ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS COM ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE ...

121 Pages·2008·1.82 MB·English

by  Mario Rui

ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS COM
ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO

Mário Rui Tiago Arruda

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil

Júri

Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira
Orientador: Doutor Luís Manuel Soares dos Santos Castro
Vogais: Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Dezembro de 2008

RESUMO:

Neste trabalho é apresentado um modelo de elementos finitos Híbrido-Misto de
Tensão (HMT) para a análise dinâmica de pórticos planos, placas e lajes. Este modelo
foi implementado utilizando monómios e polinómios ortonormais de Legendre como
funções de aproximação para os campos de esforços e de deslocamentos. A utilização
deste tipo de funções permite o cálculo dos operadores matriciais do sistema
governativo através da utilização de expressões analíticas e possibilita a adopção de
refinamentos p-hierárquicos muito eficazes.
Demonstra-se que ainda que apesar do sistema governativo inicial dos HMT não
ser idêntico aos dos Elementos Finitos (EF) convencionais, é possível chegar a um
sistema governativo matematicamente semelhante, mas com significado fisico diferente.
Desta forma, podem ser aplicadas as técnicas usais para o cálculo dinâmico de
estruturas com os modelos HMT.
Assumindo um comportamento física e geometricamente linear, a solução do
problema pode ser determinada através da realização de uma análise dinâmica com
recurso à técnica da sobreposição modal, ou com uma análise com integração ao longo
do tempo. Para validar o modelo apresentado e para demonstrar as suas potencialidades,
são apresentados e discutidos alguns exemplos numéricos. Os resultados obtidos são
comparados com soluções analíticas e com soluções obtidas com recurso a outras
técnicas numéricas de referência usando EF convencionais.

PALAVRAS-CHAVE

Elementos Finitos

Modelos Híbridos Mistos de Tensão

Análise Dinâmica

Pórticos Planos, Placas e Lajes Espessas

Polinómios de Legendre
i
ABSTRACT:

This work presents a hybrid mixed stress finite element model for the dynamic
analysis of beams, plane elasticity and Reissner-Mindlin plate bending problems.
This model is based on the use of complete sets of orthonormal Legendre
polynomials as approximation functions. The use of this type of functions allows the
development of analytical closed form solutions for the computation of all integrals
involved in the definition of the different structural operators. It enables also the
implementation of highly efficient p- refinement procedures.
Assuming a physically and geometrically linear behaviour, the solution of the
problem can be determined by performing a dynamic analysis with modal superposition
technique or by implementation a time-step integration procedure, such as the Newmark
method.
To validate the model and to illustrate its potential, several numerical tests are
presented and discussed. The results obtained with the hybrid-mixed model are
compared with analytical solutions and with other numerical solutions computed with
the classical displacement finite element formulation.

KEYWORDS

Finite Elements

Hybrid Mixed Stress Models

Dynamic Analysis

Beams, Plane Elasticity and Reissner-Mindlin Plate Bending problems

Legendre Polynomials

ii
AGRADECIMENTOS

Esta dissertação foi desenvolvida no âmbito do programa de investigação do
Instituto de Engenharia de Estruturas Território e Construção (ICIST), financiado pela
Fundação da Ciência e Tecnologia (FCT).

Como meu orientador, agradeço ao Professor Luís de Castro pelas horas gastas,
compreensão e paciência que teve comigo. Horas essas que me deram a conhecer um
grande amigo que nunca irei esquecer.

Como meu professor da Licenciatura, agradeço novamente ao Professor Luís de
Castro pela maneira como me cativou a mim e a todos os meus colegas no mundo de
Análise de Estruturas. O seu carinho, qualidades humanas e dedicação pelos alunos é
algo que ainda é falado na reunião do curso de Engenharia Civil 2005.

Como meus professores do Mestrado:
- Agradeço ao Professor Moitinho de Almeida, pela maneira como me ensinou a
ver as estruturas dum modo “diferente” e a ajuda tanto na introdução do mundo da
programação como na resolução de alguns problemas práticos.

- Agradeço ao Professor Borges Pires, pela introdução ao mundo teórico dos
Elementos Finitos e por toda a sua disponibilidade no laboratório de Mecânica
Estrutural.

- Agradeço ao Professor Luís Guerreiro, por todo o empenho que teve em
ensinar os fundamentos de dinâmica de estruturas, que foram inspiração para elaboração
deste trabalho e por todas as ocasiões em que o professor se disponibilizou para me
esclarecer algumas questões relativas ao segredo da dinâmica de estruturas.

- Ao Professor Carlos Tiago pela sua ajuda em questões relacionadas com a
mecânica estrutural e elementos finitos e pela sua disponibilidade em facultar-me e
indicar-me bibliografia de mérito.

iii
- Ao Professor Eduardo Pereira por toda ajuda dada no mundo da matemática
dos Polinómios de Legendre.

Agradeço ainda com muito carinho:
- À Teresa Malheiro, apesar de sermos designers de diferentes tipos de Obras de
Arte, conseguimos partilhar inúmeros momentos de convívio ☺.

- A todos os meus colegas do IST, em particular ao Carlos Bhatt, Miguel Lopes,
Miguel Branco, Carlos Gomes, Daniel Luís, Pedro Lente, Pedro Bispo e Marcos
Esteves em especial pela compreensão e paciência que tiveram comigo.

- Aos meus colegas do Laboratório de Mecânica Computacional, quero
agradecer ao Filipe Aparício, Vera Aparício, Pedro Vicente e Luís Mendes por serem
óptimos colegas de gabinete, um grupo que sempre conseguiu rir-se de si próprio ☺.

Aos meus pais:
- Ao Meu Pai pela compreensão e aceitação que teve pela minha vida académica.
- À Minha Mãe pela compreensão e pelas horas em que não ajudava na casa para
me dedicar à tese.

- Ao meu puto de Irmão Pedro pelas pausas pouco tranquilas que tínhamos à
mesa a discutir política, davam sempre para refrescar um pouco a mente do trabalho da
tese.

E a todos os professores do Ramo de Engenharia de Estruturas que me ajudaram
a moldar no Engenheiro Civil que sou hoje !!!
iv
NOTAÇÃO

Letras Latinas Minúsculas

b – Forças de massa.
e – Deformações generalizadas.
f – Matriz que reúne os parâmetros elásticos - formato de flexibilidade.
h – espessura da laje.
m – Momento flector de laje ao longo do x.
x
m – Momento flector de laje ao longo do y.
y
m – Momento torsor de laje ao longo de x e y .
xy
m – Matriz de massa do elemento infinitesimal.
ρ
n – Normal exterior unitária à fronteira.
p – Frequência própria do modo de vibração n.
n
q – Pesos da aproximação dos deslocamentos generalizados no domínio.
V
q – Pesos da aproximação dos deslocamentos generalizados na fronteira.
Γ
s – Esforços independentes no domínio.
t – Forças na fronteira.
t - Tempo.
t - Tempo no incremento i.
i
u – Campo de deslocamentos do elemento.
u – Deslocamento longitudinal de barra.
u – Deslocamento de fronteira generalizado.
Γ
u– Deslocamento longitudinal nodal de barra.
u – Operador dos deslocamentos de fronteira.
Γ
u – Campos de deslocamentos no domínio do elemento.
V
u – Campos de deslocamentos na fronteira do elemento.
Γ
v – Esforço transverso de laje ao longo de x.
x
v – Esforço transverso de laje ao longo de y.
y
w – Frequência de excitação harmónica.
w – Deslocamento transversal de barra.
w– Deslocamento transversal de fronteira.
xi – Monómio de grau i.
z – Campo de deslocamentos principais devido ao modo de vibração n.
Vn

Letras Latinas Maiúsculas

A – Área da secção.
A – Área de corte da secção.
c
A – Operador de compatibilidade no domínio.
V
A – Operador de compatibilidade na fronteira.
Γ
C – Operador de Amortecimento.
D – Operador diferencial de equilíbrio.
D* – Operador diferencia de compatibilidade.
E – Módulo de elasticidade.
E – Operador de flexibilidade linear.
e
F – Operador de flexibilidade generalizado.
F – Forças nodais de barra.
i
I – Inércia geométrica da secção.
v
M – Operador de massa.
N – Matriz das normais exteriores à fronteira.
Q – Forças de massa generalizadas.
V
Q – Forças de fronteira generalizadas.
Γ
P(x) – Polinómio de Legendre de grau i.
i
S – Função aproximação dos campos de esforços no domínio.
T – Matriz dos cosenos directores.
U – Funções de aproximação dos campos de deslocamentos no domínio do elemento.
V
U – Funções de aproximação dos campos de deslocamentos na fronteira do elemento.
Γ
V – Domínio do elemento.
X – Pesos das aproximações dos campos de esforços no domínio.

Letras Gregas Minúsculas

α – Ângulo de rotação da barra.
γ – Distorção.
ε – Deformação.
ζ – Coeficiente de proporcionalidade de amortecimento.
θ – Rotação.
λ – Coeficiente de normalização dos polinómios de Legendre.
ξ – Coeficiente de amortecimento.
ρ – Peso volúmico.
ς – Referencial de fronteira do elemento.
σ – Tensão.
υ – Coeficiente de poisson.
χ – Curvatura.

Letras Gregas Maiúsculas

Γ – Fronteira do elemento.
Γ – Fronteira estática do elemento.
σ
Γ – Fronteira cinemática do elemento.
u
Δt – Incremento de tempo em t.
i i
Φ – Coeficiente de Corte.
Φ – Vector próprio normalizado do modo de vibração n.
n

Abreviaturas

EF – Elementos Finitos.
HMT – Híbridos Mistos de Tensão.

vi
INDICE
Página
CAPÍTULO 1 - Introdução 1
1.1 Considerações iniciais 1
1.2 Objectivos 4
1.3 Organização do Trabalho 4
CAPÍTULO 2 - Formulação do Problema 5
2.1 Relações Fundamentais em Problemas de Elasticidade Plana 5
2.2 Placas (Estados Planos de Tensão e de Deformação) 5
2.3 Lajes de Reissner-Mindlin (Lajes Espessas) 8
2.4 Pórticos Planos 9
CAPÍTULO 3 - Modelos de Elementos Finitos 13
3.1 Grandezas a Aproximar 13
3.2 Sistema Governativo 14
CAPÍTULO 4 - Análise Dinâmica 19
4.1 Introdução 19
4.2 Análise Modal 19
4.3 Análise com Sobreposição Modal 20
4.4 Análise com Integração ao longo do Tempo 22
4.5 Amortecimento de Rayleigh 24
CAPÍTULO 5 - Exemplos 27
5.1 Recuperação da Matriz de Rigidez no Elemento Viga 28
5.2 Frequências e Modos de Vibração dum Pórtico 35
5.3 Análise do Movimento Forçado de um Pórtico Plano 41
5.4 Frequências e Modos de Vibração duma Laje 42
5.5 Locking no HMT 48
5.6 Análise do Movimento Forçado de uma Laje 49
5.7 Frequências e Modos de Vibração duma Placa 51
5.8 Análise no com Integração ao longo do Tempo numa Laje 53
5.9 Análise do Efeito de uma Carga Rolante numa Laje 54
5.10 Análise de um Movimento Forçado de uma Placa 57
CAPÍTULO 6 - Conclusões 59

vii
INDICE
Página
ANEXO A - Sistema Governativo dos Híbridos-Mistos de Tensão 61
A.1 Pórticos Planos 61
A.2 Placas 71
A.3 Lajes de Reissner-Mindlin 83
ANEXO B - Polinómios de Legendre 95
B.1 Considerações Iniciais 95
B.2 Propriedades dos Polinómios de Legendre 95
B.3 Fórmulas Geradoras de Polinómios de Legendre 96
B.4 Expressões para as Integrações Analíticas 97
ANEXO C - Fórmulas e Teoremas Matemáticos 101
C.1 Divergência dum Campo Vectorial 101
C.2 Teorema da Divergência 101
C.3 Mudança de Referencial 101
BIBLIOGRAFIA 103

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