Análisis de la varianza ANOVA

32 Pages·2004·0.59 MB·Spanish

Estad´ıstica B´asica. Mayo 2004 1
An´alisis de la varianza
ANOVA
Francisco Montes
Departament d’Estad´ıstica i I. O.
Universitat de Val`encia
http://www.uv.es/~montes
Estad´ıstica B´asica. Mayo 2004 2
Comparaci´on de k medias
Estad´ıstica B´asica. Mayo 2004 3
Estatura y voz
Los datos de la tabla que sigue se han extra´ıdo de Hand, D.
J., Daly, F., Lunn, A. D., McConway, K.J. y Ostrowski E.
(1994) Small Data Sets. London: Chapman and Hall, p.276,
y corresponden a las estaturas, expresadas en metros, de
cantores masculinos de la Sociedad Coral de Nueva York.
Los cantores se han agrupado segu´n su tono de voz en orden
decreciente de tonalidad (de Tenor 1 a Bajo 2). Se sospecha
que las voces bajas corresponden a personas de mayor
estatura.
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Estatura y voz: los datos
1.75 1.83 1.80 1.68 1.93 1.88 1.80 1.68 1.73 1.70
Tenor 1 1.78 1.65 1.83 1.78 1.73 1.63 1.85 1.68 1.73 1.70
1.63
1.63 1.85 1.75 1.80 1.75 1.93 1.80 1.75 1.80 1.68
Tenor 2 1.75 1.80 1.80 1.80 1.75 1.78 1.75 1.73 1.78 1.73
1.75
1.83 1.78 1.83 1.75 1.85 1.80 1.83 1.73 1.73 1.80
Bajo 1 1.68 1.73 1.80 1.85 1.85 1.78 1.73 1.78 1.91 1.73
1.80 1.78 1.88 1.78 1.91 1.91 1.75 1.83 1.80 1.78
1.80 1.73 1.78 1.91 1.83 1.68 1.83 1.78 1.75
1.83 1.91 1.70 1.91 1.88 1.83 1.83 1.88 1.83 1.83
Bajo 2 1.88 1.78 1.68 1.73 1.91 1.73 1.78 1.83 1.70 1.78
1.78 1.75 1.83 1.80 1.88 1.91
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Estatura y voz: un gr´afico
1 - Tenor 1
2 - Tenor 2
3 - Bajo 1
4 - Bajo 2
- - - - media global o gran media
(cid:5) media del grupo
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Estatura y voz: hip´otesis a contrastar
Si µ , i = 1, . . . , 4 designa la media de la poblaci´on i, lo
i
primero que debemos hacer es contrastar que dichas medias
no son iguales,
H : µ = µ = µ = µ ,
0 1 2 3 4
frente a
H : las medias son distintas.
1
Obs´ervese que H puede significar muchas cosas, por
1
ejemplo, µ = µ 6= µ = µ , µ 6= µ = µ = µ , ...
1 2 3 4 1 2 3 4
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¿C´omo contrastar la igualdad de k medias?
Si empleamos el test de la t de Student para 2 muestras
(cid:0) (cid:1)
4
independientes hemos de efectuar comparaciones, pero
2
adem´as hay un problema con el nivel de significaci´on final.
Si las 6 comparaciones condujeran a aceptar µ = µ con un
i j
nivel α = 0, 05, el nivel de significaci´on para
H : µ = µ = µ = µ ,
0 1 2 3 4
0 0 n
ser´ıa α = 0, 26. En general α = 1 − (1 − α) , donde n es el
nu´mero de comparaciones.
0
k = 6 → n = 15 → α ≈ 0, 5
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Una comparaci´on simult´anea: ANOVA
Necesitamos poder comparar simult´aneamente todas la
medias. El test que lo permite es el test ANOVA (de
ANalysis Of VAriance).
Como su nombre indica, compara varianzas aunque lo que
contrastamos sean medias. Para ello parte de 3 requisitos
previos:
Independencia: las k muestras son independientes,
2
Normalidad: X ∼ N(µ , σ ), i = 1, . . . , k, y
i i i
2 2 2 2
Homocedasticidad: σ = σ = · · · = σ = σ .
1 2 k
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Fundamentos del ANOVA (1)
k grupos
1 2 · · · i · · · k
x x · · · x · · · x
11 21 i1 k1
x x · · · x · · · x
12 22 i2 k2
. . . .
. . . .
. . · · · . · · · .
x x · · · x · · · x
1n 2n in kn
1 2 i k
medias x x · · · x · · · x
1 2 i k
2 2 2 2
varianzas s s · · · s · · · s
1 2 i k
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Fundamentos del ANOVA (2)
El ANOVA se basa en la comparaci´on de la variabilidad
media que hay entre los grupos con la que hay dentro de los
grupos. ¿Por qu´e? Recordemos que la media y la varianza
muestral verifican
2
σ
2 2
var(x¯) = , E(s ) = σ ,
n
2
lo que nos permite dos estimaciones diferentes para σ
cuando disponemos de k muestras de una misma poblaci´on,
k k
1 n
X X
2 2 2 2 2
σˆ = s2 = s (1) y σˆ = ns = (x¯ −x¯) (2)
i x i
k k − 1
i=1 i=1