana nada en forma paramétrica. 7. Tangentes a la!'
curvas planas en coordenadas polares. Ejercicios.
Notas al Capítulo VIII................... .. ........ 474
l. Orígenes del Cálculo diferencial.
CAPÍTULO IX
TEOREMAS DEL VALOR MEDIO y
CONSECUENCIAS
f :tÓ. TeOl'emas del valor medio . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 477
J
1. El teorema del incremento finito y su significado geo·
métrico. 2. Demostración del t e o r e m a de LAGRAN-
roE. 3. Consecuencia. Teorema fundamenta) del Cálculo
il)tegral. 4.. Acotaci6n del error en una función.
6. [nteqwlación lineal. Acotación del error. 6. Cálculo
aprolCim8do de logaritmos. 7. Derivación gráfica.
8. Teorema de CAUClj:Y. Ejercicio.s .
• t :.tlj. I .... imites indeterminados ...... _ . . . . . . . . . . . . . . . . 483
L ¡"orma %. Regla de BERNOULLI-L'HoSPI'I'AL. 2. Apli
C:1lI:ión reiterada. 3. Generalizaciones. Límite para
'" - 00, y forma 00/00. 4. Formas 0.00 e 00 _ ca.
Ií. r,")"n"8 exponl"ncialea oo·, O·, l·JO. 6. Sustitución de
vnrl,,1J1 QtdVlllvJI!.c:B. Ejcrcl['i08.