Análisis matemático I

446 Pages·12.33 MB·Spanish

by  Jesús Fernández Novoa

UNIVERSIDAD NACIONAL
DE EDUCACION A DISTANCIA
07121
ANALISIS MATEMATICO I
1
JESÚS FERNÁNDEZ NOVOA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Unidad Didáctica /1
Universidad Nacional de Educación a Distancia
UNIDADES DIDÁCTICAS (0107121UD01A04)
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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Cuarta edición: julio de 1991
Undécima reimpresión: diciembre de 2009
Impreso por: Fernández Ciudad S.L.
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ANALISIS MATEMATICO I
i/i
TEMA I
Los números naturales
Esquema/ resumen
1.1. Axiomas de Peano.
1.2. Suma de números naturales.
1.3. Producto de números naturales.
1.4. Potenciación de números naturales.
1.5. Ordenación de los números naturales.
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Los números naturales
1,2, 3,4, 5,...
son los números de contar. En este tema vamos a hacer un estudio formalizado del con­
junto M de dichos números, de las dos leyes de composición, suma y producto de números
naturales y de la relación de orden definida sobre N.
Todo esto es conocido, al menos intuitivamente, desde la enseñanza general básica.
Se sabe cuáles son los números naturales, cómo se suman y se multiplican y también cuándo
un número es mayor o menor que otro. Lo que se va a hacer aquí es fundamentar todas
estas cuestiones.
El método que seguiremos para estudiar los números naturales es un método axiomá­
tico. Los axiomas que definen el conjunto N de los números naturales son los conocidos
como axiomas de Peano (1.1).
Se observa en primer lugar que todo número natural tiene un siguiente. Más aún, si dos
números naturales son distintos, sus respectivos siguientes son también distintos. Esto se
traduce formalmente diciendo que existe una aplicación de N en N (la aplicación que a cada
número natural hace corresponder su siguiente) y que esta aplicación es inyectiva.
Sin embargo, la aplicación “siguiente de” no es suprayectiva: El número natural 1 no
es el siguiente de ningún otro. Además, el número 1 es el único que no tiene antecesor.
Otra propiedad característica de los números naturales es el principio de inducción,
que se puede enunciar de la siguiente forma: Sí un subconjunto de números naturales con­
tiene al número 1 y, siempre que contenga un número natural, contiene también al siguien­
te, entonces dicho subconjunto es el conjunto de todos los números naturales.
Otra forma equivalente y tal vez más intuitiva de enunciar el principio de inducción es
la siguiente: Si una propiedad referente a números naturales se verifica para el número 1 y,
siempre que se verifique para un número natural, se verifica también para el siguiente, en­
tonces esa propiedad se verifica para cualquier número natural.
Un ejemplo sencillo puede contribuir a clarificar el principio de inducción: Supongamos
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que tenemos una fila indefinida de soldaditos de plomo. Empujando al primero podremos
hacer que todos caigan con tal de que el primero caiga al ser empujado y, siempre que caiga
uno cualquiera de ellos, automáticamente empuje y haga caer al siguiente.
Uno de los tipos de definiciones frecuentes en Matemáticas es el de las definiciones por
recurrencia. Estas definiciones sirven para introducir conceptos en los que intervienen núme­
ros naturales y utilizan para ello el principio de inducción. Así se definen, por ejemplo, la
suma y el producto de números naturales (1.2 y 1.3).
Las propiedades de la suma (asociativa, conmutativa y cancelativa) y las del producto
(asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma y cancelativo) de números natu­
rales se demuestran por inducción (1.2 y 1.3).
En el párrafo 1.4 se estudia la potenciación de números naturales.
Finalmente, se define la ordenación habitual de los números naturales (1.5). Esta orde­
nación es compatible con la suma y con el producto y hace de N un conjunto bien orde­
nado.
Observaciones sobre el tema:
a) Puede resultar conveniente, en una primera lectura, limitarse a las definiciones y a
los enunciados de las proposiciones, dejando las demostraciones de las mismas hasta
que se hayan realizado los ejercicios de autocomprobación. Estos ejercicios contri­
buirán seguramente a hacer comprensible el mecanismo de la inducción. Después
pueden leerse las demostraciones, que no son sino otros ejemplos de aplicación, algo
más sofisticados quizás, del principio de inducción.
b) Algunos textos incluyen el cero entre los números naturales. Esto no supone ningún
cambio esencial en el desarrollo. Por ejemplo, los axiomas de Peano se escribirán
igual que como nosotros hemos hecho pero cambiando 1 por 0 en los axiomas se­
gundo y tercero.
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1.1. AXIOMAS DE PEANO
Un sistema de números naturales es un par formado por un conjunto N y una aplica­
ción s: M -* N que verifican las siguientes propiedades:
1. s es una aplicación inyectiva.
2. Existe un único elemento 1 G N tal que s (n) 1 para todo n G N.
3. Sz un subconjunto U de N verifica
a) 1 6 U y
b) n G U implica s{n) G U,
entonces U = N.
Estas tres propiedades se conocen con el nombre de axiomas de Peana. La aplicación 5
es la que a cada número natural hace corresponder su siguiente. Así, con la notación ha­
bitual,
s(l) = 2, 5(2) = 3. 5(3) —4,...
El axioma 3 se llama principio de inducción. Otra forma equivalente de enunciarlo es
la siguiente:
Si una propiedad P referente a números naturales se verifica para el número 1 y, siempre
que se verifique para un n G N, se verifica también para su siguiente s(n), entonces la pro­
piedad P se verifica para todo número natural.
1.2. SUMA DE NUMEROS NATURALES
La suma m + n de dos números naturales m y n se define por recurrencia poniendo
m + 1 — 5 (m) y m + s (n) — s (m + n).
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Por el principio de inducción, cualquiera que sea el número natural m, la suma m 4- n
está definida para todo n G N. La primera fórmula de la definición da la suma m + 1 y la
segunda nos permite construir la suma m 4- (n + 1) = m 4- s (n) una vez conocida la suma
m + n:
m + 2 = m 4- 5 (1) = s (m 4- 1),
m 4- 3 — m 4- 5 (2) = s (m + 2),
m + (n + 1) — m + s (n) = s(m + ri).
Proposición: La suma de números naturales es una ley de composición interna sobre N.
Dono si ración: Tenemos que probar que la suma es una aplicación de N xN en N, es
decir, que hace corresponder a cada par (m, n) de números naturales un único número
natural que es el que designamos porm 4- n.
Como hemos dicho antes, del principio de inducción se deduce que, cualquiera que
sea el número natural m, la suma m + n está definida para todo n G N. En efecto: si n = 1,
la suma m + 1 está definida y es, por definición, igual a s (m); supuesto definida m + n tam­
bién esta definida m 4- s(n) pues, por definición, m 4- s(n) — s (m 4- n). Por consiguiente,
la suma m 4- n está definida para cualquier n G ÍN y como m era un número natural arbi­
trario, la suma m 4- n está definida para todo par (m, n) de números naturales.
Para probar la unicidad de la suma bastará ver que si m = p y n — q entonces
m 4- n = p 4- q. Por inducción sobre n probaremos en primer lugar que si m = p entonces
m + n =■ p 4- n:
Si m — p, también 5 (m) = s(p) por ser s una aplicación de IN en N, y como por defini­
ción es m 4- 1 — s (m) y p 4- 1 = s (p), será m 4- 1 — p 4- 1. Por tanto,
m — p implica m 4- 1 = p 4- I
y Ja propiedad se cumple para n — 1.
Supongámosla cierta para n, es decir, supongamos que
m — p implica m 4- n = p 4- n.
Entonces también
m — p implica m 4- 5 (w) = p 4- s (n)
puesto que, por definición, m + s(n) = s(m + n) y p + s (n) = s (p + n) y por la hipótesis
de inducción y ser s una aplicación de N en N, s (m + n) = s(p 4- n).
Asi pues, efectivamente, cualesquiera quei seMflos números naturales m, n y p,
m — p implica m 4- n = p 4- n.
Análogamente se prueba que también
m — p implica n 4- m — n 4- p.
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ANALISIS MATEMATICO I 1/7
Ahora es ya fácil probar que
m — p y n — q implican m 4- n = p 4- q.
Basta tener en cuenta que
m = p implica m 4- n — p + n
y que
n = q implica p 4- n = p + q.
Proposición: La suma de números naturales es una ley de composición asociativa,
conmutativa y cancelativa, es decir, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p,
se verifican las siguientes propiedades:
1. Asociativa: (m 4- n) + p = m 4- (n + p).
2. Conmutativa: m + n = n + m.
3. Cancelativa: m + p — n + p implica m — n.
Demostración:
1. Procederemos por inducción sobre p \ Sean m y n dos números naturales arbitrarios.
La propiedad es cierta para p — 1 pues
(m + n) 4- 1 — s(m + n) = m 4- $(«) = m 4* (n 4- 1).
Supuesta cierta para p, es decir, supuesto que
(m 4- n) 4- p = (m + n) + p,
también es cierta para s(p) pues, por definición de suma,
(m + n) 4- s(p) — 4- h) 4- p]
y por la hipótesis de inducción,
ó [(w + rí) 4- p] = .s[w 4- (n 4- p)].
Pero, por definición de suma,
4- (n 4-p)] = m 4- s(n + p) = m 4- (n 4- s(p))_
Por consiguiente, la propiedad es cierta para todo p €= N.
2. Se prueba por inducción sobre n\ Si m es un número natural arbitrario, se tiene
«4 1= s{my y para demostrar que m 4- 1 = 1 4- m, bastará probar que s(m) = 1 4- m.
Probaremos esto por inducción sobre m. Para m = 1 es cierto pues sfl) = 1 4- 1, y si es
cierto para m, es decir, si s(m) = 1 4- my se tiene
s[5(m)] — ó'(1 4- m) = 1 4- s(m),
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