Análise Real. Vol.1: Funções de Uma Variável

191 Pages·2006·44.79 MB·Portuguese

by  Elon Lages Lima

[
Lima, Elon Lages
Aniliso real volame 1. Fumgécs de uma variavel {Elon
Lagos Tima. 8.ed. Rio de Janeiro : MPA, 2006,
189 p, sil, 23-c1, (Colegio Matemdtica Universitdtia)

Inelui bibliogratia,
ISBN 85-244-0048-X

1, Anslise Materuition, 1. Titulo. IL, Série.

cDD-517
Anialise Real votume 1
Funcdes de Uma Variavel

Oitava Edigio

(segunda impressio)

Elon Lages Lima
‘aejonal de Matemdtisa Pura © Apical
Ustada Done Castorna, 11h
22460-320 Rio de Fano, RT

ira

aypesso no BesitPeiated in Brazil

Capa: Redolte Capers ¢ Noni Geigor

Colegio Matemitien Universitiria,
Coaissto Editorials

Elo apes Vina toe)

8, Caller Goutinhe

Pans ad

Anaise Real, Volume 1 Euuyaies de Gina Vaciavel~ Flan Lages Tima
DP. im Curse de Gradnagde ~ Valévia fro

Guisn de Algebra, Volume | Abzamno Hefez

Algebra Linem Blea Lagos Lina

Infrrlugda a Curvas Algehrieas Plauas~ tora! Vainsencher

+ Payuuytes Diferencias Aplivadus Djuieu G. de Figueiredo e Aluisie Freiria Neves
© Goornchia Difewencial Paulo Veutura Aust
4 Imrotogn 4 Teavia das Niimerad~ las ina de Oliveira Santos

Cleulo em uma Variivel Complexa ~ Marcio G. Soares
Geoweia Analtica ¢ Algebra Linear Blox Lages Lima

[Némaero Primos: Mirtérios @ Recarden - Paulo Ribenbaim

Anise no Topago RP Blum Layes Lines

‘Auilise Real, Volume 2, Fungdes den Variéveis— Bion Lages Lima
‘Algebra taterior— Elon Lages Lim

Equagdes Diferencias Ondiniris Claus Ino Doering @ Artur Oseae Lopes

Distelbuigto:
AMPA,
Eattada Done Casenrina, 110
22460224 Rin de Foner, RE
‘emul: dlicdimpa be
bps? wor impabe
Cnpitule 1. Conjuntos Finitoa e Ininitas
1. Hiroe nobis
2, Conjumos fitos
9. Conluros inns
4 Cunlanas cnumorve
5, Baorloos

Capltulc 2. Numeroa Reis,
prvenn
2. Whe um corps ordanade
14. We um corp erdenacocnfpta
4 Eaerlooe

Capitulo 3. Soqudncias da Némeroe Reais
1. at de ua sean
2. Imes dosigunldsdes
"Opera co titos
4 nas iio
1 Panmleas

Capitulo 4. Sérien Numéricas
| Rétns corvergentes
1 oe sbeotemar te conwergentes
1 alan do convergénce
24 conntenteage
too

Ganiuio 6. Aigumas Nogses Topolégtess

¥ Gorprps facades
1 Pon do sergio
4 Conpon noma
1 Gemnijune de Cance
1 Faaraine

Calle a. Linites de Funsées
| Daltigho aerimakos propredaces
Lites nce
Laan i, ds ines, oxpasses inelorinnas
4 Fame

ajstuio 7. Fungdes Continuns
1 thle x pinnime propradedae
2 Fung sontinuns num nara
$5. Fungbes conus arr ecnrcos campsetes
5, Exerciion

Capitulo 8. Derivedas

1. Anogée de derhada
2 Ragrae oparaconale

4, Fue derives or iterae
5 Exerioos

Capitulo 9. Formula de Taylor e Aplicagdes da Derlvada

1. Féemul ae Tayo
2. Rungbes cameras @c&neaas
4. Berens

‘Capitulo 10. A Integral ce Riemann
1. Reve acbre supa int
2 vegas eran
2. Pron 2 aa
44 Cones scons a ogre
8 Everts

Capitulo 11, GAloulo com integrals
1. Os eoraras laos Call neal
2. Lamina vapors
4: nog -mprprine
5 Ererlaoe

Capitulo 12. Seqdéncias « sértes do tunes
1. Come génais impee ecomergénaa uname
2, Prats di cinwereia nar
8 Séties do roteeing

4 Fungbes bigencmsicas

Sree da Teslor

Capitulo 13. Sugeetdes e Respostes
‘Sugasties de leitura
ingioe

Ba2eR BRae

o”
Prefacio

A finalidhule deste Kero 6 servir de text pans um primeira ewe te: Andlise
Matemiétiea, (Os assuntos nele tistados sdo expostos da maneira simples e dita,
cevilando-se maiores digressGes, Assim, espero facilitar o trabalho do professor
qua, ae audot-o, uo precisar perder multe termpn selecigmande 05 (9
censinaré e os que val omic. Turonas especials. estudantes com insis experisucia,
Teitores que desejem uma apresentagio mais completa ou alunos normais em
huscleleiturascompleraemistes paderioconsultir “Corsa de Analise™ wel. L,
(que tara de materia semelhante gah forma mais ahrangente eé apraximadamente
doas vezes mais Longo.

Os leitores que tenho em niente sio alunos com conhecimento equivalents
1 dois periodos Ietivos de Cdeulo, de modo a tem familiardade com as idéias
de devivada e integral emt seus apectos mais elementaren, principalaente «
tdloulo das fungécs mais conhecidas a resolusio de exerefcios simples. Espero,
lésm isso, gu eles tonharn uma nox rosvelments: chira da que seja wm
emonstragin matemstica. A Tistade pre-requisitas cermina dizenuto que oTeitar
dove estar habitade 3s notacies costumiras sobte conjuntes, tis como.r ¢ A,
ACB AL He AN Bele,

{Uma paste imporante do lvzo si sous 260 exerfcis, Eles srvem pant
tisagde da aprendinagen, deveaslviment de alge emenesbagudis 19 text
¢ como oportanidade para 0 lito vrificar se relmentecatenden o que acabou
de er. Sclugdes de 190 esses exerecies, le forma compel reside, so
afretentadan no capitals tinal. Naturaiments,gostara yue recurs as soluges
auc ofergo fos feito somnt: deposs dum série esfongo para Texolver cau
oroblemn, F presse w8seesforgy qe hem on ral sued, edie mo
xi 0 proceso de veinanento

O pincessaraenudo manuscrity, pekosisterna TX Fo fila por Maria Celans
‘Maia c Solange Villar Visguciro sob a supervisio de Jonas de Miranda Gomes,
ao qual devo vétius conselhos ¢ upinides semsalas durante a preparugio de lier
A revisin do texta fo Tet por Tai Lopes tle Linna, Ricardo Gate Caanelier
Ru Tojo. todas estas pessoas, meus agradceimentes covdials,
A publicagi deste isto foi financiada pela CAPES. a cujo Diretor Geral,
professor José Ubyrajaru Alves, mvito devo pelo apoio ¢ compreensao demons-
tras,

Riv de Janeiro, agosto de 1989.
Blon Lages Lima

Protaclo da tercelra edigao

Embora tardiamente, registro aqui meus agradecimentos 4 Lorenzo Diaz pelo
vik trabalh de reviso que fez ma sezutda edigha, Agzadeyo igualmente
a Moréncin Guimaries pelag cumerbes minucicsas cue Fer para esi algo, cone
sua habitnal acuidade.

Rip de Janeiro, 7 de taneito de 1997.
Elon Lages Lima
Conjuntos Finitos
e Infinitos

este capitulo, serd estabelecida com precisio a diterenga entre conjure finite
fe conjunto infinil, Serd feita também a distingao entre conjunco enumersval €
epnjiento nf-enurnenivel, O ponte de parti 0 conjmato das macros naturals.

1. Numeros Naturale

© eogjunte ¥ dos ntimeros namenis éearacierizuhy pels suguintes fas

|. Exisce uma fungdo injetiva i) = B.A imagem fn) de emly nme
natecal n < Nchanta-se 0 sucessar den.

Fsinte un dnigu nfenero natural 1 = 1 td que L # 32) para todo m ©

3. Se um conjunco X <6 tal que 1 X (isos ne Xz

vine; = XJ entto X — 6,
Tessas ufimuyoes pole ser reformuledas asin

1, Todo mfnuero oatural tom um suvessur, que sinds é un néenen natural;
iinet diferems iden suessons difeneaes

Existe umn nico mémeto natural 1 que nfo € sucessor de nenlium outeo.
3, Setnn conjunte ce ndaners nauurnis cnntgan es nximaera Te camer lambém
sucess de carla um des sens elements, enti esse conjunto ecnidn todos
os micros naturals,
As propriedudes 1, 2,3 avin chamain-xetis aciomas de Peano. Qaxioma
Scoohecide coma 6 principio da indugsin. Intuitivamente, ele signitica que took
ndmero natural 7 pode ser obtide a partir de 1, comanda-se Se sucesso% HT
o svcessor deste. {1}, ¢ assim por diante, com win mimero finito cle etapa
(Pidenteraente Snieco linild” & una expressdo que, neste memento, nde term
rinda significado. A formulagio do axioma 3 uma mancirs cxtremamenic

il Ue evilar a petigio de prineipin até que a nig ue evujuma linito seja
csclarceida)

© principio da inducao serve de buse para um método de demonstragéo
de teoemas sobre nimeros naturals, canhecido camo 0 migraia de indupso (on
recorrincio), » qual funciona assim: "se uma propriedade 2 € vélida para a
ndimero 1 ¢ se, supondo P valida para o namero % dai resultar que P é valida
famném parasou sucessoro(7e), end 1? & valida para indo a oGimerce: naluras”

Coma exeruplo de usrauentragi por nnduyde, proveraos que, para todo
OM, temse sin} 7 n, Esta afrmaciio & verdadeins pata n — J porque, pelo
aniomma 2, wem-se 1 # s/n} para todo v-Jogo, em particular, 1 ¢ s{1}- Sugondo-a
verdadeiri part um cerio n ¢ M, vila # efn}, Come a fungi s& injetiv, dat
resulea s(x) / aa), isto 6, 1 afirmacio € verdadciza para s(n}.

Xo conjnto f dos némeros naturais slo delinidas duas aperacées funda
ments: digo, «que wsaacia ae par ake rvirmeres (7,1 nd soma a. — re
ea iulipticado. que tz cotrespouder ao par (7a, seu produta rn. Hs
‘ous operagites sin curucteriralus pelas seguintes igualdales, que hes servern Be
detiuigao:

wt = ara)
tat win} =oGa-en). isnd, ra (FU = tae beds

mim 11} mn om

Nowurus termes: somar L am significa woman @ sucesso che. Ese 5
eomnhecenies a sonia xa-+ 1 aumbém conheverentos s+ StL). que é osucessat
dom +71, Quinte & moliplicacdo; moliplicur por 1 nio alleru o numer.
se vonhecemos 4 produ wn, conhevenemns 70.0 + 1} = mt an Ade
rmonstracio da cxisténeia cas operagikes — ¢ - com ws propricihiles acim, bent
‘ammo sua unividade, se faz por indugio. Os detalles serio omiidas aqui.
Ieitor ineressado pode consultar 0 “Curso de Andlise'" val, 1, ou as reer