Análise no Espaço Rn

136 Pages·2004·22.61 MB·Portuguese

by  Elon Lages Lima

COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA
Primeira Edição
(segunda impressão)
Elon Lages Lima
lmpa
f
~
INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÂTICA PURA E APLICADA
Copyright © 2004 by El on Lages Lima
Direitos reservados, 2004 pela Associação lnstitL1to
Nac ional de Matemática Pl1ra e Aplicadít - IMPA
1
Estrada Dona Castorina, 1 l ()
1
1
22460-320 Rio de Janei ro, RJ
Impresso no Brasil I Printed in Br,1zil
Capa: Noni Geige r e Rodolfo C<lpeto
Coleção l\1atcn1á tica Universitária
Comissão Editorial:
Elon Lages Lima (Ed itor)
S. Col lier Coutinl10
Pat1lo Sad
Títulos Publicados:
• Anál ise Real, Volume 1 -Elon Lages Lin1a
• EDP: Urn Curso de - Valéria Tório
Gradu~1ção
• Ct1rso de Álgebr<L, Volttmc l - Abramo Hcfcz
• Álgebra Li11ear - Elon Lages Li111a
• Introdt1ção às Curvas Algébricas Plar1as - Israel Vainsencl1er
• Eqt1ações Diferenciai s Aplicadas - Djairo G. de Figt1eiredo e Aloisio
Freiri[l Neves
• Geometria Diferer1cial - l)at1lo Ventura Araújo
• Tntrodt1ção à Teoria dos N(1mcros - José Plír1io de Oli veira Sj11tos
• CálcLilo em U111a Variável Complexa - Mareio G. Soares
,
• Geometria Analítica e Algebra Li11car - Elon Lagcs Li111a
• N(1meros Pri1nos: Mistéri os e Recordes - Paulo Ribc11 boi1n
• Análise no Espaço !R11 Elon Lages Li1na
-
• Aná lise Real , Volt11ne 2 - Elon Lages Li rnLl
Distrib11ição:
IMPA
Estrada Do11a Castorina, 110
22460-320 Rio de J nneiro,
I~J
c-rnai l:
ddic@i 1np~t.br
l1tl i br
j)://\V\V\V. lTipa.
Prefácio da edição original
Este livro reproduz as lições que profcrirr1os durante o Séti1no
Colóquio Brasileiro de 1v1atemáticc1, em Poços de Caldas, jlrlho de
1969.
Nele são deser1v·o}vjcJos os ft1nda1nentos elo Cálc11lo 1)a1·a fu11-
ções (le várias variáveis reais, cr11 for111a i11trínseca.
Isto significa que t1sa111os lir1g11agem ele vetores, segundo a
<l
1
.f (
qua l uma função real :c , x 2 x 3 de 3 variáveis rce:1is passa a ser
, )
tima função f(x) e.lo vetor x = (x1 x2 x3 pertencente a IR3 en
, : ), ,
3
f
quanto, por exemr)lo, duas fur1ções reais 1 (x 1 x2 j'2(x 1 x2 ::c: )
x~~),
, , , ,
são cor1sideraclas co1110 fl1r1ção vetorial f: JR3 JR.2 011de
lima ,
-1
f(x) = (.f 1(x), f 2 (:c )), x = (x 1 x2 x3 Analogê1111e11te, em vez dê1
: : ).
Ji / =
r11atriz jacobia11a (a o;rJ)' i = 1, 2; j 1) 2, 3, consideraren1os a
f'
transformação li11ear corrcspo11de11te (x): JR3 JR2 qt1c desem
-1
1
f .
pcr1l1ará o pa1)el da dcri vad<-1 ele
.
A notação vetorial sir11plific<-'1 <-1s fór1nt1las esclarece os ent111ci-
1
aclos, ':li1npa" as clernonstrações e contril)ui para urna corr1preensão
.
inelhor dos fenôme11os difcrer1cia.is. (Vicie, por exemplo, a Rcg1·a
•
ela Cacleia e o 1'eorema ela Fl1r1ção lr1versa.) Alén1 disso, ela de:í
rr1aior am1)litudc à validcz e.los rcs11lta.dos. Quase todos os teorc-
1nas aqtti cicmonstrados se inantêm vcrclaclci1·os, com as r11cs1nas
demonstr<1ções, para o Cálculo ern Es1)<.tç:os ele Ba11é1cl1. N 1·eali
í:t
clade, apcr1as 111otivos clicláticos é cor1siclcra1nos os es1)aços
})Or qt1c
c11cliclia11os JRn. ern vez de CSJ)<.1ços r1or111a,(los rr1<.tis gcr<.1is.
Usarnos livre111er1te a li11gt1age111 e os rest1ltaclos ele111ent<.1rcs
,
Algebr<1 Linear e não rios abster os de usar ta1nbér11 alg11r1s fa.tos
dé1
sim1)les da Topologia dos Espaços 11cli<liar1os. Estes são os pri11ci-
1)ais pré-requisitos para a leitura d ste livro.
Os originais deste traball10 f ran1 notas ele a11la ele l1rr1 cl.1rso
qt1e lecionei numa universidade e. trangcirc.1. A trê1dução 1)arç1 o
português foi feita por Henrique B o\vr1c Filho, lsre:1el Vai11scr1c:l1er,
.J air Koiller e Milton Kelrnanso11. A redé1ção fi11al foi revist<1 I)ü!'
Jorge Sotomayor, Ccsar Camé1cho e R.ubc11s Leão de A11drade. A
todas estas pessoas rcgistro rne11 e rclial agradecimento.
ELON LAGES LI"tv1A
,.
'"
Prefácio da nova edição
A origern deste livro re111011ta às i1otas 1nimcogr<-1faclas nas
q11ais se baseot1 o ct1rso que lccio11ci Sétirno Colóqt1io Brasileiro
110
de !\tlatemática, e1n Poços de Calda.5, 1969. No ar10 segui11te con1
1
peqt1cnos apcrfeiçoc:1n1e11tos do texto e a.créscirno ele <1lguns exercícios,
ele foi 1)11blicaclo i1el<.t Universiclacle ele BrasíliEt.
A edição ele 1970 esgotot1-se já faz vários <:1r1os. Diversos cole
gas e alt111os vez l)Or c)11tr<-1 111e st1gererr1 que l1<Í em ter
ir1tc~resse
7 1
dispor1ívcl u1n<:1 cxposiçã.o dos 1)ri11cí1)ios e fatos b<ísicos elo Cálct1lo
a. n variáveis que seja ao mesn10 ten11)0 co11cisa e ir1teligível. Bo11-
dosame11te inc dão a er1te11cler qt1e a presente ex1)osição c11rn1)re tais
rcq11isitos. A sugestão dccisivé.'t co11be ao meu colega P<:1ulo Sad, q11e
rne convencet1 a corrigir os erros de irnpressão e algt111s 011tros cles
c11idos, fazer cc)rreção das J)rovas e ulti1x1ar a i)resente l)lll)licação.
<-l
A ele cabe reconl1eci1ne11to especial.
11rr1
Agradeço o i11teressc dcssé:1s p essoa.s e ao R ogério Trir1el<-1cic,
que <.'ligitot1 e il11strol1 esta cclição.
R.io de .J ar1ciro 1 (ic j 111110 <lc 2002.
1
Conteúdo
Capítulo 1. Aplicações Diferenciáveis . . . . . ............... 1
1.1 Defir1ição de aplicação diferenciável .. ... . ............ 1
1. 2 Generalização .... .. .......... . ...................... 2
Capítulo 2. Exemplos ..... . ................... ..... ...... .. 6
Capítulo 3. Classes d e Diferenciabilidade .. . ............ 16
3 .1 De ri vaclas de orclen1 2 .............. . ............... 16
3.2 Derivaclé:lS ele ordcr11 s111)erior ....... ... ............. 19
3.3 Exe1n1)los . .. . ...................................... 20
3.4 Observação sobre c<-1minl1os scccior1almer1te
difcrenciá veis ... . . ... .......... . .. . .. ...... ..... . . .. 22
Capítulo 4. A r eg1·a da cadeia . ... . . ..... ..... . . ........ . 25
Capítulo 5. A d esigualdade do valor médio . ... . ..... . .. 34
Capítulo 6. Integrais ......... .' ............ . ...... . . . .. .. .. 44
6 .1 Intcgra ção de camir1l1os .. ..... . .. ... .... .. .. .. ..... 44
6.2 Relações entre clcrivadas e integrais ........... .. .... 52
6. 3 Integrais 1·cpctídas ..... .. . ....... ........ ........ .. 56
6.4 Integrais mtiltiplas ..................... . ........ . .. 58

Capítulo 7. Derivadas parciais . .................... .. . ... 63
Capítulo 8. Teorema de Schwarz ...... .... ........ ..... . 69
Capítulo 9. A fórmula de Taylor . .......... . ... ...... .... 73
9.1 Os teorernas de Taylor ............................. 73
~
9. 2 Máximos e mínirnos ................. ... .... ....... . . 79
Capítulo 10. Funções implícitas ............ ... ... .. ...... 84
O
1O . 1 Teorema de Fl111ção Ir1v ersa .. . . ................ . 84
10.2 A forma local <ias s11brr1ersões ..................... 91
1 O. 3 A forrna loc<-11 (las ........ ................ 96
irn.:~rsõc~s
10.4 O teorcn1a elo !)Osto ....... ..... . . . .. . . . ... .. . ..... 99
Capítulo 11. Mudanças de variáveis em integrais
múltiplas ............................... ... .. 107
Apêndice ............ . ............................. ........ 114
1
Aplicações diferenciáveis
1 Definição de aplicação diferenciável
e
Seja U ~'1 t1111 co11junto <1ber to. Dize1nos ql1e ttma aplica.ção
f : U IR11 é difer·e1iciável em um po11to E U qt1ando existe, na
--+ ~e;
1·.
vizinhar1ça de x, unia "l>oa a1)roxi1nação li11car" })ara
Nlaís precisan1cr1te, eleve existir t1r11a tr<:1nsformação lir1ear
T: JR tal q
J.Rrri --+ 7 ll()
i
. .,. (}1 ,)
011dc hl o.
=
11t11
1
lt-+0
Na expressão aci111a, h de\ er sc1· torr1aclo st1ficie11tcrr1e11te 11c
1
+ +
.f
queno para qt1c x ll E U e portanto (x h) te11l1a scr1tido. Con10
U é aberto, existe 17 > O tal cruc lf,.J < 77 i111p1ica x + li E U.
+
A igl1aldac.le +li) f (x) + T · fi r (h) é simplcsrnente a
J(~r; =
f
d efinição do "resto" r( li) E IR.11 A difere11ciabilidade de por1to
i10
•
x nos diz q11e este resto é t11n "i11fi11itési1110 ele orc.lc111 Slll)Crior a li",
isto é, lin1 )'1) = O. Isto sigr1ificét, é clé\ro, ql1e claclo e > (} , existe
r
o
h-...
1 i
8 > O tal que O< llil <E i1r11Jlica lr(Ji) I < Ejli l.
As vezes é conveniente escrever a co11dição par a a dife1·cncia-
2
APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS Cap. 1
bilidade de f: U 1Rr1 e1n x E U do seg11i11te rnodo:
--+
=o.
+ llil,
f(x +li) f(x) T ·li+ p(h) · oncie li111 p(Ji)
=
li-rO
Para tal, basta to1nar r1(li) r·(li)/ lil. Isto deixa p(li) sem se11tíclo
=
f
qt1ando li = O. 11as, qt1ando é diferenciável no po11to x, é r1att1ral
definir p(O) O. Então p(li) será uma ft1nção cor1tí11t1a de li 110
=
ponto li. O.
=
Se f: U 1R1 é difercr1ciávcl J)qnto x E U er1tão, para
--+ 110
i
cada vetor h E IR"i, t em-se evidenter11entc:
lhl
T · (tli) f(x + th) - J (x) ±r(tli) d _;_
T
· h = t = t lthl para to o t 0 rca1 .
1
Logo:
+
T · h lirr1 j'(:r; th) - f(x) .
=
t
t -rO
,
E única, portanto, c.1 t rar1sforrr1<1ção li11ear T: IRni IR1 qt1c dá
--+ ét
i
f
boa aproxima.ção para p erto ele :r. Ela é cl1a1nacl<:1 de derivada de
f f' ( f (
i10 ponto x, indica ela x) D x) .
e IJOr Oll
Abandonemos çigora 11otaçã.o r)rovisória T. A co11dição para
él
e
a clifercr1ciabilidade de t1rna aplicação f: U lRn (U 1Rr'1 a})erto)
--+
em um por1to x E U se escreve:
+
f(x + li) = f( x) J'(x) ·li+ r(li)~ com lírn r·(li)/lli = O.
h-40
,
f f
E claro que se é clifcrenciável no ponto x então é contír1ua
r1estc J)Onto.
2 Generalização
As definições acima (como t11do o rr1ais neste livro) se aplicarn, co111
p oucas exceções, ao caso mais geral de 11rna aplicação f: U F
----+
·e·
onde U E é urn conjunto aberto e E, F são espaços vetoriais