Analisi Matematica, Vol. 1 Parte II

163 Pages·1981·32.63 MB·Italian

by  Pantaleo Calabrese

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Pantaleo Calabrese Domenico Caligo
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Il. Editrice Graphos · Città di Castello · PG
Fantomas Ping

Pantaleo Calabrese Domenico Caligo
Analisi
Matematica
Volume I
Parte seconda
Editrice Graphos -Città di Castello -PG
Le copie non firmate da uno degli Autori si ritengono contraffatte
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Finito di stampare nel gennaio 1981
dalla Litografia SLAM di Città di Castello
AVVERTENZA
In questa seconda parte del Volume I si ·trovano i Capitoli 8 e
9, dedicati al calcolo differenziale per le funzioni (scalari e ve~
toriali) di più variabili, a Problemi connessi e alla Introduzione
del Calcolo integrale.
Perugia - Pisa, dicembre 1980
GLI AUTORI

C A P I T O L O ~
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIA
BILI E PROBLEMI CONNESSI
8.1 - DERIVATE PARZIALI
Il concetto di derivata per funzioni di una variabile si esten
de a funzioni di più variabili.
Sia f: A+B una funzione reale definita . .:iell'aperto8 ed a
valori in BC ; L(x1. •. .. ,xn) eB =(xo1.···•xon) punti di A.
Def~ 8.1.I - V,é,Jz.emo che .la. f po-0-0~ede deJl.,[va.:to.. a1t.z,lale ne.t unto
~ JU.~pe,t;to alta. v~bU..e xk (k = 1, 2, ••. , n), -0e..ea. unz.,lo
(8.1.1) L:_cxk)l= f(x01' x02, ... , x o, k· -1 ,xk. , x o,k+1 , .•• , x on ) ,
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de.u'. '. u.Mca. v~bU..e. ha. deJl.,[va.:to.. ne.t punto x Ok, 0-0.-0.-la.. -0 e. e-0~ -
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--O.te U..
(8.1.2)
Sc.!UveJtemo aLe.otr.a.:
(8.1.3)
Se U.. Wn,i;t.e ( 8 • 1. 2) e-0-W.te MM.to, aLe.or:..a. .la. deJl.,[va.:to.. è 6-UU.
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.ta. e d.UZ.e.mo eh e. ta. f é deJl.,[va.bile. pa1t.z~en.te prua a. ~ ne.t PIL!!.
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_V-Utemo po-<. c.he fu f è de!Uva.bile pa.1tz-<.a.R.merr.t.L ù1. un a.peJLto B e
e A, u . è deJrl.va.bile pMz-i.a.R.men-t:e -<.n ogn-i. pun-to d-<. B
Per indicare il valore di una derivata parziale in un p~nto
x viene usato uno dei seguenti simboli:
0
Se la f è parzialmente d rivabile rispetto alla variabile x
in ogni punto dell'aperto A, nasce allora, in A,una nuova funzione
delle n variabili x1, x2, ..• , ~che viene denotata con una delle
seguenti notazioni:
f
•k
l'ultima delle quali non impegna di indicare esplicitamente la va
riabile di derivazione.
OSSERVAZIONE I
Il calcolo di una derivata parziale rispetto a una dellesuev~
riabili si effettua, in base alla definizione data, come una deri
vazione ordinaria rispetto a quella variabile considerandole altre
come costanti.
ESEMPIO I
Calc.o.f.a.Jz.e le dvU.va..te pMz-la..e.A.. del.la. 6unz-<.one
xf
sen x,xz , per + x~ > O
x2 + x2
l 2
o o.
X2
i) Nei punti (xp x2) E E.2 \{O} , si ha:
a) considerando x2 costante, risulta:
3
b) considerando x costante, risulta
1
ii) Passiamo a vedere se la f possiede derivate parziali nell'ori
gine; per questo occorre vedere se esistono i limiti:
\
-o)-
1
lim(.tix )=lim( (O+tix,)·O -
llxr+u 1 .tix +u sen (0 +tix )2+0 .tix
1 1 1
o. o)
(0 + ll.2:2.2_ - 1
Z1'i xi +om (.tix2) = .1ti xi +om (s en 0+(0 + t~ix ) .tix
2 2 2 2
Tali limiti esistono enttambi e valgono zero; perciò è
Se la f è derivabile delle n variabi
li~ si essono de · · prime
... élf
'
<lx
n
ciascuna di queste, se derivabile, genera n nuove funzioni ottenen
do così, definite in A, n2 d~rivate parziali seconde che denotereç
mo con
oppure fx , (h, k 1, 2, ... , n) ,
h xk
che, per@=~._§criveremo anche;
é}2f
d~2h oppure f~
e così via.
Il calcolo delle derivate ~.._,,'-"-'"-""',....._.._""l<.>c.r:~i~o~r~e:......!ai~~r~i""o"~è:....a!~v:.v.!..!a~n~
taggiato quando sussistono le
Teor. 8.1.II - (di Schwarz) • La 6unz~one f ~ de6,{,n,{;ta ne..ll'apeJt
:t.o A e R 2 ; .o e P 1 ( x1, y 1 J è punto ~ A, .o~ IP un ~ntoJm.o CÀJLC.oR.o.!te