Análisis matemático I: Cálculo diferencial

470 Pages·2016·11.293 MB·Spanish

by  Moisés Lázaro C.

ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Cálculo
Diferencial
♦ La Derivada
♦ Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas
♦ Derivadas Parciales
♦ Derivación Implícita
♦ Aplicaciones de la Derivada
♦ Diferenciales
♦ La Derivada de la Función Inversa
♦ Polinomio de Taylor
MOISÉS LÁZARO C.
Autor : Moisés Lázaro Carrión
Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de
la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).
Experiencia Docente:
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Ricardo Palma
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad Nacional de Ancash - Santiago Antúnez de Mayolo
Universidad Nacional del Callao
Universidad Particular San Martín de Porres
La presentación y disposición en conjunto de:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
CÁLCULO DIFERENCIAL
Autor: Moisés Lázaro Carrión
Son propiedad de: Dis. Imp. Edit. Lib. MOSHERA S.R.L.
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ción escrita de la editorial.
Decreto Legislativo.................................................................................. : 822
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°... : 2014-02916
International Standard Book Number ISBN.................................... : 978-9972-813-81-8
Derechos reservados ©
Cuarta edición: Marzo 2014
Tiraje: 500 ejemplares
Obra editada, impresa y distribuida por: PEDIDOS AL POR MAYOR
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Impreso en el Perú - Printed ¡n Perú
Dedico este libro a lodos los
trabajodores de la ¿SdiforiaI
AAoshera S.R.jL. por su sa­
crificada labor en hacer rea­
lidad la presente obra.
IV
PRÓLOGO
Con el título de CALCULO DIFERENCIAL, que es parte de todo curso de Aná­
lisis Matemático I, se presenta al lector que sigue las carreras de: Ciencias,
Ingeniería, Economía, Administración y Contabilidad el presente Libro que
contiene ocho capítulos bien definidos que son:
Capítulo 1: La derivada de una función y los teoremas relativos al tema.
Capítulo 2: Representación paramétrica de las curvas, su gráfico y deri­
vadas.
Capítulo 3: Derivadas parciales y sus aplicaciones a la economía.
Capítulo 4: Derivación implícita y sus aplicaciones.
Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada, los máximos y mínimos de una
función, problemas de aplicación, los puntos de inflexión y
gráfica de funciones.
Capítulo 6: La diferencial de una función, como aplicación lineal, apli­
caciones de la razón de cambio a diversos problemas.
Capítulo 7: La derivada de la función inversa, su existencia y teoremas.
Capítulo 8: El polinomio de Taylor, su aplicación para aproximaciones a
funciones.
Cada uno de los capítulos están sustentados con sus respectivas defini­
ciones y teoremas, para los cuales he tenido cuidado de respetar su riguro­
sidad y formalidad para que el lector no caiga en error alguno.
El libro tiene la característica de ser: didáctico, práctico y riguroso. Se
han hecho diversos y variados ejemplos que ayudarán al estudiante a salir
de dudas y sobre todo reforzar su aprendizaje.
Sugiero al lector respetar los enunciados y definiciones tal como se dan,
una alteración de ello sólo llevará a situaciones incongruentes y ahondaría
las dudas.
Agradezco al economista Cesar Sandoval M. por su gentil colaboración
en el capítulo relativo a las aplicaciones a la Economía.
EE Auím .
VI
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1: LA DERIVADA
0 Introducción
0.1 Función Real de una Variable Real .................................................... 1
0.2 Puntos de Acumulación.......................................................................... 2
0.3 Límite de una Función............................................................................ 3
0.4 Funciones Continuas ............................................................................... 7
1 La Derivada
1.1 Derivada de una Función en un Punto ............................................. 9
1.2 Otra Forma de Definir la Derivada de f en a .................................. 12
1.3 La Función Derivada ............................................................................... 13
1.4 Derivadas Laterales ................................................................................. 13
1.5 Interpretación Geométrica de la Derivada ...................................... 14
1.6 Derivada de una Función en un Intervalo....................................... 15
2 Teoremas Sobre Derivadas ................................................................................. 16
3 Velocidad y Aceleración ...................................................................................... 26
4 Razón de Cambio y Análisis Marginal............................................................ 31
4.1 Coste Marginal .........................................¿................................................. 31
4.2 Razón Porcentual de Cambio ................................................................ 32
4.3 Ecuación de la demanda, Función Ingreso Total,
Función Ingreso Marginal, Función de Ganancia.......................... 33
4.4 La Función Ingreso Total....................................................................... 34
4.5 La Función Ganancia............................................................................... 36
5 Diferenciabilidad de una Función en un Punto.......................................... 39
5.1 Ejemplos........................................................................................................ 41
6 La Derivada de la Composición de dos Funciones....................................... 44
6.1 Problemas .................................................................................................... 47
7 Derivación por Medio de Fórmulas.................................................................. 58
7.1 Ejercicios Diversos .................................................................................... 87
7.2 Ejercicios Propuestos ............................................................................... 97
7.3 Problemas .................................................................................................... 99
vii
Capítulo 2: CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
1 Introducción.............................................................................................................. 103
2 Parametrización, Ecuaciones Paramé tricas................................................. 104
3 Función Vectorial..................................................................................... 117
3.1 Imagen de una Función Vectorial.......................................................... 117
4 Definición de Curva Plana................................................................................... 118
4.1 Parametrización de una Curva.............................................................. 118
5 Camino o Trayectoria............................................................................................. 119
6 Curva Cerrada (lazo)............................................................................................. 120
7 Punto Múltiple......................................................................................................... 120
8 Curva Regular........................................................................................................... 122
9 Derivada Paramétrica........................................................................................... 127
10 Tangentes................................................................................................................... 128
11 Gráfica de una Curva en Coordenadas Paramétricas................................ 129
12 Importancia de los Caminos................................................................................ 150
Capítulo 3: DERIVADAS PARCIALES
1 Definición de una Función que Depende ded os Variables...................... 152
2 Derivada Parcial de f respecto a “x” y Respecto a “y” ............................. 152
3 Derivadas Parciales Aplicadas a la Microeconomía (Multiplicadores
de Lagrange) Demanda de Bienes de Consumo, Demanda de
factores de Producción........................................................................................ 154
Capítulo 4: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
0 Introducción
1 Definición .................................................................................................................. 165
2 Derivación Implícita.............................................................................................. 165
2.1 Problemas ...................................................................................................... 166
2.2 Ejercicios Propuestos................................................................................ 185
3 Derivada Logarítmica Aplicando Propiedades y
Derivación Implícita............................................................................................ 188
4 Derivadas de Orden Superior............................................................................ 194
viii