Análisis básico de variable compleja

565 Pages·1996·21.924 MB·Spanish

by  Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman

.A NÁLISISB ÁSICO DE
VARIABL
C PL JA
JERDOLD E. MARSDEN
MICHAEL J.H OFFMAN
���
,�
EDITORIAL
lRILLAS
Mtxtco, Argentina, Eapalla
·
Colombia, Puerto Aleo, Venezuela e
�
lndicdee c ontenido
Prólogo 5
Cap.l .F uncionaensa líticas 11
1.1I.n troducac lioósnn ú merocso mplej1o1s.,
1.2P.r opiedaddeel so sn úmerocso mplej2o2s.,
1.3A.l gunafsu ncioneelse menta3l6e.s ,
1.4F.u ncionceosn tinu5a3s.,
1.5F.u ncionaensa líti7c3a.s ,
1.6D.i ferenciadceli aófsnu ncioneelse menta9l6e.s ,
Ejercicdieor se paso cdaeplí tu1l,1o 0 5
Cap.2 .T eoremdae Cauchy 109
2.1I.n tegradlece osn torn1o0, 9.
Suplemendteol as ecci2ó.n1 s:u mads eR iemann1,2 4.
2.2E.l t eoremdaeC auchyv:e rsiiónnt uit1i2v6a.,
2.3E.l teordeemC aa uchyv:e rsipórne ci1s3a9, .
SuplemenAt doe l as ecci2ó.n3 1,5 7.
SuplemenBt doe l as ecci2ó.n3 1,6 1.
2.4F.ó rmulian tegdreaC la uchy1,6 5.
2.5E.l t eoremdae lm ódulo máxiym fou ncionaersm ónic1a8s5,.
Ejercicdiero esp asdoe lc apítu2l,1o 9 9.
Cap.3 .R epresentaecnis óenr ideesf uncionaensa líticas 203
3.1S.e riceosn vergendtefe usn cionaensa líti2c0a4s.,
3.2S.e rideesp otencyi aeslt eoremdae Tayl2o2r6,.
3.3S.e rideesLa: urenyt clasificadceis óinn gularid2a4d3e.s ,
Ejercicdieor se pasdoe lc apítu3l,2o 5 7.
9
10
Cap.4 .C álcudleor esiduos 261
4.1C.á lcudleor esidu2o6s1,.
4.2E.l t eoremdae lr esidu2o7,4 .
Suplemenat loas ecci4ó.n2 re:s iduoys c omportamieenni tnofi nit2o8,0 .
4.3E.v aluacdióein n tegradleefisn ida2s8,8 .
4.4E. valuacdieós ne riiensfi nitya esx pansioennef sr acciopnaersc ia3l2e1s.,
Ejercicdiero esp asdoe lc apítu4l,3o 3 0.
Cap.5 .M apeosc onformes 335
5.1T.e oóab ásicdael os mapceoonsf orm3e3s5,.
5.2F.r accionlailneesa yl tersa nsformacdieoS ncehsw arz-Chris3t4o2f.f el,
5.3A.p licacdieól no s mapceoonsf ormae lsa e cuacidóenL aplacleac, o nduccidóenl calor,
electrosteá htiidcrao dinám3i6c2a.,
Ejercicdiero esp asdoe lc apítu5l,3o 7 8.
Cap.6 .D esarrollo adicliato enoarlí ad e 383
6.1C.o ntinuacainóanl ítyi scuap erfidceiR eise mann elemen3t8a3l.e s,
6.2E.l t eoremaR oduec hyé e lp rincidpeilao r gument4o0,2.
6.3P.r opiedaddeel sa sf uncionaenasl ítciocmaosm apeo4,1 7.
SuplemenAt doe lc apít6u:lfo a milinaosr malye esl t eoredmea lm apeo deR ieman4n2,3 .
SuplemenBt doe lc apítu6l:lo ad inámidceal osma peoasn alítciocmopsl ej4o2s9,.
Ejercicdieor se pasdoe lc apítu6l,4o 3 2.
Cap.7 .M étodoass intóticos 436
7. l.P roductionsf iniyt loafs u ncigóanm ma,4 36.
7.2E.x pansioanseisn tótyi eclam sé toddoe ld escenmsáos p ronuncia4d5o6,.
Suplemenat loa s ecci7ó.n2 v:a riacaicóno tayd al ad emostracdieól na fórmullaa de
fasees tacion4a7r5i.a ,
7.3L.a f órmudlaeS tirlyi lnagfs u nciondeeB se sse4l8,3 .
Ejercicdiero esp asdoe lc apítu7l,4o 9 1.
Cap.8 .L at ransformdaedL aa placye a plicaciones 495
8.1P.r opiedabdáessi cdaesl astr ansformdaedL aasp lac4e9,5 .
8.2L. af órmudleai nverscioómnp lej5a09,.
8.3A.p licacdieól na tsr ansformdaedL aasp laacl ea ecsu acion�eisf erencoiradliensa r5i1a4s.,
Suplemendteol as ecci8ó.n3 l:a transfodremF aoduar iye lra e cuacidóeno nda5,1 6.
Ejercicdiero esp asdoe lc apítu8l,5o 3 0.
Respuestaas l oesj ercicios impares 533
Índicaena lítico 567
1
Funcionaensa líticas
En estcea pítusleio n trodulcaesin d eabsá sicaacse rcdael osn úmerocso mple­
josy del asf uncionaensa lítiLac aosr.g anizadceilót ne xteosa náloag la ad eu nl i­
bro dceál cuelloe mentqaulee mpiezcao nl a rercetaaRl y unaf unciónfd(exu )n a
variabrleeax l y entonceesst udliaad iferencidaecf i óDne manera simeinle alr ,
análicsoimsp leejmop ezamocso nl osn úmerocso mplejzo sye le studio de funcio­
nesd iferenciablesfs(ozn)l l(aémsatdfaaussn cionaensa lítiLcaaa sn)a.l ogeísas, i n
embargeon,g añospao,r queela nálicsoimsp leejsou nat eormíuac hom ásr icap;u e­
ded ecirmsuec hom ása cercdaeu nafu ncióann alítqiuceaa c ercdaeu naf uncidóin­
ferencidabevl aer bilaer ealL.a sp ropiedaddeesl asf uncionaensa lítsiecda ess arro­
llarán por ceonmc palpeíttou sluobss ecuentes.
Ademásd ef amiliariczoanlr ast ee oríeale, s tuadnitdee bea lcanzaalrg unfaa ci­
lidacdo nl afsu ncioensetsá n(doea lre ment-atalleecsso) m op olinomie'-o,sl ,o gz ,
senz ques onu sadaesn e lc álcuElsot.a fsu ncionseees s tudieanln as ecci1ó.ny3
-
aparecferne cuentemael nolt aer gdoe lt exto.
1.1I. NTRODUCCIAÓ LNO S
NÚMEROSC OMPLEJOS
Bosquehjios tórico
La siguiednitsec usipórne supocniee rftaam iliarciodnal da sp rincipaplroe­s
piedaddeesl osn úmerorse aleEsl.s istdeeml ao nsú merroesa lfeuese lr esultado
de lab úsqueddae un sistem(au nc onjunatbos tracctonoc iertraesg laqsu)e
incluyael roasr acionapleersoq, u et ambiépnr oporciosnoalruac ioan eecsu aciones
polinomiales ta>.l2 e- s2 = cOo.m o
Históricamuenntace o,n siderasciimóinl dairo o rigean l ae xtensidóenl os
númerorse laes.A principdieolss iglXoVI , GeronimCoa rdancoo nsideró
ecuaciocnueasd ráti(cyca úsb icatsa)l ecso mox 2+ 2x + 2 = O, quen os ons atisfe-
11
12 CAP1..F UNCIONAENSA LÍTICAS
chapso rn ingúnnú merroe axl.L af órmucluaa drát(i-cb:±:a b{2 -4ac)d/a2e ax­
ax2
presio"nfeosr malpeasr"la a dso ss oluciodnele sae cuación+ bx+ e =O .P ero
estfaó rmupluae dree querraiírc ceusa draddean sú meros negaptoirev joesm,p lo,
2
-1:±: f-p1a rlaa e cuacixó+n 2x +2 = O.C ardannoo tqóu es ie sto"sn úmeros
complejsoosnt" r atacdoomso n úmeroosr dinacroinos r leag lf-=af • f�=f - 1e,s tos,
resolveínae nf ecltaoes c uacioAn elsai. m portaenxtper esi¡ó..ns..: e:l e¡d a a horlaa
ampliameancteep taddeas ignadceiió = nH .U nac onvencailótne rnaetssi evgau i­
\1-1,
dap orm uchoisn genieerolésc trqiucioesn,pe rse fiereelsn í mbojl= o puesqtuoe
ellodse searne servealsr í mbolipo a rlaa c orrieenltéec trSiicnae .m bargeon,e l
pasadsoe s entqíuae n ingúsni gnifipcoaddroír ae almensteera signaad toa les
expresioqnuees ,f ueernotno nclelsa mad"aism aginarGiraasd"u.a lmeennte es,p e­
ciaclo mor esultdaedlto r abadjeLo e onhaErudl eern e ls iglxvom , estacsa ntidades
imaginarlileagsa rao dne sempeñuanrp apeilm portaPnotree .j emplloaf, ó rmula
e e
deE uleeri =9 c os + sie n revellaóe xistendecu inaa p rofunrdeal aceinótnr e
losn úmerocso mplejyo lsa fsu nciones trigonSoeme éntcroinctqarusóe.l ar egla
ei<+99 12= )e i9e1i 9re2s umlíaars e glpaasr laa e xpansidóenls enyo delc osendoel a
sumad ed osá ngulosu ndaem anersae ncilyl eas,t e sroelsou ltianddoi cqóu e
algúsni gnifidceabdeor síeara tribuaie dsot onsú mero"si maginarios".
Sine mbargnoo,f ueh astlao st rabadjeoC sa speWre sse(lc ir1c7a9 7J)ea,n
RoberAtr gan(d1 80K6a)r,Fl r iedrGiacuhs (s 18)3,S1 i rW illiaRm.H amilton
(183y7 ot)r oqsu,es ec larifeilsc ióg nifidcea dlono úsm erocso mplejyo ssec om­
prendqiuóe n oh ayn adad e" imaginaernie ol"l o(sa unc uandeos tteé rmisneo
empletao davía.
Ela nálisis compelsee ljt oe,m daqe eu set lei brfou,ed esarrolelnea lds oi gXlIoX ,
principalpmoernA tueg ustCianu ch(y 1789-P1o8s5t7er)i.o rmseutn etoer,sí eah izo
másr iguroys fau ee xtendpiodram atemáticcoomso Peter D(ir1i8c0hl5e-t1 859),
KarWle ierst(ra1s8s1 5-y1G 8e9or7Fg)r i edrBiecrnhh arRdi eman(n1 826-1866).
Lab úsqueddeau nm étodpoa rdae scrilbaci orn duccdieólcn a loirn fluenecli ó
desarrodell laot eorlíaac ,u aeln contmruóc houss ofsu erdae l amsa temátiEcna s.
losc apítusluobss ecuesnetd eiss cutailrgáunn daese staasp licaciao pnreosb lemas
enf ísiec ian genietraílaec,so moh idrodináym eilceac trostLáat tiecoar.tí iae ne
tambiaépnl icacimoanteesm átiecnap sr oblemqausea p rimevrias ntaop arecienn­
volucnrúamre rocso mplejPoosre. j emplload, e mostradceiq óune
senx2 d 1t
x
Ix:2 =- 2
o que
a-1
x 1t
I:dx = paraO <a <1
l+x sen( a1t)
o que
f21t_d_e_
21t
e= --- 2
o a+ sen ra-I
1.1I. NTRODUCCAI ÓLNO SN ÚMEROCSO MPlEJOS1 3
puedsee rd ifíoc iilm posisbisl eeu sae lc álcuelloe mentpaelr,eo s tas identpiudea­des
dens erp robadraásp idameanltu es alra st écnicdaesv ariabcloem pleja.
El análciosmipsl ejsoeh av ueltuon ah erramieunstuaa el i ndispenseanbe lle
trabadjeom atemáticfoíss,i ceo isn genierEolds e.s cuiddeoé ste puseedrue n s erio
impedimenetnol am ayorídae l asá readse i nvestigayc aipólni cacqiuóeni nvolu­
craind eays t écnicmaast emáticas.
Definicdieló onns ú mercoosm plejos
La primertaa reean e stsae ccisóenr dáe finilro sn úmerocso mplejyo mso strar
quep oseepnr opiedaqdueess ona decuadas qpuaerl aa sma nipulaciones algebraicas
usualseesc umplanL.a idea básdiec lao sn úmerocso mplejsoesa tribuay Jee an
RoberAtr gandq,u iesnu giruisóa pru ntoesn e lp lanpoa rrae presenat laorsn úmeros
complejos.e stEuld iarnetceo rdaqruáee lp lanox y,d enotadpoo rR 2,c onsisdtee
todas las parejas (xo,yr d)de en naúdmaesr os reales.a eVmapmeozsa r cloan
definicifóonr masle,g uiddaeu nad iscusidóenp orq uél am ultiplicadcein óúnm e­
rosc omplejeossd efiniddeal am anerean q ues eh ace ..
Definici1ó.n1 .E1l.s istedmel ao nsú mercoosm plejdoesn,o tapdoor C ,e se lc on­
juntRo2 j untcoo n lraesg lauss ualdeesl aa dicidóenv ectorye lsam ultiplicación
escalpaorr u nn úmero rae saalb,e r
(xl'y1 ) +( x,y )= (x1+ x, 1+y Y)
2 2 2 2
a(xy,)= (ax,a y)
y conl ao peraciódne m ultipliccaocmipólne jdae,fi nidcao mo
Env ezd eu sa(rx y, )p arar epresenat laorsn úmerocso mplejoesn,c ontraremos
más convenireengtree saa urn an otacimóáns e stándcaorm,o s igueV.a mosa iden­
tifiac alro sn úmerorse alexcs o np untoesn e le jex ;e ntoncxey s ( x,O )r epresentan
alm ismop unt(ox ,O )e nR 2.E le jey s erlál amadeole jei maginayr ielop unt(o 01,)
serdáe notapdoor i .A sí, pdoerfin iciió n=(, 01,.) E ntonces,
(xy,) = x + yi
puese ll addoe rechdoel ae cuaciróenp resean (txa,O )+y (O1, )= (x,O )+( 0y,)= (x,
y).U sandoy =( y,O )y lad efinic1i.ón1d .e1m u ltiplicadceci oómnp lejoosb,t ene­
mosi y= (01,)( y,O )= (O• y- 1• O,y • 1+ O• O)= (0y,)= y(,O1 =) yiy asít am­
biénp odemoess cri(bxi,ry )= +x iyU.n solsoí mboltoa clo moz = a+ ibs eu sa
generalmepnatreai ndicuanrn úmeroc omplejLoa. n otacizó nE e signifqiuceaz
",.�
perteneaclce o njundteol os,n�mergomspslejoÍs.t. . /¡,
Nótesqeu ei 2=· •i i (= 01, )• ( 01,) (O=• O-l• f,( l· O + • O1 )=) (- 1,O) = -1,
dee sta manera tleapn reompoise dqaudeq uetefubs: '/� '/L.-
¡2= -1
14
CAP1.. F UNCIONAENSA LÍTICAS
Sir ecordamoesc uaescetinaót no,n lcare esg la lpama urlat iplidcena úcmieó­n
rocso mpleejsto asm biféáncd ierl e coryd daemr o tivar:
(/: ¡}¡)
(a+i b)+ = ae+ ia+d ib+e ib2d
= (a-ebd)+ i(a+db e)
Entoncpeoser,j emp2l+ o 3,ie se l númceormop l(e2j3,o) y otrmaa nedrea
decqiure( 23,) ( 1-,4 )= (2 1-3 (-43) , 1 +2 ( -4=) )( 14-,5 )e s( 2+ 3i)( 1
· •
- 4i=) 2-122i 3+i -Si=1 4-5iL.a r azdóenu sarl ae xpresa+i óbine sd oble.
Primeersoc ,o nvenciSoengauln.ld aor ,e gPl= a - 1 esm ásf ácdiel uqsuaerl a
reg(laab, ) ( ed,)= (ae-bd,b e+ ad),a ucnu ando ambapsr ordeuegcllme ainss mo
resultado.
Puesqtuoel am ultiplidcena úcmieórnro esa leesas s ociactoinvmau,t ayt iva
distribluamt uilvtai,p lidcena úcmieóroncs o mpletjaomsb iléoen s e;s d ecipra,r a
todloosns ú mercoosm plezj,w o,ss ,t enem(ozsw=) sz (wszw) ,= wz,y z(w s+)=
zw+ zs.Vamavo esr ifilcapa rri medreea s tparso piedlaadoset srp,au se dseenvr e ­
rificasdiamsi larmente.
Seaz= a+ ibw,= e+ idy s= e+ if. Entonzcw=e s( a-ebd)+ i(b+e a d)y
enton(czews) se (=a -ebd) -bfe(+ a d)+ ie[(b+e a d)+ fa(e -bd)].
Similarmente.
z(w=s()a + bi()[ee-df)+ i(+efd e])
= a(e-edf)- b(e+dfe )+i [a+(deef) +b (e-edf])
Sic omparamose xepsrteassiy oanceesp talmaopssr opieduasdueasdl eels o s
númerroesa lceosn,c luiqmuoe(s zw )sz (=w sA)s. í, podemoss iaensm cbrii­bir,
güedaudn,ea x precsioómznon= z z( nv eces).
• · •
Nóteqsueae +i b= e +i ds ignificaa = qye ub e= (d pueqsuteéo s teese ls ig­
nificaddelo ai gualednRa 2d)y quOer epresaOe +n it=Oa ( 00,) E.n tonceisb= Oa +
signiqfiucaeam bosa, = yO b = O.
¿Enq usée ntliodnsoú mercoosm plesjoounsn eax tendseil óonns ú merroesa ­
lesY?ah emodsi cqhuose i a e sr eaplo,d emtoasm bieésnc raie bnil ru gdaera +O i=
(a0,) E.n o trpaasl ablroarsse ,a lR esso ind entificcoanedl eo jsxe e ne = R2;v emos
entonqcueleso nsú merroesa lseoasnq uelnlúomse rcoosm pleaj +bo isp arlao s cuales
b =O .S ie nl ae xpreas i+bó ine, l t érmia n=Oo , l lamaamb oi=s O +b iu nn úmero
imaginapruiroo. E nl ae xpresa i+ób ind, e cimqousea esl apa rtree ayl b esl a
partei maginaArilag.u nvaesc eess toe secsrc iotmoRo e z = a,Im z =b ,d ondze =
a +b iN.ó teqsueeR ez e I mz s osni empnrúem erroesa l(evsé afsieg u1.r1a). .1
Ene fecet oob,ed ecteo dlaasrs e glaalsg ebrqauileco anssú merroesa loersd i­
narioobse decPeoner.j empelnlo a,s iguideinstceu sseid óenm ostraqruáee l i nverso
multipliecxaitspitaver.o ac ualeqlueimeerdn itsot dienc teor Eos.t soi gniqfiucesai
z=F O,e ntonecxeissu tnne ú me(rcoo mplze'tj aoql)u e =z 1zy ' e scribzi='m zo- st.
Podemeossc reisbtiearx pressiinnói nn guanmab igüe(deaondt rpaasl abzr'ea sst,á
determiennfa odrom úan icpau)e,s qtuoes it ambizéz"n=1 ,e ntonzc'=e zs' 1 =
•
z'( zz"=) (zz')z "= 1 z"= z"y aszí" = z'P.a rdae mostqruaezr 'e xiste,
•
supóngqauszee = ab +i=F O.E ntonaclme esn oasl gudnela a cso ndicsioesn aetsi s­
'
facae =¡!=, O ob =¡!= O y asaí2+ b2=¡!= O.P arean conztra,h ra gamzo='s a '+ b'i .L a
1.1I. NTRODUCCIA ÓlNO SN ÚMEROCSO MPLEJOS1 5
'
condicizzón= 1i mponceo ndicioqnueesn ospe rmitircáanl culaa'yr b'C.al culan­
'
doe lp roducdtaozz = (aa ' b-b+' )( ab+'a 'b )i.
Lase cuaciones lianae-'ab lbe=s' 1 y ab+'a 'b= 1p uedesne rr esuelptaarsa
a'y b'ha ciendao'= a/(a+2 b2 )y b'= -bl(+dl b2 ),ya q uea 2+ b=F2 O.E ntonces
paraz= a i+b =F O,po demose stablecer.
ib
y
2z= (2a2,b )
y=Imw
x=Rew
Figu1r.a1 .l1a.g eomedterl fonasú mercoosm plejos.
Siz y sown n úmerocso mplejcoosn,w =FO ,e ntonceelss ímboloz /ws ignifica
zw-1;l lamamoas z /we lc oicendtee zpo r w.P ore ndez,- 1= 1/z.
1
Parac alculza-r,e sc omúnu salra s iguiesnetrei dee e cuacionye ess t ambién
1
unaú timla nerdae r ecordara nltae rfióorrm ulpaa raz -:
1 a-ib a-ib a b
------ = ------------ = = ------ ------ i
a+i b (a+i b)(iab-) a2 b+2 a2+ b2 a2+b2
En resumetno,d alsa sr eglauss ualpeasr ala m anipulacdieón nú merorse ales,
fraccioponleisn,o mioest,c éteser saa,t isfaecnee nla nálicsoimsp lejo.
Els istedmeaJ osn úmerocso mplejeoss,f o rmalmenutnee ,j empldoeu nc ampo.
Lasre glasc ruciaparal esu nc ampo,e nunciaadqasuc ío mor eferencsioan,:
16 CAP1.. F UNCIONAENSA LÍTICAS
Regladse l aa dición:
(i)z + w = w + z
(iiz)+ (w+ s)= (z+ w)+ s
(iiiz+) o = z
(iv)z + (-z)= O
Regladse l am ultiplicación:
(i)z w= wz
(ii()z w)=s z (ws)
(iiilz) = z
1
(ivz) (z)- = p1a rza'rf O
Leyd istribuzt(iwv as+:)= zw+ zs
En resumetne,n emos:
Teorem1a. 1.L2o.sn úmerocso mplejCo fso rmaunn c ampo.
Sep revieanlee studiaqnutege e neralmennotd ee finimoesls ímbol::;o;c ,o mo
enz ::;w;,p arcao mplejzoy s w .S iu nor equieqruee lparso piedaudseusa ldeeso r­
denp araJ osr ealseess atisfaegnatno,n cteasol r deens i mposipbalrela o sn úmeros
complejEosst.aa fi rmacipóune des erp robadcao mos igueS.u póngaqsuee t aolr ­
dene xistEen.t oncoe is;: O:;, o i::;O;. S upongamoqsu ei ;:O:;. E ntoncie si ;:O:; y,p or
•
tanto,1;: :;O ,l oc uaels a bsurdAol.t ernativamseunptóen,g aqsuee i O::;.;E ntonces
-
-i;::; (-i()-;: i:;) ;::;
O,a sí O o -1 O,o trvae za bsurdSoiz. = a+ iby w =e+ idp,o demos
deciqru ez ::;w ;s ia ::;; y eb ::;d;.D e ciermtaan ereas teos u no rdenp,e ron o satis­
faceto dalsa sr eglaqsu ep odríasne rr equeridtaasl,ec so moa quelloabse decidas
porl osn úmerorse alePso.rl ot anteon,e l texto, laz no::;wt; sa ecrieáóv ni taad a
menosq uez y wr esulsteenrr eales.
Raícedsee cuaciocnueasd ráticas
Como previamesnetm ee ncionuón,a d el asr azones upsaarlrao sn úmeros
complejeossl ad ep ermitirsnaocsar ra ícceusa draddaesn úmerorse ales negativos.
Que,e ne fecteos,t pou edsee rh echpoa ra toldoosns ú merocso mplejsoesv ,e rifica
enl as iguiepnrtoep osición.
Proposic1i.ó1n.S 3e.az Ec .E ntonceexsi sutnew E e taqlu ew 2 = z.( Nótese
que- w tambiséant isfeascteea c uación.)
Vamosa daru nad emostracpiuórna menatleg ebra(iOctar.da e mostracbiaó­n,
1.2.)
sadean c oordenapdoalsa rseesd ,a e nl as ección
1.1I. NTRODUCCIAÓ LNO SN ÚMEROCSO MPLEJOS 17
DemostraciSóenaz. = ba.iQ u+e remoesn contrwa r= ixyt a +ql u ea +b =i
2 2 2 2 2
(+x iy)=( x- y) (+2xy )ias,íq ued ebemorse solver simultáxn-eaym=enate
y 2xy = b. eLxai stendceit aa lesso lucioenseg se ométricamcelnatreaa p artdierl
examend el asg ráficadse l asd ose cuacionÉesst.as se m uestreannl afi gura1 .1.2
pareal c asoe nq uea mbasa,y bs,o np ositivAo psa.r tdierl ag ráficeas c larqou e
debe habers olduosc ioqnueess onn egatiuvnasac onr especdteol ao traé,s tasse rán
obtenidaalsg ebraicameenen lt es igupiáerntrea fo.
y
' 2xy=b
...... ,
-- --
Figu1r.a1 .G2r.á ficdeal sa csu rvax2s- y = a 2yx y= b.
Sabemosq ue( x2+ y22=) ( x2- y2)2+ 4x2y=2a +2 b2. P ort antx2o ,+ y 2= � a 2+ b2 ,
y pore ndex2 = (a+..fa 2+ b2)y1 y22= (-aJ+a +2 b2)S/ih2 a.c emos
a+..fa2+b2
2
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donde..¡ denotlaar aíczu adrapdoas itidvean úmerorse alpeoss itiveonst,o nces,
ene lc asoq ueb e sp osititveon,e moqsu ex a= y y 13=.o x -=a y y = e-ne13 l;
casoe nq ue be sn egativtoe,n emoqsu ex a= y y -=13 ,o x -=a y y 13=,
2
Conculimoqsu el ae cuaciwón= z tiene soluc+ i(ao+n eJ.s.L I3dion)d,J.e .l = ls ib
� O,y J..l= - 1s ib < O.•
De lase xpresiopnaersaa y 13p odemocso nclutirrec so sas1:)L a sr aícceusa ­
dradadse u nn úmercoo mplesjoo nr ealseisy sólsoi e ln úmercoo mpleejsor eayl
positi2v)ol;a sr aícceusa draddaesu nn úmero compsloenpj uor amenitmea ginarias
3)
siy sólsoi el núcmoemrpol eejsor eayl n egati,v oy lasd osr aícceusa dradadse
unn úmercoo incidseiyn s ólsoi e ln úmercoo mpleejsoc ero(.E le studiadnetbee rá
comprobeasrt acso nculsiones.)
Podemofsá cilmevnetrei ficqaurel ae cuacicóuna drátaizc+a2 b +z e = O,p ara
númerocso mplejao,sb e,,t ienseo luciozn =e( s- b± ..Jb -24ac)/do2nad,e ahora
,[ii
el símboldoe notlaar aíczu adraddeau nn úmercoo mpleju,oc ,o mos ec onstruyó
l.1.3.
enl ap roposición