Analisi Matematica I: Teoria ed esercizi con complementi in rete (UNITEXT La Matematica per il 3+2) (Italian Edition) (v. 1)

452 Pages·2003·4.79 MB·Italian

by  C. Canuto

a Dina,
luce di un sorriso
che l’ombra della vita
non può spegnere
C. Canuto, A. Tabacco
Analisi matematica I
Teoria ed esercizi
con complementi in rete
2a edizione
1 3
CLAUDIOCANUTO
Dipartimento di Matematica
Politecnico di Torino,Torino
ANITATABACCO
Dipartimento di Matematica
Politecnico di Torino,Torino
Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media
springer.it
© Springer-Verlag Italia,Milano 2005
ISBN 10 88-470-0337-7
ISBN 13 978-88-470-0337-8
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re di parte di questa,è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’au-
tore,ed è soggetta all’autorizzazione dell’Editore.La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla
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utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio.
Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori
Progetto grafico della copertina:Simona Colombo,Milano
Stampato in Italia:Signum,Bollate (Mi)
Prefazione
InuoviOrdinamentiDidatticihannoimpostounripensamentoglobaledellastrut-
turaedeicontenutidegliinsegnamentiuniversitariitalianie,corrispondentemente,
del materiale didattico di supporto.
In molti corsi, in particolare in quelli di base, `e necessario portare gli allievi
ad acquisire un insieme non piccolo di concetti e di conoscenze operative avendo
a disposizione un numero ridotto di crediti sovente compressi in poche settimane.
Si pone quindi il problema di effettuare delle scelte sui contenuti, sul linguaggio
usato e sul livello di approfondimento con cui viene trattata la materia.
Il presente testo intende essere di supporto ad un primo insegnamento di Ana-
lisi Matematica in quei corsi di studio (quali ad esempio Ingegneria, Informatica,
Fisica) in cui lo strumento matematico `e parte significativa della formazione del-
l’allievo. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale
in una variabile sono presentati con l’obiettivo primario di addestrare lo studente
ad un loro uso operativo, ma critico. La filosofia che ha ispirato l’impostazione
generale `e stata quella di semplificare e alleggerire il materiale rispetto ai testi in
uso prima della riforma, senza pero` rinunciare al rigore espositivo e scadere in un
mero prontuario di regole e formule.
In questa prospettiva, il testo presenta tre diversi livelli di lettura. Il livel-
lo intermedio corrisponde, per ciascuno degli argomenti trattati, alla totalita` del
materiale qui presentato. I concetti sono dapprima introdotti in modo discorsi-
vo e poi rigorosamente definiti; successivamente, si discutono le varie proprieta`
matematiche ad essi collegate e si delineano le metodologie di calcolo che ne de-
rivano. I teoremi e le proprieta` piu` importanti sono accompagnati dalla relativa
dimostrazione.
Unlivellodiletturapiu` essenzialeprevedel’omissioneditutteledimostrazioni
riportate, che a tale scopo sono facilmente distinguibili, e di quelle parti di testo
presentatesottolavoce“Osservazione”.Perfacilitarelostudente,leformuleasso-
lutamentefondamentali,equellecomunqueimportanti,sonostatemesseinrilievo
mediante l’uso del colore, rispettivamente ciano e grigio. Alcune tabelle, nel testo
e al fondo del libro, riassumono formule di uso frequente. Non si `e invece voluto
VI Prefazione
stabilireunaclassificadiimportanzatraiteoremi,perlasciarealdocentelaliberta`
di operare eventuali scelte in tal senso.
Unterzolivellodilettura,basatosull’accessoadunsitoweb,permetteall’allie-
vo piu` motivato ed interessato di approfondire la sua preparazione sulla materia.
Riteniamo infatti che gli obiettivi generali dei nuovi Ordinamenti Didattici siano
compatibiliconlapossibilita`,perglistudenticapacievolenterosi,diacquisireuna
formazionesolidaecompleta,secondolamiglioretradizioneuniversitariaitaliana.
Nel libro si trovano vari riferimenti alle sezioni di un testo virtuale disponibile in
rete, contenenti complementi e approfondimenti degli argomenti di volta in volta
trattati. In tal modo, tutti gli enunciati presenti nel testo cartaceo vengono ad
essere corredati dalla rispettiva dimostrazione.
Per consentire un approccio morbido alla materia, nei primi due capitoli si `e
scelta una esposizione piu` discorsiva, in cui definizioni e proprieta` sono sovente
inglobate nel testo; nei capitoli successivi, la veste grafica mette in luce in modo
piu` evidente tali strutture. Deliberatamente, di alcune definizioni e teoremi non
si fornisce la forma piu` generale possibile, al fine di privilegiare l’immediatezza
di comprensione da parte dello studente. Gli enunciati sono in genere immedia-
tamente seguiti da numerosi esempi; lo stesso vale anche per la descrizione dei
procedimenti di calcolo. Varie osservazioni fanno da complemento all’esposizione
principale, mettendo in luce, fra l’altro, casi particolari ed eccezioni. Un rilevante
numerodiesercizivienefornitoalterminediognicapitolo,permettendoall’allievo
di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze acquisite. Gli esercizi sono
raccoltiingruppicheriprendonoiprincipaliargomentitrattatinelcapitoloesono
ordinati per difficolta` crescente. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per
oltre la meta` di essi, si delinea il procedimento risolutivo.
Neltestosarannousateleseguenticonvenzionigrafiche:ledefinizioniappaiono
susfondogrigio,mentreglienunciatisusfondociano;gliesempisonosegnalatida
unabarraverticaleincolore;gliesercizidicuisiforniscelasoluzionesonoindicati
con un riquadro nel testo (ad esempio 12. ).
Questo volume `e dedicato all’amica Dina Giublesi, per molti anni preziosa
collaboratrice, di cui sempre ricordiamo la luminosa figura.
Siamo riconoscenti ai molti colleghi e studenti che ci hanno permesso, con i
loro consigli, suggerimenti ed osservazioni, di migliorare l’esposizione ed arricchire
i contenuti di questa seconda edizione.
Torino, giugno 2005 Claudio Canuto, Anita Tabacco
Complementi disponibili in rete
All’indirizzo internet
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi 1
`e disponibile un testo virtuale, contenente complementi e approfondimenti del-
la materia qui trattata (ad esempio, vi si possono trovare le dimostrazioni de-
gli enunciati non fornite nel presente libro). Il materiale `e suddiviso nei seguenti
argomenti:
• Principio di induzione
• Numero di Nepero
• Funzioni elementari
• Limiti
• Funzioni continue
• Successioni
• Serie numeriche
• Derivate
• Teorema di de l’Hˆopital
• Funzioni convesse
• Sviluppi di Taylor
• Integrale di Cauchy
• Integrale di Riemann
• Integrali impropri
Nel presente volume, il rinvio al testo elettronico complementare `e segnalato dal
simbolo (cid:1), ad esempio (cid:1) Numero di Nepero.
Indice
1 Nozioni di base ................................................ 1
1.1 Insiemi..................................................... 1
1.2 Elementi di logica matematica ................................ 5
1.2.1 Connettivi logici ...................................... 5
1.2.2 Predicati ............................................. 7
1.2.3 Quantificatori......................................... 7
1.3 Insiemi numerici............................................. 9
1.3.1 L’ordinamento dei numeri reali.......................... 12
1.3.2 La completezza diR.................................... 18
1.4 Fattoriali e coefficienti binomiali............................... 19
1.5 Prodotto cartesiano.......................................... 22
1.6 Relazioni nel piano .......................................... 24
1.7 Esercizi .................................................... 26
1.7.1 Soluzioni ............................................. 27
2 Funzioni ....................................................... 33
2.1 Definizioni e primi esempi .................................... 33
2.2 Immagine e controimmagine .................................. 38
2.3 Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa .................. 40
2.4 Funzioni monoto`ne .......................................... 43
2.5 Funzioni composte........................................... 46
2.5.1 Traslazioni, cambiamenti di scala, riflessioni .............. 48
2.6 Funzioni elementari e loro proprieta`............................ 49
2.6.1 Funzioni elevamento a potenza .......................... 51
2.6.2 Funzioni polinomiali e razionali ......................... 53
2.6.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche ..................... 53
2.6.4 Funzioni trigonometriche e loro inverse................... 54
2.7 Esercizi .................................................... 59
2.7.1 Soluzioni ............................................. 61
X Indice
3 Limiti e continuit`a I ........................................... 67
3.1 Intorni ..................................................... 67
3.2 Limiti di successioni ......................................... 68
3.3 Limiti di funzioni; continuita`.................................. 74
3.3.1 Limiti all’infinito ...................................... 74
3.3.2 Continuita`. Limiti al finito.............................. 76
3.3.3 Limiti destro e sinistro; punti di discontinuita`............. 84
3.3.4 Limiti di funzioni monotone ............................ 87
3.4 Esercizi .................................................... 89
3.4.1 Soluzioni ............................................. 89
4 Limiti e continuit`a II .......................................... 91
4.1 Teoremi sui limiti ........................................... 91
4.1.1 Teoremi di unicita` e permanenza del segno ............... 91
4.1.2 Teoremi del confronto.................................. 94
4.1.3 Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo
algebrico ............................................. 98
4.1.4 Teorema di sostituzione ................................105
4.2 Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale .....108
4.3 Proprieta` globali delle funzioni continue ........................111
4.4 Esercizi ....................................................118
4.4.1 Soluzioni .............................................120
5 Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche.....127
5.1 Simboli di Landau...........................................127
5.2 Infinitesimi ed infiniti ........................................134
5.3 Asintoti ....................................................139
5.4 Ulteriori proprieta` delle successioni ............................141
5.5 Serie numeriche .............................................145
5.5.1 Serie a termini positivi .................................151
5.5.2 Serie a termini di segno alterno .........................154
5.6 Esercizi ....................................................155
5.6.1 Soluzioni .............................................158
6 Calcolo differenziale ...........................................171
6.1 La derivata .................................................171
6.2 Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione ............174
6.3 Punti di non derivabilita` .....................................180
6.4 Punti di estremo e punti critici di una funzione..................183
6.5 I Teoremi di Rolle e Lagrange.................................186
6.6 Prima e seconda formula dell’incremento finito ..................188
6.7 Intervalli di monotonia di una funzione.........................191
6.8 Derivate di ordine superiore...................................193
6.9 Convessit`a e flessi ...........................................194
6.10 Studio di funzioni ...........................................198
Indice XI
6.10.1 Le funzioni iperboliche .................................200
6.11 Il Teorema di de l’Hˆopital ....................................202
6.11.1 Applicazioni del Teorema di de l’Hˆopital .................204
6.12 Esercizi ....................................................206
6.12.1 Soluzioni .............................................210
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni ...............................229
7.1 Le formule di Taylor .........................................229
7.2 Sviluppi di Taylor notevoli....................................233
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor.............................240
7.4 Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione ....249
7.5 Esercizi ....................................................254
7.5.1 Soluzioni .............................................256
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio ......................265
8.1 Coordinate polari, cilindriche, sferiche..........................265
8.2 Vettori nel piano e nello spazio................................268
8.2.1 Vettori applicati nell’origine ............................268
8.2.2 Modulo e prodotto scalare..............................271
8.2.3 Vettori applicati in un punto............................277
8.3 Numeri complessi............................................278
8.3.1 Operazioni algebriche ..................................278
8.3.2 Coordinate cartesiane..................................280
8.3.3 Forma trigonometrica e forma esponenziale ...............282
8.3.4 Potenze e radici .......................................284
8.3.5 Equazioni algebriche...................................286
8.4 Curve nel piano e nello spazio.................................288
8.5 Cenni alle funzioni di piu` variabili .............................294
8.5.1 Continuita`............................................294
8.5.2 Derivate parziali e gradiente ............................295
8.6 Esercizi ....................................................299
8.6.1 Soluzioni .............................................301
9 Calcolo integrale I .............................................309
9.1 Primitive e integrali indefiniti .................................310
9.2 Regole di integrazione indefinita...............................314
9.2.1 Integrazione di funzioni razionali ........................321
9.3 Integrali definiti .............................................327
9.4 Integrale secondo Cauchy.....................................328
9.5 Integrale secondo Riemann ...................................331
9.6 Proprieta` dell’integrale definito................................338
9.7 Media integrale .............................................340
9.8 Il Teorema fondamentale del calcolo integrale ...................342
9.9 Regole di integrazione definita ................................347
9.9.1 Applicazione al calcolo di aree ..........................350
XXIIVI IInnddiiccee
9.10 Esercizi ....................................................352
9.10.1 Soluzioni .............................................355
10 Calcolo integrale II ............................................367
10.1 Integrali impropri ...........................................367
10.1.1 Integrali su intervalli illimitati ..........................367
10.1.2 Integrali di funzioni non limitate ........................375
10.2 Altri integrali impropri.......................................379
10.3 Integrali curvilinei ...........................................380
10.3.1 Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea .................386
10.4 Integrali di linea.............................................388
10.5 Esercizi ....................................................390
10.5.1 Soluzioni .............................................392
11 Equazioni differenziali ordinarie ...............................399
11.1 Definizioni generali ..........................................399
11.2 Equazioni del primo ordine ...................................400
11.2.1 Equazioni a variabili separabili..........................404
11.2.2 Equazioni lineari ......................................407
11.2.3 Equazioni omogenee ...................................409
11.2.4 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo ........411
11.3 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali
del primo ordine.............................................412
11.3.1 Funzioni lipschitziane ..................................412
11.3.2 Una condizione di risolubilita` del problema di Cauchy......415
11.4 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti ........417
11.5 Esercizi ....................................................423
11.5.1 Soluzioni .............................................425
Indice analitico ....................................................443