análisis dinámico y aplicaciones de métodos iterativos de resolución de ecuaciones no lineales

162 Pages·2017·9.95 MB·Spanish

ANÁLISIS DINÁMICO Y
APLICACIONES DE MÉTODOS
ITERATIVOS DE RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES NO LINEALES
T E S I S D O C T O R A L
Presentada por FRANCISCO ISRAEL CHICHARRO LÓPEZ
Directores Dra. ALICIA CORDERO BARBERO
Dr. JUAN RAMÓN TORREGROSA SÁNCHEZ
Valencia, mayo de 2017
AnÆlisis dinÆmico y
aplicaciones de mØtodos
iterativos de resoluci(cid:243)n
ecuaciones no lineales
Mayo de 2017
Autor: Francisco Israel Chicharro L(cid:243)pez
Directores: Dra. Alicia Cordero Barbero
Dr. Juan Ram(cid:243)n Torregrosa SÆnchez
ISBN: 978-84-17098-06-3

Alicia Cordero Barbero, profesora Titular de Universidad del Departamento de
MatemÆtica Aplicada de la Universitat PolitŁcnica de Valencia y Juan Ram(cid:243)n To-
rregrosa SÆnchez, CatedrÆtico de Universidad del Departamento de MatemÆtica
Aplicada de la Universitat PolitŁcnica de Valencia,
HACEN CONSTAR:
Que D. Francisco Israel Chicharro L(cid:243)pez, Ingeniero de Telecomunicaci(cid:243)n, ha reali-
zado, bajo nuestra direcci(cid:243)n, el trabajo que se recoge en esta memoria para optar
al t(cid:237)tulo de Doctor en Ciencias MatemÆticas por la Universitat PolitŁcnica de Va-
lencia. Asimismo, autorizamos la presentaci(cid:243)n de este trabajo ante la Universitat
PolitŁcnica de Valencia para que cumpla los trÆmites correspondientes.
Para que as(cid:237) conste a efectos legales, (cid:28)rmamos este documento en Valencia, a 11
de abril de 2017.
Fdo. Alicia Cordero Barbero Fdo. Juan Ram(cid:243)n Torregrosa SÆnchez
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Agradecimientos
(cid:16)El coraz(cid:243)n tiene razones que la raz(cid:243)n no entiende(cid:17)
(Pascal, 1623-1662)
La elaboraci(cid:243)n de esta Tesis Doctoral ha supuesto, sobretodo, un ejercicio de
responsabilidad.
Fue a mediados de 2010 cuando, con mÆs ingenuidad y azar que presentimientos,
la mecÆnica orbital me invit(cid:243) a disfrutar de este sueæo. Siempre tuve diÆlogos con
los nœmeros, mÆs allÆ del valor nominal que cada uno posee. Y a lo largo de estos
aæos he podido moldearlos, modelarlos e incluso dibujarlos.
Mi primer agradecimiento es para Alicia y Juan Ram(cid:243)n. Gracias, por no permitir
quemealejaradelosnœmeros. ElagradecimientoalosmatemÆticosestÆimpl(cid:237)cito;
aqu(cid:237) quiero re(cid:29)ejar mi agradecimiento a las personas: los cafØs, las visitas, las
llamadas, los mensajes, los abrazos. Gracias, por volver a invitarme a subir a un
barco tan bonito. Gracias, por hacer que tanto tiempo siempre pareciera ayer.
Mar(cid:237)a, amor. El Teorema de Lawore estÆ por llegar. Gracias por derrochar amor
en tantas formas. Gracias por seguir mezclando colores para tus alas de mari-
posa: energ(cid:237)a, pasi(cid:243)n, esperanza, cielo. Gracias por seguirme ciegamente en mis
proyectos, y por dejarte llevar en los nuestros.
Nico y Bimba. Cuando podÆis leer esta Tesis, lo primero que quiero que sepÆis
es que nacisteis en la habitaci(cid:243)n π del Hospital, mientras escrib(cid:237)a esta memoria.
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MÆs que un problema de valor inicial, sois una soluci(cid:243)n general. Y nunca serØis
conscientes de cuÆn feliz me hacØis, mis queridos complejos conjugados.
PacoyPuri, papÆymamÆ. AhoraqueMar(cid:237)ayyohemoscreadounanuevafamilia,
veo con mÆs intensidad lo bonito que lo hicisteis con Ester y conmigo. Solo espero
que este pedacito sea parte de vuestro orgullo.
Porœltimo,graciasalosactoresdeestapel(cid:237)culaqueoscruzasteisenalgunaescena.
A Freddy, Jandro, Samuel, por con(cid:28)ar en m(cid:237) mis primeras clases particulares. A la
Academia AMES, por darme las responsabilidad de las matemÆticas universitarias.
A mis amigos de la Universidad de La Rioja, por abrirme las puertas de vuestras
reuniones cient(cid:237)(cid:28)cas. Y a Alberto, por embaucarme en proyectos en los que poder
crecer.
Los ejercicios de responsabilidad con uno mismo no son fÆciles de hacer. En este
mundo tan veloz, mirarse para adentro es complicado. Esta Tesis es el fruto de ser
responsable con mis sentimientos, con mis sensaciones, con el afÆn de superaci(cid:243)n:
con lo que siempre quise.
Lo siento, Pascal. El coraz(cid:243)n y la raz(cid:243)n han convergido.
Valencia, 10 de abril de 2017.
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Resumen
Numerosos problemas de la ciencia, la ingenier(cid:237)a o la econom(cid:237)a requieren de la
bœsqueda de soluciones de una ecuaci(cid:243)n. Desde tiempos remotos se ha tratado
de modelizar problemas presentes en la naturaleza con expresiones que, al (cid:28)n y
al cabo, permitan conocer a priori c(cid:243)mo se va a comportar un sistema. Entre las
tØcnicas utilizadas para dicha bœsqueda de soluciones encontramos los mØtodos
iterativos.
Iterar a partir de una serie de expresiones nos va a permitir conocer la soluci(cid:243)n de
una funci(cid:243)n no lineal a partir de esquemas adecuados para ello. AdemÆs de los
conocidos mØtodos de Newton y Ste(cid:27)ensen, se van a implementar mØtodos con
mayor orden de convergencia.
Clasi(cid:28)car los mØtodos iterativos en funci(cid:243)n de sus caracter(cid:237)sticas intr(cid:237)nsecas nos
va a permitir valorar la bondad o la conveniencia del uso de un mØtodo iterativo
u otro. Como en todos los problemas de ingenier(cid:237)a y matemÆticas, tendremos que
obtener una soluci(cid:243)n de compromiso.
Otra de las caracterizaciones existentes, complementaria a la anterior, es el estudio
de la dinÆmica compleja. El operador de punto (cid:28)jo asociado a cada uno de los
mØtodos iterativos cuando se aplica sobre una funci(cid:243)n no lineal va a permitir que
caractericemos cada uno de los esquemas en el plano complejo.
Buena parte del trabajo desarrollado se ha centrado en la representaci(cid:243)n grÆ(cid:28)ca
de la dinÆmica de los mØtodos iterativos. El plano dinÆmico es una herramienta
que nos permite visualizar la estabilidad de un mØtodo, el tamaæo de sus cuencas
de convergencia o la idoneidad de determinados puntos iniciales para comenzar a
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iterar. Asimismo,parafamiliasdemØtodosuniparamØtricas,elplanodeparÆmetros
va a colaborar en la elecci(cid:243)n del miembro de la familia mÆs adecuado.
Interpretando los planos dinÆmicos como una aproximaci(cid:243)n a los fractales, pre-
sentaremos la dimensi(cid:243)n fractal como un factor de medida de lo intrincado que
puede resultar el conjunto de Julia asociado a un mØtodo iterativo. Los fractales
pertenecen a la frontera entre el determinismo y la teor(cid:237)a del caos, de forma que
podremos transferir conceptos de ambas disciplinas sobre el estudio fractal.
Mostraremos como aplicaci(cid:243)n de los mØtodos iterativos y la dinÆmica compleja la
determinaci(cid:243)nde(cid:243)rbitaspreliminaresdesatØlitesarti(cid:28)ciales. Apartirdelaposici(cid:243)n
de un satØlite en dos instantes diferentes, es posible determinar los parÆmetros de
la elipse que describe. Para ello, utilizaremos un algoritmo en el que se incluye un
mØtodo clÆsico de resoluci(cid:243)n para, a continuaci(cid:243)n, mejorar sus prestaciones con
nuestras propuestas de mØtodos iterativos.
BasÆndonos en la bœsqueda de soluciones y en los mØtodos iterativos como tØc-
nica de obtenci(cid:243)n de soluciones, las aplicaciones abarcan campos mÆs allÆ de la
mecÆnica orbital. El diseæo de (cid:28)ltros digitales, el procesado digital de imÆgenes
o la caracterizaci(cid:243)n de enlaces de radiofrecuencia son algunos de los ejemplos de
aplicaci(cid:243)n.
A partir de los conceptos anteriores, presentamos esta Tesis Doctoral para la ob-
tenci(cid:243)n del t(cid:237)tulo de Doctor en MatemÆticas, contextualizando la temÆtica en los
primeros cap(cid:237)tulos para, a continuaci(cid:243)n, presentar las publicaciones en revistas
internacionales como fruto de la investigaci(cid:243)n.
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Resum
Nombrosos problemes de la ciŁncia, la ingenieria o l’economia requereixen de la
cercadesolucionsd’unaecuaci(cid:243). Desdetempsllunyanss’hatractatdemodelitzar
problemes presents a la natura amb expressions que, al cap i a la (cid:28), permeten
conŁixer a priori el comportament d’un sistema. Entre les tŁcniques emprades per
tal cerca de solucions trobem els mŁtodes iteratius.
Iterar a partir d’una sŁrie d’expressions ens permetr(cid:224) conŁixer la soluci(cid:243) d’una
funci(cid:243) no lineal a partir d’esquemes adequats. A mØs dels coneguts mŁtodes de
Newton i Ste(cid:27)ensen, s’implementaran mŁtodes amb major ordre de convergŁncia.
Classi(cid:28)car els mŁtodes iteratius en funci(cid:243) de les seues caracter(cid:237)stiques intr(cid:237)nseques
ens permetr(cid:224) avaluar la bondat o la conveniŁncia de l’œs d’un mŁtode iteratiu o
d’un altre. Com a la majoria de problemes d’ingenieria i matem(cid:224)tiques, haurem de
trobar una soluci(cid:243) de comprom(cid:237)s.
Altra de les caracteritzacions existents, complement(cid:224)ria a l’anterior, Øs l’estudi de
la din(cid:224)mica complexa. L’operador de punt (cid:28)x associat a cadascun dels mŁtodes
iteratius quan s’aplica sobre una funci(cid:243) no lineal permetr(cid:224) la caracteritzaci(cid:243) de
cada esquema al pla complex.
Bona part del treball desenvolupat s’ha centrat en la representaci(cid:243) gr(cid:224)(cid:28)ca de la
din(cid:224)mica dels mŁtodes iteratius. El pla din(cid:224)mic es una eina que ens permet vi-
sualitzar l’estabilitat d’un mŁtode, la mida de les seues conques de convergŁncia
o la idone(cid:239)tat de determinats punts inicials per a comen(cid:231)ar a iterar. Aix(cid:237) mateix,
•
per a fam(cid:237)lies de mŁtodes uniparamŁtriques, el pla de par(cid:224)metres collaborar(cid:224) en
l’elecci(cid:243) del membre de la fam(cid:237)lia mØs adequat.
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