Análise Espectral em Espaços de Hilbert

302 Pages·025.254 MB·Portuguese

by  Manuel Milla Miranda

Análise Espectral em
Espaços de Hilbert
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Análise Espectral em
espaços de Hilbert
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M672a Miranda, Manuel Milla.
Análise Espectral em espaços de Hilbert. / Manuel
Milla Miranda, Marivaldo Pereira Matos (Colaborador). -
Campina Grande: EDUEPB, 2013.
307p.
ISBN: 978 -85 -7879 - 161 -2 - EDUEPB
ISBN: 978 -85 -7861 -238-2 - Livraria da Física
I. Teorema espectral. 2. Matemática. 3. Integral
Hilbertiniana. I. MATOS, Marivaldo Pereira. Título.
21. ed. CDD
A las clases oprimidas de
mi pueblo con la certeza
de que el futuro les
pertencerá.
Prefácio
Começaremos fazendo um resumo da evolução do que hoje se denomina
teorema espectral para um operador. Ele em sua forma embrionária aparece
no problema elementar de Geometria, da redução de uma cônica a seus eixos
principais. Vejamos este problema no caso de n dimensões. Seja E um
espaço vetorial sobre IR com produto interno(·,•) e {e e en} uma base
1, 2, .•• ,
de E. Se x E E, então x = I:::~ xiei, sendo os escalares xi as componentes
1
escalares do vetor x com relação à base fixada. Seja a(x, y) a forma bilinear
simétrica sobre Ex E:
Ln
a(x, y) = aijXiYj, aij = aji (1)
i,j=l
Então, o problema de redução da forma quadrática a(x, x) a seus eixos prin
cipais consiste em determinar uma base ortonormal {e;, e;, · · · , e~} de E e
escalares a a tal que a( x, x) se escreva como:
1, 2, ... , O'.n
n n
L
L
a(x, x) = aix/, x = xI-eI-
i i
i=l i= l
Seja A o operador simétrico de E definido pela matriz (aij), então de (1)
temos:
a(x, y) = (Ax, y) (2)
Sejam Ài, Ã , . .. , /' \nos va1 o res pro, pn.o s deA e e"1, e"2, . . . , en" seus respecti·v os
2
vetores próprios, isto é, Ae? = Àief. Estes vetores próprios formam uma base
ortonormal de E. De ( 2) resulta:
n n
a(x,x) = (Ax,x) = Í:Àíx72, X -- "L 'X1i 1 e1i1
i=l i= l
Assim, concluímos que o problema de redução da forma quadrática a(x,x)
a seus eixos principais é equivalente ao problema de determinar os valores
próprios e vetores próprios de A.
O conjunto {Ài, Ã , .•. , Àn} dos valores próprios de A denomina-se o es-
2
pectro de A.
Seja Pi a projeção de E sobre o subespaço gerado por et, i = 1, 2, ... , n.
Então:
i-/=j (3)
(4)
n
(5)
A determinação das projeções Pi satisfazendo (3)-(5) é o que se denomina o
teorema espectral para A.
Vejamos no caso de dimensão infinita. Mais precisamente, consideremos
um espaço de Hilbert H sobre C, de dimensão infinita, com produto interno
(·, •), e A um operador auto-adjunto não limitado de H, que para facilitar a
compreensão da exposição, o supor-nos-emos tendo a propriedade:
(Au,u) > a(u,u), V u E D(A) (6)
onde a é uma constante positiva e D(A) denota o domínio de A. Suponhamos
que o inverso de A é um operador compacto de H. iVIostraremos (Capítulo 3)
que A possui uma coleção enumerável de vetores próprios O < À1 < À2 < ... ,
com ,\11 (cid:157) oo, quando v (cid:157) oo, e seus respectivos vetores próprios (W 11 )11EN
formam um conjunto ortonormal completo de H, que verificam:
00
Au = ~ À (u, w11)w11, \/u E D(A)
11
11=1
Se P11u = (u, w11)w11, isto é, P11 é a projeção de H sobre o subespaço gerado
por w11, decorre então:
vf. µ (7)
00
(8)
00
Au = ~ ,\11P11u, Vu E D(A) (9)
11= 1
Tal como no caso de dimensão finita, a determinação das projeções Pv satis
fazendo (7)-(9) é o que se denomina teorema espectral para A.
Obtemos de (9)
L00
(Au, v) = Àv{([P1 + P2+ ... + P ]u, v)- ([P + P2 + ... + Pv-1]u, v)} (10)
11 1
ll=l
para todo u E D(A) e v E H, sendo Po = O. Construímos a seguinte família
(EÀ)>.ER de projeções ortogonais de H :
O se - oo < À < À1
P1 se À1 < À < À2
P1 + P2 se À2 < À < À3
E>..=
1:
Então, (10), escreve-se como:
(Au, v) = ,\d(E,u, v), Vu E D(A), v EH, (11)
onde o segundo membro é a integral de Stieltjes da função f(À) = À com
relação à função de variação limitada Puv(À) = (EÀu, v).
No caso geral, isto é, quando A é um operador auto-adjunto não limitado
de H, A, sem nenhuma outra restrição, também é válido um resultado do
tipo (11). Assim, mostraremos (Capítulo 5) que existe associado ao operador
A uma família (EÀ)>..ER de projeções ortogonais de H verificando:
E>,. < Eµ para À < µ, isto é, (E>..u, u) < (Eµu, u), Vu E H (12)
E>,.u (cid:157) O quando À (cid:157) -oo, E>..u (cid:157) u quando À (cid:157) oo, Vu E H (13)
1:
E>..u é contínua pela direita, Vu E H (14)
(Au, v) = ,\d(E,u, v), Vu E D(A), Vv EH (15)
onde Puv(À) = (E>-.u, v) é uma função de variação limitada. A determinação
da família espectral (E>-.heR de projeções ortogonais de H verificando (12)
(15) é denominada teorema espectral para A e a igualdade (15), decomposição
espectral de A ou também representação espectral de A.
Simbolicamente, utiliza-se a not1açã:o :
A= ÃdE;
para resumir (12)-(15). Aqui termina nosso comentário sobre a evolução
histórica do teorema espectral para um operador. Podemos generalizar este
teorema fazendo uso do conceito de integral hilbertiana, mas não explicita
remos esta generalização pois foge ao caráter introdutório destas notas.
A seguir, vejamos uma aplicação do resultado exposto. De posse do
teorema espectral para A, podemos definir (Capítulo 5) o operador J(A)
para f (À), À E :IR, uma função numérica pertencente a uma certa classe.
1:
Este operador é definido da seguinte forma:
(f(A)u, v) = J(>.)d(E>-.u, v), Vu E D(f(A)), Vv EH.
Assim, para A satisfazendo a restrição (6), podemos definir ft(A) = costA21 ,
onde ft(>.) = cos(t>.½) para>. > O e ft(>.) = O para>. < O. Analogamente,
definimos gt(A) = sentA½. Mostra-se (ver Browder [4]) que a solução do
problema de evolução:
u"(t) + Au(t) = O, t > O ' __ ddut)
(u
u(O) = u u'(O) = ui,
0,
é a função vetorial u : [O, oo) --+ H dada por
(16)
Observe que a solução u(t) do problema em equações diferenciais or
dinárias, isto é, Au = au, operador multiplicação por a,
u"(t) + au(t) = O, t > O (a constante positiva)
u(O) = u u'(O) = ui,
0,
é a função escalar:
= 1 + 1 1
u(t) u cos a2t u1a-2sena2t.
0
Daremos dois exemplos típicos de operador A nas condições descritas.
r
Seja H = L2(0), O um aberto do Rn. Se O é limitado com fronteira
2:Z:
regular e A é o operador -~ = - 1 ;:2, x = (x1, x2, ... , Xn) E Rn, com
r, i = -~ +
vetores u E D(A) anulando-se em obtém-se (7)-(9). Se A I e
=
O Rn, obtém-se (12)-(15). Observe que neste último caso, A não possui
valor próprio. O problema (* ) no primeiro caso tem a forma:
82u(x, t)
at
- 6u(x, t) = O, X E 0 , t > 0
2
u(x, t) = O, X E r , t > 0
au
U( X, 0) = Uo (X), at (X, 0) = U1 (X), X E S1
e a solução vem dada por
OO 1 l
u(x, t) = L[(uo, wv)cos>.3t + (u1, wv)>.:2 sen>.½t]wv(x)
v=l
(ver Medeiros-Milla Miranda [15] e Medeiros-Andrade [13]), a qual é um caso
particular de (16). No segundo caso, o problema ( *) escreve-se como
2
8 ua(t X, t) - uA. U ( X, t ) + U ( X, t ) = Ü, X E m~n , t > 0
2
u(x, O) = uo(x ), Ut(x, O) = ui (x ), x E IRn.
As aplicações do teorema espectral para um operador são diversas, como
por exemplo nos problemas inversos e na mecânica quântica.
Concluíremos nossa explicação sobre as aplicações dizendo que o estudo
da decomposição espectral de um operador é fundamental para a análise dos
problemas em equações diferenciais, ordinárias ou parciais.
Estas notas têm como objetivo principal a obtenção do teorema espec
tral, para operadores auto-adjuntos não limitados em espaços de Hilbert, e
a construção do respectivo cálculo funcional. A parte das aplicações destes
resultados não são oferecidas e ficamos em débito com o leitor, uma vez que é
possível consultar as referências mencionadas anteriormente, bem como Lions
[9] e Medeiros-Milla Miranda [18], ambas para problemas não lineares.
Três métodos são usualmente utilizados para obtenção da decomposição
espectral de um operador. Estes são: de Stone [22], que faz uso das inte
grais singulares (ver também Huet [6]); de Von Neumann [20], que utiliza
a transformada de Cayley (ver também Riesz-Nagy [21]); e o de Riesz [21].
Seguiremos o método de Riesz por condiderá-lo elegante, geral e de fácil com
preensão. Neste método, ele segue as mesmas ideias de sua construção da
integral de Lebesgue.
No Capítulo !,apresentamos os elementos básicos que serão utilizados
posteriormente. No Capítulo 2, demonstramos o teorema espectral para ope
radores compactos simétricos, estudamos as equações integrais e resolvemos o
problema de Sturm-Liouville. No Capítulo 3, determinamos operadores auto
adjuntos não limitados segundo o método de J.L. Lions [8] e aplicamos estes
resultados na resolução de problemas de contorno. Também neste capítulo,
de posse do teorema espectral do capítulo anterior, obtemos a decomposição
espectral de operadores auto-adjuntos não limitados com espectro discreto.
Igualmente, construímos o cálculo funcional para estes operadores e damos
uma formulação variacional para a obtenção de seus valores próprios. No
Capítulo 4, demonstramos o teorema espectral para operadores simétricos
limitados. No Capítulo 5, usando os resultados do Capítulo 4, estudamos
o teorema espectral para operadores auto-adjuntos não limitados. Também
construímos o cálculo funcional para estes operadores e analisamos seu espec
tro e resolvente. Dois apêndices completam estas notas, um sobre o teorema
espectral para operadores unitários e o outro sobre este teorema para ope
radores normais. Estes foram redatados pelos colegas Osmundo Alves de
Lima e Aldo Bezerra Maciel, aos quais agradecemos. Observemos que vários
resultados deste texto foram extraídos de Medeiros [12].
Para a leitura destas notas o leitor do conhecimento dos principais teore
mas de Análise Funcional. Nos exemplos, utilizamos os resultados básicos de