Análise Real (vol 1) (Livro fino)

207 Pages·2009·7.785 MB·Portuguese

by  Elon Lages Lima

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Análise Real
volume 1
Funções de Uma Variável
Elon Lages Lima
Análise Real
volume 1
Funções de Uma Variável
Lima, Elon Lages
Análise real volume 1. Funções de uma variável / Elon
Lages Lima. 10.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2009.
189 p. : il. ; 23 cm. (Coleção Matemática Universitária)
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-244-0048-3
1. Análise Matemática. I. Título. II. Série.
CDD-517
COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA
Análise Real
volume 1
Funções de Uma Variável
Décima Edição
(segunda impressão)
Elon Lages Lima
impa
INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright 2009 by Elon Lages Lima
Direitos reservados, 2009 pela Associação Instituto
Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
Capa: Rodolfo Capelo e Noni Geiger
Coleção Matemática Universitária
Comissão Editorial:
Elon Lages Lima (Editor)
S. Colher Coutinho
Paulo Sad
Títulos Publicados:
• Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável — Elon Lages Lima
• EDP: Um Curso de Graduação — Valéria Iório
• Curso de Álgebra, Volume 1 — Abramo Hefez
• Álgebra Linear — Elon Lages Lima
• Introdução às Curvas Algébricas Planas — Israel Vainsencher
• Equações Diferenciais Aplicadas — Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves
• Geometria Diferencial — Paulo Ventura Araújo
• Introdução à Teoria dos Números — José Plínio de Oliveira Santos
• Cálculo em uma Variável Complexa — Marcio G. Soares
• Geometria Analítica e Álgebra Linear — Elon Lages Lima
• Números Primos: Mistérios e Recordes — Paulo Ribenboim
• Análise no Espaço R' — Elon Lages Lima
• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis — Elon Lages Lima
• Álgebra Exterior — Elon Lages Lima
• Equações Diferenciais Ordinárias — Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes
• Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial — Elon Lages Lima
Distribuição:
IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
e-mail: [email protected]
http://www.impa.br
Prefácio
A finalidade deste livro é servir de texto para um primeiro curso de
Análise Matemática. Os assuntos nele tratados são expostos de maneira
simples e direta, evitando-se maiores digressões. Assim, espero facilitar
o trabalho do professor que, ao adotá-lo, não precisará perder muito
tempo selecionando os tópicos que ensinará e os que vai omitir. Tur-
mas especiais, estudantes com mais experiência, leitores que desejem
uma apresentação mais completa ou alunos em busca de leituras com-
plementares poderão consultar o "Curso de Análise", vol. 1, que trata
de matéria semelhante sob forma mais abrangente e é aproximadamente
duas vezes mais longo.
Os leitores que tenho em mente são alunos com conhecimento equi-
valente a dois períodos letivos de Cálculo, de modo a terem familiaridade
com as idéias de derivada e integral em seus aspectos mais elementares,
principalmente o cálculo das funções mais conhecidas e a resolução de
exercícios simples. Espero, além disso, que eles tenham uma noção ra-
zoavelmente clara do que seja uma demonstração matemática. A lista
de pré-requisitos termina dizendo que o leitor deve estar habituado às
notações costumeiras sobre conjuntos, tais como x E A, A c B, AU B
e Anil, etc.
Uma parte importante do livro são seus 268 exercícios. Eles servem
para fixação da aprendizagem, desenvolvimento de alguns temas esbo-
çados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmente
entendeu o que acabou de ler. Soluções de 194 desses exercícios, de
forma completa ou resumida, são apresentadas no capítulo final. Na-
turalmente, gostaria que o recurso às soluções que ofereço fosse feito
somente depois de um sério esforço para resolver cada problema. É
precisamente esse esforço que, bem ou mal sucedido, conduz ao êxito no
processo de treinamento.
O processamento do manuscrito, pelo sistema TF)( foi feito por Maria
Celano Maia e Solange Villar Visgueiro, sob a supervisão de Jonas de
Miranda Gomes, ao qual devo vários conselhos e opiniões sensatas du-
-
rante a preparação do livro. A revisão do texto foi feita por Levi Lopes
de Lima, Ricardo Galdo Camelier e Rui Tojeiro. A todas estas pessoas,
meus agradecimentos cordiais.
A publicação deste livro foi financiada pela CAPES, a cujo Diretor
Geral, professor José Ubyrajara Alves, muito devo pelo apoio e com-
preensão demonstrados.
Rio de Janeiro, agosto de 1989
ELON LAGES LIMA
Prefácio das edições posteriores
As sucessivas edições deste livro se beneficiaram de sugestões e cor-
reções feitas por diversos colegas e estudantes que o utilizaram. A todos
esses colaboradores, dentre os quais destaco Lorenzo Diaz, Florêncio
Guimarães, Aryana Cavalcante e Carlos Eduardo Belchior, meus agra-
decimentos, extensivos a Rogerio Dias Trindade, que redigitou todo o
texto para a décima edição e a Maria Celano Maia e Priscella Pomateli,
que fizeram a revisão final.
Rio de Janeiro, março de 2008
ELON LAGES LIMA
Conteúdo
Capítulo 1. Conjuntos Finitos e Infinitos 1
1. Números naturais 1
2. Conjuntos finitos 3
3. Conjuntos infinitos 6
4. Conjuntos enumeráveis 7
5. Exercícios 9
Capítulo 2. Números Reais 11
1. IR é um corpo 11
2. IR é um corpo ordenado 12
3. IR é um corpo ordenado completo 15
4. Exercícios 19
Capítulo 3. Seqüências de Números Reais 22
1. Limite de uma seqüência 22
2. Limites e desigualdades 26
3. Operações com limites 27
4. Limites infinitos 30
5. Exercícios 33
Capítulo 4. Séries Numéricas 37
1. Séries convergentes 37
2. Séries absolutamente convergentes 39
3. Testes de convergência 41
4. Comutatividade 43
5. Exercícios 45
Capítulo 5. Algumas Noções Topológicas 48
1. Conjuntos abertos 48
2. Conjuntos fechados 49
3. Pontos de acumulação 52
4. Conjuntos compactos 53
5. O conjunto de Cantor 55
6. Exercícios 58
Capítulo 6. Limites de Funções 62
1. Definição e primeiras propriedades 62
2. Limites laterais 67
3. Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas 69
4. Exercícios 72
Capítulo 7. Funções Contínuas '74
1. Definição e primeiras propriedades 74
2. Funções contínuas num intervalo 77
3. Funções contínuas em conjuntos compactos 80
4. Continuidade uniforme 82
5. Exercícios 86
Capítulo 8. Derivadas 89
1. A noção de derivada 90
2. Regras operacionais 92
3. Derivada e crescimento local 94
4. Funções deriváveis num intervalo 96
5. Exercícios 99
Capítulo 9. Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada 103
1. Fórmula de Taylor 103
2. Funções convexas e côncavas 107
3. Aproximações sucessivas e método de Newton 112
4. Exercícios 117
Capítulo 10. A Integral de Riemann 120
1. Revisão sobre sup e inf 120
2. Integral de Riemann 122
3. Propriedades da integral 126
4. Condições suficientes de integrabilidade 130
5. Exercícios 132
Capítulo 11. Cálculo com Integrais 135
1. Os teoremas clássicos do Cálculo Integral 135
2. A integral como limite de somas de Riemann 139
3. Logaritmos e exponenciais 141
4. Integrais impróprias 145
5. Exercícios 149
Capítulo 12. Seqüências e Séries de Funções 154
1. Convergência simples e convergência uniforme 154
2. Propriedades da convergência uniforme 157
3. Séries de potências 162
4. Funções trigonométricas 165
5. Séries de Taylor 167
6. Exercícios 170
Capítulo 13. Sugestões e Respostas 173
Sugestões de Leitura 191
Índice Remissivo 192