Análise Real (vol. 3) (livro fino) PDF
Preview Análise Real (vol. 3) (livro fino)
INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Análise Real volume 3 Análise Vetorial Elon Lages Lima Análise Real volume 3 Análise Vetorial Lima, Elon Lages Análise real, v.3 : Análise vetorial / Elon Lages Lima. 3 ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2011. 144 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) Inclui bibliografia. ISBN 978-85-244-0269-2 1. Análise Matemática. I. Título. II. Série. CDD-517 COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Análise Real volume 3 Análise Vetorial Terceira Edição Elon Lages Lima impa S (---." INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright @ 2011 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Sérgio Vaz, Rodolfo Capeto e Noni Geiger Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Colher Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável — Elon Lages Lima • EDP. Um Curso de Graduação — Valéria Iório • Curso de Álgebra, Volume 1 — Abramo Hefez • Álgebra Linear — Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas — Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas — Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial — Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números — José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa — Marcio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear — Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes — Paulo Ribenboim • Análise no Espaço R" — Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis — Elon Lages Lima • Álgebra Exterior — Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias — Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial — Elon Lages Lima • Álgebra Linear. Exercícios e soluções — Ralph Costa Teixeira Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br Prefácio Em prosseguimento aos assuntos tratados nos dois volumes anteri- ores, fazemos neste livro uma introdução às integrais curvilíneas e de superfície. Tradicionalmente, as superfícies sobre as quais se calculam essas in- tegrais são aquelas contidas no espaço tridimensional. Isto permite que se integrem campos de vetores. Se, entretanto, a co-dimensão da su- perfície é superior a 1 (mesmo que ela seja bidimensional), nela não faz sentido integrar um campo de vetores. O objeto adequado para ser posto sob o sinal de integral é uma forma diferencial, dado o seu caráter intrínseco, independente da parametrização tomada para representá-la analiticamente. Outra grande vantagem das formas sobre os vetores é o seu lado func- torial, que se exprime assim: se f: M —> N é uma aplicação diferenciável da superfície M na superfície N, a cada forma co em N corresponde uma forma f*u.; em M e a correspondência w 1—> f*w goza de propriedades simples, elegantes e úteis. (Trata-se, na verdade, de uma formalização do antigo conceito de mudança de variáveis.) Campos de vetores, por seu turno, são rígidos. Não se prestam a mudanças de variáveis, salvo em casos bem especiais. A Análise Vetorial clássica gira em torno dos chamados Teoremas Integrais, associados a nomes ilustres como Gauss, Green, Stokes, Rie- mann, Ostrogradsky, etc. Com o uso das formas diferenciais (especial- mente da diferenciação exterior devida a E. Cartan) todos esses teoremas se reduzem a um único, conhecido (um tanto injustamente) como Teo- rema de Stokes, o qual se exprime de maneira concisa e elegante sob a forma fam W = fm deo. Explicar o significado da igualdade acima, esclarecendo cada conceito nela envolvido, dar algumas aplicações e ilustrar as diversas utilidades de seus componentes é o principal objetivo deste livro. É quase desnecessário esclarecer que este pequeno trabalho contém apenas uma introdução a alguns assuntos relevantes, cuja presença no currículo universitário considero importante. Os tópicos aqui apresenta- dos serão reencontrados mais tarde em diferentes teorias matemáticas. Para a publicação deste livro, contei com a colaboração de Fran- cisco Petrúcio, que cuidou das figuras, Aryana Cavalcante, que fez uma cuidadosa revisão, José Regis, que revisou os dois primeiros capítulos e Wilson Goes, que se encarregou da digitação. Rio de Janeiro, junho de 2007 ELON LAGES LIMA Prefácio da Terceira Edição Para tornar o texto mais claro em alguns pontos e corrigir alguns erros em outros, foram feitos alguns acréscimos e inseridas modificações, grande parte das quais devidas ao exame cuidadoso feito por meu colega Paulo Sad, a quem agradeço vivamente. Rio de Janeiro, março de 2011 ELON LAGES LIMA Conteúdo 1 Integrais Curvilíneas 1 1 Formas diferenciais de grau 1 1 2 Integrais curvilíneas 11 3 Invariância homotópica 14 4 O número de voltas de um caminho fechado 21 5 Exercícios 24 2. Formas Alternadas 28 1. Aplicações r-lineares 28 2. Formas alternadas 31 3. Determinantes 34 4. O produto exterior de funcionais lineares 38 5. Coordenadas e matrizes em Qtr(E) 40 6. A Álgebra de Grassmann 44 7. Exercícios 47 3. Formas Diferenciais 50 1. Primeiras definições 50 2. A diferencial exterior 56 3. Exercícios 65 4. Ohne Titel 67 1. A vizinhança tubular 67 2. Partições da unidade 75 3. O Teorema de Jordan-Brouwer 84 Apêndice: Toda hiperfície compacta é orientável 87 4. Exercícios 89 5. O Teorema de Stokes 92 1. Integral de superfície 92 2. Superfícies com bordo 99 3. O Teorema de Stokes 110 4. A orientação induzida no bordo 114 5. Análise vetorial clássica 118 6. Exercícios 123 6. Soluções dos Exercícios 125 1. Integrais curvilíneas 125 2. Formas alternadas 130 3. Formas diferenciais 134 4. Ohne Titel 138 5. O Teorema de Stokes 139 Referências Bibliográficas 141 Índice Remissivo 143 1 Integrais Curvilíneas 1 Formas diferenciais de grau 1 Como vimos no Vol. 2 (Cap. 5), se f: U --> Ré uma função diferenciável no aberto U c Ir, sua diferencial em cada ponto xEUéo funcional linear df (x) E (Rn)* cujo valor no vetor v E Rn é Of df (x) • v = = ( grad f (x),v). Na notação tradicional do Cálculo, a base canônica de (ri)*, dual da base canônica {ei, , en} C Rn, é representada por {dxi, . • • ,dxn}• A expressão do funcional df (x) em termos desta base é f n df (x) = -8-7(x) • dri. . Isto sugere a definição seguinte. Uma forma diferencial de grau 1, ou simplesmente uma 1-foi lua de- finida no conjunto X C Rn, é uma aplicação co: X --> (R)*. A cada ponto x E X, w associa o funcional linear w(x), o qual se exprime em termos da base {dxi, , dx„} c (Rn)* como w(x) = ai (x) • dxi. i=1 As funções ai, , ar,: X —> R, cujos valores em cada ponto x E X são as coordenadas do funcional w(x) na base canônica, são tais que
The list of books you might like
