Análisis matemático II : topología y cálculo diferencial

323 Pages·2016·11.72 MB·Spanish

by  José Antonio Fernández Viña

J. A.FéfT»¿n<iez ViAa
JOSE ANTONIO FERNANDEZ VIÑA
Catedrático Numerario de la Universidad de Murcia
ANALISIS
MATEMATICO II
TOPOLOGIA Y CALCULO DIFERENCIAL
2.- EDICION CORREGIDA
Impresión de cubierta:
Gráficas Molina
1.* edición, 1984
2.' edición, 1992
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en cualquier tipo de soporte.
© José Antonio Fernández Viña, 1992
© EDITORIAL TECNOS, S.A., 1992
Telémaco, 43 - 28027 Madrid
ISBN: 84-309-2152-4
Depósito Legal: M-9470-1992
Printed in Spain - Impreso'en España por Mapesa, S.A. Villablino, 38. FuenJabrada (Madrid)
A la querida memoria
de mis padres
INDICE
Prólogo .............................................. 11
Capítulo I. E^t>acio¡ vecioriala i 13
S*%.^&tmcmra eucúde^ 'espacio R".'/5. Des’i-
m^tncos. 16. BolaséniH^spaa^némSj^^
dc^i¿n^^acio niétri^, IS. tinlomos de un ounlo. IH, L.onmaiQa.A¿icrÍüa--flCTiS5oir
lopológico 20. ConiunK» cerrados 20 Interior de un coniuntn 21. Adherend» de un
conjunto. 21. Punto» de aguiniil«d<Sn. 22. F.ninmn» r-diinrint 22 Normas eauivalen-
tes en un espacio vectoiial. 22 Distand^ eauivalenles. 25. Umite de una ^ucesión en
JU ¡SOAfl&JQ^ijQSS^ Jniddad. 26. E^sopaaos MjvtncOTComplct^ Espacios de
Banach, ^|^Stj^^??rPTocfucto de espados
métricos, ii.^ea!l^^!!^í!^T!?rroBiüñtos conexos de un métric^ Com
^onentc^(roncxas^^2¡,^n¿unto^ sl££22^
Capítulo 2. Aplicaciones entre espacios métricos. Continuidad
Limite de una aplicacidn en un pupto^. Unicidad del Ifmiie 49. Ointinniriad ,
uq Cnteno de Cauchv. 52. FFuunncciones continuas, 54. Isometrías. Horneo-
^ PropFedad de los valores intcrmeoi^íífxcímnudídad uniforme,
OU. Aplicaciones contractivas, 62. Teorema del punto fijo, 62. Sucesiones de fundo­
nes, 63. Espacios de aplicaciones lineales continuas, 64. Ejerddos, 67.
Capítujlloo3 3.. _E_s_p__a_c_io__s_ d__e_ H__U__b_e_r_i ......................................................................................................... 70
Introduccián. 70. Formas sesQuilineales. 70. Espacios prehilbertianos. 71.. DDeessiiggu al-
dad de Schwarz, 72. Desigualdad de Mmkowski, /j. vectores ortogonales, 73.. 1For­
mas no degeneradas. Norma asociada, 74. Espacios de Hilbert, 75. Proyecdones, 76.
Conjuntos convexos, 76. Series en los espados vectoriales normados, 79. Criterio
general de convergencia de Cauchy, 79. Series normalmente convergentes, 79. Crite­
rio de Weierstrass, 80. Sistemas ortonormaies y sistemas totalcb, 80. Sistemas totales.
82. Coeficientes de Fourier y series de Fourier, 83. Ejercicios, 84.
Capitulo 4. Diferencial^ v derivadas ..................................................................................................... 87
Introducción, 87, Concepto de diferencial de una fundón en un punto, 87. Uniddad
de la diferendal, 88. Derivada respecto de un vector. Derivadas pardales, 88. Matriz
jacobiana y determinante jacobiano, 91. Gradiente, 93. Interpretadones geométricas
de la diferendal, 93. Superfides y curvas en forma explícita, 94. Superficies en forma
implícita, 94. Cálculo de derivadas, 95. Funciones derivadas y derivadas de orden
superior, 95. Fundones continuamente derivables, 96. Permutabilidad del orden de
las derivaciones, 99. Diferendadón y derivadón de las fundones compuestas, 102.
Cambios de variables, 105. Derivadón de las funciones imolícitas, 109. El teorema
de los incrementos finitos, 111. Caracterización de las funciones constantes. 114. La
fórmula de Taylor, 115. Mayoración del término complementario, 116. Fundones
analíticas, 118. Diferencial segunda y diferendales de orden superior, 118. Diferen­
cial segunda, 118. Nueva expresión de la fórmula de Taylor, 12J. Extremos relativos
de las funciones reales, 121. Caso de las funciones de varias variables reales, 122.
Formas cuadráticas definidas, 124. Caso de las funciones de dos variables, 126. El
método de los mínimos cuadrados, 127. Extremos relativos cordidonados, 128. Mé­
todo de los multiplicadores de Lagrange, 129. Ejerddos, 133.
Capítulo 5. Funciones implícitas y variedades diferenciales ......................................................... 139
Introducción, 139. El método de las aproximaciones sucesivas, 140. Existenda y
propiedades de las funciones implídtas, 141. Caso de una sola ecuadón, 141. Funcio­
nes implícitas definidas por un sistema de ecuaciones, 148. Funciones recíprocas o
10 ANALISIS MATEMATICO II
inversas, 154. Derivadas de una función recíproca, 755, Difeomorfismos 759, Coor­
denadas curvilineas, 767. Dp>endencia funcional, 164. Independiencia funcional, 169.
Variedades diferenciables, 170. Variedades definidas explícitamente, 170. Varieda­
des definidad implícitamente, 172. Variedades definidas en forma parámetrica, 775.
Coordenadas locales en una variedad, 775. Aplicaciones diferenciables entre varie­
dades, 180. Espacio tangente a una variedad en un punto, 180. Vectores normales a
una variedad, 187. Camp>os continuos de vectores normales, 189. La banda de Moe-
bius, 191. Orientación de las variedades diferenciables, 193. Representaciones para-
métricas coherentes, 193. Orientación canónica de un espacio tangente, 194.Aúa&
orientadores de una variedad, 194. Variedades orientables y variedades orientadas,
194. Borde orientado de un dominio en R'*, 201. Borde orientado de un dominio en
una variedad, 203. Variedades diferenciables abstractas. 203. Ejercicios, 204.
Cai’I m u) ft. hormas diferenciales de primer grado ..................................................4...................... 2()9
Concepto de forma diferencial de primer grado, 209. Notación canónica de una
forma diferencial, 209. Operaciones con formas diferenciales, 210. Formas diferen­
ciales de clase m, 211. La diferenciación, 211. Primitivas de las formas de primer
grado, 277. Conjuntos estrellados, 213. Cambio de variable en las formas diferencia­
les, 214. Forma canónica de 215. Campos de vectores y formas de primer
grado, 216. Caminos lisos en R'*, 217. Cambio de parámetro, 218. Orientación de
caminos, 218. Caminos lisos por secciones, 219. Operaciones geométricas con cami­
nos, 220. Integrales de las formas diferenciales de primer grado, 227. Trabajo de un
campo de vectores, 223. Propiedades elementales de las integrales, 224. Integral de
una forma diferencial exacta, 225. Función potencial de un campo de vectores, 226.
La función integral de una forma diferencial. 228. Ejercicios, 231.
Capítulo 7. Funciones defmidas mediante integrales ....................................................................... 236
Integrales dependientes de un parámetro, 236. Familias de funciones uniformemente
convergentes, 236. Continuidad de las integrales dependientes de un parámetro, 239.
Derivadas de las integrales dependientes de un parámetro. 241. Aplicación al cálculo
de integrales definidas, 244. Integrales de las integrales dependientes de un parámetro,
246. Interpretación geométrica de las integrales reiteradas, 247. Extensión a las inte­
grales impropias, 249. Integrales impropias uniformemente convergentes, 249. Rela­
ción entre las funciones eulenanas de pnmera y segunda especie, 253. Integral de
f** sen X
Gauss, 255. Integrales de Fresnel, 2.S6. Cálculo de la integral -------- dx, 258.
Jo X
Rcgulari/nción y aproximación de funciones, 259. Convolución, 260. Transformación
de Fourier, 261. El espacio 'f, 264. Fórmula de inversión, 270. Nociones sobre la
transformación de Laplace, 272. Funciones de tipo exponencial, 272. Aplicación de
la transformación de Laplace a las ecuaciones diferenciales, 275. Ejercicios, 278.
Capítulos. Aplicaciones geométricas del ailculo diferencial ....................................................... 283
Puntos ordinarios y singulares de una curva paramétrica, 283. Recta tangente y plano
normal a una curva en un punto, 283. Posición de una curva respecto de su tangente,
285. Curvaturas y fórmulas de Frenet en R", 289. Longitud de un arco de curva, 290.
El parámetro natural, 290. Derivada de un producto escalar, 291. Cálculo de la
derivada segunda en función del arco, 292. Subespacios osculadores y base intrínseca,
292. Triedro de Frenet en R\ 293. Curvaturas en un punto, 296. Curvatura de una
circunferencia, 297. Fórmulas de Frenet, 298. Cálculo de la torsión, 300. Curvaturas
de una hélice, 302. Clasificación de los puntos de una superficie, 302. Superficies
regladas, 307. Superficies desarrollabtcs, 308. Planos asintótico y central, 310. Punto
central y línea de estricción, 310. Curvas sobre una superficie general, 312. Líneas
de curvatura, 313. Direcciones principales, 317. Líneas asintóticas, 318. Geodésicas,
319. Ejercicios, 320.
Índice alfabético ......................................................................................................................................... 325
PROLOGO
Este volumen constituye h continuación del primero publicado bajo el título
de Análisis Matemático 1 por la misma editorial y corresponde a la parte de
Topología y Cálculo Diferencial incorporada habitualmente a las enseñanzas del
segundo curso de Análisis Matemático en las Facultades de Ciencias y a las
asignaturas de Matemáticas 1 y II de las Escuelas Técnicas Superiores. Se trata
en ellas fundamentalmente de las funciones de varias variables reales aunque
muchas veces se exponen las cuestiones en espacios abstractos, más generales que
los espacios numéricos de dimensión finita.
En su redacción hemos procurado conjugar la claridad y el rigor presentando
los conceptos y teoremas cón el mayor grido de generalidad que permite la
preparación de los lectores a este nivel, sin caer por otra parte en la tentación de
hacer una exposición excesivamente abstracta que podía quedar bien sobre el
papel pero no ser de verdadera utilidad, por su alejamiento de la realidad, en ¡o
progresiva formación de los estudiantes. Podríamos citar muchos ejemplos que
reflejan esta preocupación pedagógica a lo largo de la obra, pero bastará con
comentar uno.de los más notables cual es la teoría de las funciones implícitas.
Habiendo tomado como marco para sentar el concepto de diferencial el de
los espacios vectoriales non.xados se podría haber desarrollado dicha teoría en
tales espacios, obteniéndose después como caso particular los teoremas que se
exponen en el capítulo 5. Hemos preferido sin embargo presentar tan importante
cuestión como históricamente se planteó en las Matemáticas, centrándonos en el
problema de despejar en una ecuación o en un sistema que encierra cualquier
número de variables reales, una o varias de alias en función de las demás. Incluso
para hacer esto hemos tratado separadamente el caso de una sola ecuación y el
de un sistema y nos hemos apoyado en un teorema elemental de punto fijo,
siguiendo a los tratadistas clásicos. Junto a esta teoría se incluye su aplicación
geométrica de la equivalencia entre las diversas nociones de curva o superficie,
que culmina con el concepto general de variedad diferenciable. Se trata también
aquí el problema de la orientación.
Para el estudio de la continuidad de las funciones hemos adoptado el marco
de los espacios métricos, más general pero no más complicado que el de los
espacios numéricos de dime,isión finita A dichos espacios dedicamos los dos
primeros capítulos del libro. Creemos que pueden asimilarse bien siempre que se
conozca la topología de la recta real.
En el tercero se hace una exposición elemental de la teoría de los espacios de
Hilbert y su aplicación a las series de I'ourier, que fueron introducidas en el
primer tomo. No es, desde luego, hiás que una introducción a t:¡n extenso como
importante tema.
12 ANALISIS MATEMATICO II
El capítulo 4 se dedica a las propiedades de las funciones diferenciables.
Aunque los conceptos fundamentales y algunos teorenuu importantes se estable-
cen para aplicaciones entre espacios vectoriales normados, se hace hincapié en el
caso de las funciones de varias variables reales.
El capítulo 5 lo ocupa, como decíamos más arriba, la teoría de las funciones
implícitas y las variedades diferenciables.
En el 6 hacemos Hin estudio de las formas diferenciables de primer grado y
sus integrales, las integrales curvilíneas, lo que constituye una introducción send-
lia 'al moderno cálculo diferencial exterior. Se presta asimismo atención a los
campos vectoriales para conectar con el lenguaje propio de la Mecánica y la
Física en general.
Sigue un capítulo dedicado a las funciones definidas mediante integrales, pro­
pias e impropias, en el que hemos incluido temas tan interesantes como la regula-
rización de funciones por convolución, la transformación de Fourier y la de La-
place.
El libro se termina con un ^capítulo, que es en cierto modo un apéndice,
dedicado al estudio dé algunas importantes aplicaciones del Cálculo Diferencial
a la Geometría. Es del mayor interés que el alumno compruebe la fecundidad de
los métodos del Cálculo en otras áreas de la Ciencia, y aquí hemos elegido para
mostrarlo la Geometric por no salimos del ámbito de las Matemáticas.
Al igual que en el tomo I hemos procurado ilustrar los conceptos y métodos
con ejemplos concretos y aplicaciones que ayudaran a fijar las ideas. Y para que
el lector tenga la oportunidad de contrastar la asimilación de la teoría se incluye,
al final de cada capítulo, una extensa colección de ejercicios, casi todos de inme­
diata aplicación de la misma. No creemos necesario insistir sobre la importancia
del aspecto práctico en el aprendizaje de las Matemáticas. Para ayudar en tal
sentido a los estudiantes recoinendamos nuestros Ejercicios y Complementos de
Análisis Matemático II.
La lectura del libro presupone los conocimientos generales de un primer cur­
so de Análisis, salvo, quizá, para algunas c uestiones que pueden considerarse más
o menos autónomas. Por eso frecuentemente indicamos las definiciones o teore­
mas en que a veces nos apoyamos remitiendo al lector a nuestro Análisis mate­
mático I; una referencia como por ejemplo 1.7.5.2 indica la conveniencia de con­
sultar el epígrafe 7.5.2 de la mencionada obra. Si la rita cifrada no va precedida
del número I se entenderá que lo es dentro del propio libro.
Terminaremos expresando nuestro agradecimiento a la Editorial Tecnos que
una vez más nos honra con la publicación de uno de nuestros trabajos.
NOTA A LA SEGUNDA EDICION
En esta segunda edición se han corregido los errores que había en la anterior
y se ha mejorado el texto con algunas modificaciones y ampliaciones en ciertos
epígrafes.
CAPITULO 1
ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
Y ESPACIOS METRICOS
1.1. NORMA SOBRE UN ESPACIO VECTORIAL.—Sea £ un espacio vecto­
rial sobre el cuerpo K de los números reales o complejos. Llamaremos norn^a en el
espacio vectorial £ aJoda aplicación de £ en el conjunto IR^. de los números reales
no negativos, II II : £ -»IR4, que verifique las condiciones siguientes:
^ II XI I = O si y sólo si X = O
2)1 II X JC II = I A 1 II X II, para todo número aeK y lodo vector xe£
^ II ^ II ^ II ^ .11 + II y II, para todo par de vectores x, y e £
Obsérvese que el valor absoluto, x h»| x |, de los números reales o complejo»
verifica las tres propiedades anteriores; asi pues, el valor absoluto en R ó en C cü
una norma en el espacio vectorial IR ó C respectivamente, de modo que la noción
de norma es una generalización de la de valor absoluto.
1.1.1. Ejemplos.—1.®) El conjunto K” formado por las matrices x *» ( I, MI, Xy,
x„j donde XjE K para j = 1, 2,.... n, tiene una estructura de espacio vectorial sobre
K con las operaciones
X -f >' = /'x,, ..., X;,_..., x j + ..., Vj......y j =
= (xi 'i- y i,X j -H yj,..., x„ -f yn)
AX = .................... Xj........XJ = (áXi...........AXy, ..., ÁxJ
como puede comprobarse inmediatamcnle. Ll vector ü de K", elemcnU» neutro
para la adición, es la matriz (O, ..., O, ..., 0) cuyos elementos son todos igualen ul
Oe K. El opuesto -x del vector x = (x....... Xj,..., x„) es la matriz -x « - X|.....
-Xj,..., -x„j formada con los números opuestos en K de los que forman la nuitn/
X.
Vamos a introducir varias normas sobre el espacio vectorial K \ La primera de
ellas, que denotaremos por || ||o, se define del siguiente modo:
II X lio = sup M X, I, ..., I Xj I....|xj;
y ahora comprobaremos que, en efecto, verifica las tres condiciones que »c
requieren para que sea una norma:
1) Si II X lio = O, esto significa que el mayor de los números reales no ncgali
vos |x, I,..., |x;|,..., |x„| es 0; por consiguiente, todos deben de ser nulox, cMo c%,
IX; I = O para 7 = 1 , n, luego Xj = O para 7 = 1, n y por tanto el vcctoi \ cu el
vector ( O , O , 0), es decir, el Oe /C". Luego || x l|o « O implica x ■ O Kcclproca
mente, si x = ü, su norma valdrá ||0||o = sup (0......0.......0) - O,
14 ANALISIS MATEMATICO II
2) SiAe/C,
\\Xx\\o = sup (\Xxil \ X x j l \Xxn\) =
= supr|A| MI |x j;
y como m > O, el último término vale \X \ sup I» -i \xjl \x„\J, esto es,
m IIX lio. Luego M X lio = m IIX ||o, para cualquier vector x e K\
3) Si X, y €X" tendremos |x^ -I- ^ |xy| + ly^l en virtud de las propiedades
del valor absoluto de los números. Entonces, evidentemente,
|X; + yyl ^ sup ru , 1........|X;|,|xj; -f
+ sup n I, I yj I , I yJ = IIX lio -h || y ||o
y esto es válido para ; = 1, n. Luego
sup Mx, -I- yi I. |x^- -f- y,I,-..., |x„ -f y„\) < ||x||o -f ||y||o
es decir, ||x + y||o < ||x||o + ||y||o
Comprobadas las tres condiciones podemos asegurar que la aplicación
X »-^j|x||o, de K" en IR + , es una norma.
2^) Consideremos ahora una segunda norma sobre el espacio X", que deno­
taremos por II II,, y definiremos del siguiente modo:
||x||, = |x, I -f ... +_[x^| -f ... -f |x„|
dejando al cuidado del lector la comprobación de las tres propiedades característi­
cas de las normas.
S.*") El conjunto C(I) de las funciones reales o complejas continuas en un
intervalo compacto I de la recta real tiene, como sabemos, una estructura de
espacio vectorial sobre IR ó C respectivamente, con las operaciones (f g) (t)
= f(^) + 9(V y (Xfj(t) = Áf(tj , para tel. Como / es compacto la función
real 1/| está acotada en I por ser/continua y por tanto tiene sentido considerar la
aplicación
/M supi/rí;i
de C(IJ en IR + . Probemos que esta aplicación es una norma.
1) Si ll/ll = O, esto es, si sup \ f(t) | = O, es claro que\fftj | = O para todo íg/,
t€¡
luego f(t) =0 y por consiguiente la función / es la función nula, /= O, del
espacio vectorial C(IJ. Recíprocamente, si / es la función nula, o sea, <\ f(tj = O
para todo tel\es evidente que ||/|| = sup 0 = 0.
2) SiXeK
||//||-siipM /íí;| =-sup|;.| \jn)\ =
IlI Itl
= |/|sup|/rí;i = m iiyii
tel
donde se ha tenido en cuenta que | / 1 ^0. Luego |U71| = | >^^ 1^ ll/IK para cualquier
vector feC(Ij.