Analisi Matematica, Vol. 2 Parte I

321 Pages·1982·51.58 MB·Italian

by  Pantaleo Calabrese

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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
Pantaleo Calabrese Domenico Caliga
Analisi'
Matematica
Volume Il
Parte prima
Editrice Graphos -Città di Castello -PG
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
Le copie non firmate da uno degli Autori si ritengono contraffatte
---
1 a Ristampa Gennaio 1982
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a cura della Editrice Graphos
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
AVVERTENZA
Con il Volume II di ANALISI MATEMATICA si dà seguito al no
stro Volume I, pubblicato nel 197~ con il titolo "ANALISI MATE
MATICA ed elementi di geometria".
GLI AUTORI
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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C A P I T O L O
SERIE NUMERICHE
10.l - PRIME DEFINIZIONI SULLE SERIE NUMERICHE A TERMINI REALI
Il problema che ci proponiamo è quello di estendere il con
cetto di addizione al caso in cui il numero di addendi è i
~ Lo scopo può raggiungersi con vari procedimenti,ma noi trat
teremo soltanto quello che meglio risponde alle esigenze concre
te dell'Analisi.
Sia (ak) una successione di numeri reali, vogliamo dare si
gnificato al simbolo
(10.1.1)
che chiameremoL~ell.le
Per questo, posto
/- n
(10.1.2) I ( sn = ~ ak I ' SU-V.~ ù-:.\00-Q>:.. ~ SU.<UA ... ~~
k=l r O.. )
associamo alla (10.1.l) la successione (S ) ~ 'A "'li-"1
n
La somma S è detta ridotta n.maj il termine a è detto ter-
mine n.mo de11: serie, mentre dicendo che il termine generale del
la serie è a ci riferiremo alla legge che dà a come funzione di
----Iil-----
n, ossia la successione a .
n ké'"'
Def.10.1.I - V.UZ.emo ehe la ~ell.le (10.1.1) è:
eonveJtgente. ~e. eonve&ge peJi 11-+ 00 :e.a. ~ueeeM..Lone. (Sn) dellt.· JU.do:t
:te, o.M,La. ~e e;.,-iJ.i:te MrU.:to U UmUe.
s] ;
(10.1.3) \ À .Lw sn
=
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
2
qu.uto .uml:te. . .o.l c.hiama .6 omma de11.a .6 <UUe. ( 1O • 1. 7 J ;
cilveJtgen;tt. M. cilve!L e eJt- n-+ -00 _ 1.iu.c.CU0-.ian-e_(S0)- de.U.e.JU.d.otie
ee p !t<!.Wamen;te cl{_tve Jtgen;t.t_p_0.6,{;Uvamen;te \nega.tivamen;te.)_1.ie
1 ·i m S = + oc/ -- i m S = -oo ) /
_n-+ "' n . _ n -+ 00 n _ ~ ·
,fodeteAmi.na.ta. '-> <!. no il UmUe eJt n-+ oo d~.e..e.a 1.i u.c.c. eM-<.o
ne (S.
Esempi:
1) La f.ieJUe. ge.ometJUc.a: è una serie nella quzale per ogni n si ha
:nu -
(10.1.4) a n - q ""'~ 4 \.4. .- I t O..I + Q.r t Q.~ t O" "--t l€ v+
con q numero reale costante.
Posto a a ~ O , la serie assume la forma
1
/- a + aq + aq 2 + · · . + aqn - 1 + · · ·
e la sua ridotta n.ma·, per q. ~ 1, è
. n- l 1-qn
(10.1.5) S = a(l+q+· · ·+q ·)=a-- =
n 1-q
Si possono distinguere i seguenti casi:
a) q = 1. Si ha:
o,
(10.1.6) s an 1 i m s {: 00 se a >
n 1' n -+ 00 n < o.
00 se a
I I<
b) q 1. si ha:
(10.1.7) n1 -1+ moo q n = o I1l -+i 0m0 sn a 1!q
e la serie è convergente con somma
(10.1.8) s a _l_
1-q
c) q > 1 • S-i ha: {: :
n se a > .O,
1 i m q = + oo 1 i m S
n -+ oo n-+ 00 n se a < O.
d) q ~ - 1. Si vede subito che non esiste
__ _
1 i m qn e quindi neppure 1 i m S :
n -+ex> / n-+ 00 n
1 ~\~G!!J
La cultura è un bene dell'umanità (fantomasping@libe\ro,.\it)t,~ \A~ ~'I>
3
la serie è indeterminata.
[La ;.,
2) eM.e cU Mengo.U:)
1 1 1 1
(10.1.9) --+ +---+· ··+ +···
1 . 2 2. 3 3 · 4 n(n+l)
ed in forma concisa
cc
L
(10.1.10)
n(n:fj
n=l
Proviamo che la serie converge ~d ha per somma l; Infatti il ter
mine generale a ~ si può anche. scrivere:
flB
0
0
(10.1.11)' · 1-
\..:1 -\~-~__!/
la ridotta n.ma è
I
(10.1.12) s =(l - :I. )+(.l _.l)+(.!.-.!.)+· . •+(1. - _L) = 1 - _L
n / 2 2 3 3 4 n n+l n+l
e pertanto
(10.1.13) 1 i m S 1
n + 00 n
/..{/
1 - SERIE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE
Un particolare tipo ·di serie sono \quelle. i cui termini hanno
sempre lo stesso segno," che possiamo supeforre non ne.ga.:Uvo.
Teor. 10.2.I - Urta. 1.ieM.e a tvimùu non nè.ga;Uv,l c.onvell.ge J.ie . fu
\
1.iu.c.c.e;.,1.i,Lone deli..e. JU.dotte è lliUat.a; ~enti cUveAge.
Dim. La successione (S ) delle ridotte è monotona non decrescen-
-- n
te e pertanto una tale ,successione ammette limite finito o infi-
è'@)=
nito ed sup (S )
.
~
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Ì' - TEOREMI GENERALI SULLA CONVERGENZA
J'
Teor. 10.3.I - Conc:Uz,Lone. ne.c.e.;.,1.ia.JU'..a. peAc.hè urta. be.IU.e. c.onveJ!.Aa è
~i te1lm,{,._!!.e. ge.neJULle. ,51o.. -lrt6ù1Lte.;.,-Uno pe!t n _;-00• . ~vv.. O..v.. ~ O
Dim. Scriviamo il termine generale nel modo che segue:~.......,,,
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