Análise de Fourier e equações diferenciais parciais

146 Pages·1977·8.41 MB·Portuguese

by  Djairo Guedes de Figueiredo

FICHA CATALOGRAFICA

(Preparada pelo Centro de Catalogagéo-na-fonte,
C4amara Brasileira do Livro, SP)

Figueiredo, Djairo Guedes de, 1934—
Andlise de Fourier e equagdes diferenciais parciais. Rio de
Janeiro, Instituto de Matematica Pura e Aplicada, CNPq, 1977.
(Projeto Euclides)

F489a

Bibliografia.
1. Andlise de Fourier 2. Equagdes diferenciais parciais
|. Titulo. I. Série.

tals me

ae { "47. CDD—517.355

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18. 515.353

77-1420

Indices para catalogo sistematico:

1. Andlise de Fourier : Matemética 517.355 (17.) 515.2433 (18.)
2. Equacées diferenciais parciais : Matemdtica 517. 383 (17.) 515.353 (18.)

djairo guedes de

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analise de fourier e
€quacoes diferenciais
parciais

ANALISE DE FOURIER E EQUACOES DIFERENCIAIS PA
|

TCT

SBIIFUSP 305M81020316 |
Copyright © 1977, by Djairo Guedes de Figueiredo
Direitos reservados, 1977, por Conselho Nacional

de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico, CNPq,
Av. W—3 Norte, Brasilia, DF

Impresso no Brasil/Printed in Brazil
Capa: Casa do Desenho — Gian Carli
Projeto Euclides

Comissao Editorial: Elon Lages Lima (Coordenador), Chaim Samuel Honig,
Djairo Guedes de Figueiredo, Heitor Gurgulino de Souza,
Jacob Palis Junior, Manfredo Perdigéo do Carmo,
Pedro Jesus Fernandez.

Titulos j4 publicados

. Curso de Anilise, vol. 1, Elon Lages Lima

. Medida e Integracao, Pedro Jesus Fernandez

. Aplicacdes da Topologia a Andlise, Chaim Samuel Honig

. Espacos métricos, Elon Lages Lima

. Andlise de Fourier e equagées diferenciais parciais, Djairo Guedes de Figueiredo

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Impresso e distribuido por:
Editora Edgard Blicher, Ltda.
01000 Caixa Postal 5450
Sao, SP, Brasil

A dona Mira, minha mie,
Sorriso e bondade,
Em seus setenta anos.
CONTEUDO
DREFACIO -ee-ceeeceecceceeesssy TT Ix
INTRODUGAO --eeeecceecececegsse es xill
CAPITULO 1 POR QUE FSTUDAR SERIES DE FOURIER? .----°°° 1
1.1 Condugao so calor numa barra... 1
1.2 Formulagao matematica do problema da condugio do calor 5
CAPITULO 2 SERIES DE FOURIER... eee 12
31 Fungbes periodioas 0-2 12
2.2. Convergéncia uniforme oes 14
2.3 Coeficientes deFourier ..---oc er 16
23 Serie de Fourier .---ecce 18
2.5 Séries de Fourier de fungGes pares € {mpares sees 23
2.6 Calculo de algumas séries de Fourier... - +00 24
3.7 Integragao de séries de Fourier... 31
2.8 Estimativas dos coeficientes de Fourier... ere 35
2.9 Forma complexa da série de Fourier. --- 000 37
2.10 Identidade fe Parseval .-- eee 38
se Notahistorica. ee eT 40
pecniciog eee ceeeenene eens eT 42
CAPITULO 3 CONVERGENCIA DAS SERIES DE FOURIER -«--- °° 48
3.1 Classes das fungdes consideradas ..-- 48
3.2 Convergéncia pontual da série de Fourier .--- 00 53
3.3 Lema de Riemann-Lebesgue --- crt 56
3.4 Convergéncia pontual da série de Fourier (continuagao) Lene 58
3.5 Desigualdade ee 60
3.6 Desigualdades de Cauchy-Schwarz ¢ de Minkowski... --- 70°" 63
3.7 Convergéncia uniforme da série de Fourier... 02 cc 68
3.8 Nicleos de Dirac oeeee ee eee 72
3.9 Teorema da aproxima¢ao de Weierstrass... eee 77
3.10 O teorema de Feit. 80
3.11 Identidade de parseval ove ce ec cesses 84
3.12 Fungoes de yaria¢io jimitada .-- eee 88
3.13 Fendémeno de Gibbs eee 93
3.14 Problema isoperimétrico ----- 0 96
ae Nota histérica vee 99
CAPITULO 4 EQUACAO DOCALOR ................00005. 102

4.1. Conducgao do calor: barra com extremidades mantidas a 0 °C 102
4.2 Condugado do calor: barra sujeita a outras condicdes laterais 108

4.3 Condigdes de fronteira nfo-homogéneas ................. 112
4.4 Equaciao do calor nio-homogénea ...................0. 114
4.5 Condugao do calor em uma barra nio-homogénea .......... 118
4.6 Unicidade de solucfo do PVIF (1)..................0.0. 120
4.7 Variagdes da temperatura do solo ...........2.2....05. 124
Exerctcios . 0.6 ene eens 127
CAPITULO 5 EQUACAO DAS ONDAS ...................4. 130
5.1 Equagao da corda vibrante... 2.2... ee ee eee 130
5.2 Resoluc&o por séries de Fourier ..................00.. 134
5.3. Energia da corda vibrante ..............-.--.-.-.--- 139
5.4 HarmGnicos, freqiiéncia, amplitude .................... 142
5.5 Corda dedilhada .. 1... ee eee 144
5.6 VibragSes forcadas. Ressonancia .................2206- 146
5.7 Cordainfinita 2.0.20... eee 149
5.8 Corda semi-infinita ...... 0... eee ee eee 160
5.9 Linhas de transmissio .... 2.2... ee ee eee 164
5.10 Vibragdes longitudinais de uma barra eldstica ............. 168
5.11 SolugGes generalizadas 4 Sobolev................. eeeee 172
FXEPCICIOS 0 te eee eee eens 182
CAPITULO 6 TRANSFORMADA DE FOURIER E APLICACOES .... 191
6.1 A guisa de motivagio . 6... ee eee 191
6.2 Definigéo da transformada de Fourier .................. 196
6.3 Espago _—e transformada de Fourierem www. s . e ee 200
6.4 Produto de convolugio .... 0.2.2.0... 00000. eee eee 207
6.5 Teorema de Plancherel .......... 0.0... 0.200. eee eeee 211
6.6 Formula do somatdério de Poisson e equagéo do calor ....... 213
6.7. Problema de Cauchy para a equagao do calor ............. 216
6.8 Conduc&o do calor na barra semi-infinita ................ 220
Apéndice Fungées representadas por integrais.................. 222
Exerctcios 00 eee eens 238
CAPITULO 7 EQUACAO DE LAPLACE...........-0---00005 245
7.1. Problema de Dirichlet .. 2.0.2. .0..0..0.. 0... ...0..20005- 245
7.2 Problema de Dirichlet no retangulo .................... 249
7.3 Problema de Dirichlet no disco... 2.2... . cee eee eee 251
7.4 Problema de Dirichlet para a equagao de Laplace num semiplano 257
Exerctcios 200 eee eens 259

Respostas e sugestdes

Referéncias

PREFACIO

O objetivo central do presente texto € a resolucdo de algumas equagdes
diferenciais parciais que aparecem em problemas da Fisica Matematica.
Para isso, teremos de desenvolver certos métodos, sendo que o primeiro
deles é o Método de Fourier, cujo ingrediente essencial € a série de Fourier.
Um outro método introduzido utiliza a transformada de Fourier. Por-
tanto, sendo a série e a transformada de Fourier as duas ferramentas
basicas usadas, dedicamos alguns capitulos a chamada Analise de Fourier.

O espirito que nos guiou na ordenagdo da matéria do texto foi o
de desenvolver o instrumental matematico a proporgdéo em que ele se
fazia necessario. Assim, decidimos iniciar o presente trabalho apresen-
tando um problema da Fisica Matematica. A seguir, durante a resolugdo
do mesmo, fomos motivando a introducgdo de certos conceitos e justi-
ficando certos teoremas. Parece-nos que esse ponto de vista é particular-
mente instrutivo para o estudante. Um tal procedimento responde, por
si mesmo, aquela preocupagdo do aluno sobre a utilidade das teorias
matematicas que estuda, mostrando como e por que elas foram criadas.
Procuramos também mostrar a forga dos métodos introduzidos, apli-
cando-os a resolugdéo de varios outros problemas da Fisica Matematica.

Tentamos fazer um texto que fosse utilizavel pelos alunos de graduacéo
dos cursos de Engenharia, Fisica e Matematica, bem como pelos alunos
do curso de Mestrado em Matematica. Visando os primeiros, pusemos
como pré-requisito apenas o Calculo Diferencial e Integral de uma e
varias variaveis. Entretanto algum material requerendo maior conhe-
cimento matematico foi colocado em seccdes e observacées isoladas ao
longo do texto, de modo a permitir que o leitor as omita caso desejar.
Fizemos isso visando a um duplo objetivo: despertar a curiosidade do
leitor iniciante e mostrar ao leitor mais avangado a relevancia de algumas
teorias matematicas que ele estudou.

A necessidade de um texto com o enfoque escolhido se deve, ao nosso
ver, a uma série de problemas atuais no ensino de Matematica, os quais
estéo intimamente interligados, como passamos a expor.

a) Nos cursos de Engenharia e de Fisica, as disciplinas do ciclo basico
ministradas pelos Departamentos de Matematica contém poucas apli-
cag6es, € seus programas visam pouco ao uso futuro no ciclo profissional.
Neste, a Matematica € utilizada de “modo diferente” daquele que o aluno
viu no ciclo basico! Em algumas disciplinas do ciclo profissional, a Mate-
matica necessaria € desenvolvida ad hoc! Parecem faltar, no ciclo basico,
algumas disciplinas de conexéo, como sejam Métodos Matematicos da
Fisica ou Equacdes Diferenciais Parciais, ou, até mesmo, Equagées Dife-
renciais Ordinarias, apresentadas com uma forte dosagem de aplicacdes
a Fisica e 4 Engenharia. Onde anda aquela cadeira, dos antigos cursos
de Engenharia, que era tao Util nesse espirito de conexdo, a qual era mi-
nistrada pelos departamentos de Matematica, e que trazia aquele nome
tdo pitoresco: “Mecanica racional precedida de elementos de calculo
vetorial”?

b) Nos cursos de graduagéo em Matematica, bacharelado e licen-
ciatura, quase todas as disciplinas séo oferecidas pelo Departamento de
Matematica, via de regra, com um enfoque pouco aplicado. A Fisica, a
Quimica e a Biologia comparecem na quantidade minima para atender
as exigéncias da legislagao federal. Existe em alguns lugares a idéia bizarra
de que essas matérias sio um trambolho que deve ser logo superado para
que o aluno possa logo se dedicar as disciplinas matematicas, pois sado
estas que realmente importam. Sera? Que vdo fazer esses alunos apds
se tornarem bacharéis ou licenciados? Talvez a maior parte deles va ensinar
pessoas para as quais a Matematica € apenas uma ferramenta. Nao seria
bom que esses professores tivessem aprendido um pouco da linguagem
das aplicagdes para melhor motivar seus alunos?

c) O aluno de Mestrado em Matematica é o bacharel ou o licenciado
formado no espirito da letra (b) acima. E, via de regra, pessoa avessa as
aplicacdes, néo porque as conhega e as julgue desagradaveis, mas sim por-
que nao as conhece e as teme. A maioria dos programas de Mestrado
em Matematica nao procura sanar esse problema. Talvez se julgue que
seja demasiado tarde. Desse modo, os cursos de Mestrado se limitam a
melhorar o nivel de conhecimento estritamente matematico dos alunos
egressos de nossas graduacgdes. Mestres formados nesse esquema pouco
poderao fazer no sentido de minorar os problemas das letras (a) e (b)
acima. Nao cremos que seja dificil fazer algo, nesse nivel de Mestrado,
para atacar os problemas que expusemos anteriormente: A introducdo
de certas disciplinas, como, por exemplo, Equagdes Diferenciais Parciais,
no espirito do presente texto, seria-um passo na diregdéo de futuros pro-
gramas mais ambiciosos.

Meus agradecimentos a todos que leram o manuscrito ou partes
do mesmo e nos deram sugestdes e apontaram incorregdes; em particular,
aos professores David Goldstein Costa, José Valdo Gongalves, Nelson
Ortegosa da Cunha, Pedro Nowosad e Wellington Santiago.

Brasilia, novembro de 1977

Djairo Guedes de Figueiredo
“Returning to the question of the Conduction of Heat, we have first
of all to say that the theory of it was discovered by Fourier, and given to
the world through the French Academy in his Théorie analytique de la
chaleur, with solutions of problems naturally arising from it, of which it
is difficult to say whether their uniquely original quality, or their trans-
cendently intense mathematical interest, or their perennially important
instructiveness for physical science, is most to be praised.” (Kelvin, Ency-
clopaedia Britannica, 1878.)

“Par Pimportance de ses découvertes, par linfluence décisive qu'il
a exercé sur le développement de la Physique mathématique, Fourier
méritait Phommage qui est rendu aujourd’hui a ses travaux et a sa mé-
moire. Son nom figurera dignement a cété des noms, ilustres entre tous,
dont la liste, destinée a s’accroitre avec les années, constitue dés a présent
un véritable titre d’honneur pour notre pays. La Théorie analytique de
la Chaleur..., que l'on peut placer sans injustice 4 cdté des écrits scien-
tifiques les plus parfaits de tous les temps, se recommande par une expo-
sition intéressante et originale des principes fondamentaux.” (Darboux,
Oeuvres de Fourier, 1, 1888.)

“La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples
de l'application de l’analyse 4 la physique; en partant d’hypothéses simples
qui ne sont autre chose des faits experimentaux généralisés, Fourier en
a déduit une série de conséquences dont l'ensemble constitue une théorie
complete et cohérente. Les résultats qu’il a obtenu sont certes intéressants
par eux-mémes, mais ce qui l’est plus encore est la méthode qu'il a employé
pour y parvenir et qui servira toujours de modéle a tous ceux qui voudront
cultiver une branche quelconque de la physique mathématique. J’ajouterai
que le livre de Fourier a une importance capitale dans Phistoire des mathé-
matiques et que l’analyse pure lui doit peut-étre plus encore que l’analyse
appliquée.” (Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur,
1891.)

INTRODUCAO

() cstudo das Equagées Diferenciais comecga com a criagao do Calculo
DWlerencial ¢ Integral no século XVH, e é guiado, inicialmente, por suas
aplicagoes a mecanica das particulas. Nessas aplicagées, o uso de leis
fritais, Como as trés de Newton da Dinamica e a lei da gravitacdo uni-
vernal, possibilita obter equagdes diferenciais ordinarias que representam

un feromenos em estudo. O sucesso em tratar esses problemas utilizando
uw Cfileulo Diferencial foi um enorme estimulo aos fisicos e matematicos
do xéculo XVIII em procurar modelos para problemas da Mecanica do
Continuo ¢ de outros ramos da Fisica (Termologia, por exemplo) que

expressem os fendmenos em termos de Equagées Diferenciais. Entretanto
HA equgees resultantes, sendo equagdes diferenciais parciais, trazem scrias
Wificuldides matematicas em sua resolugdo. As trés equagdes basicas que
JA Hputecem nos estudos dos matematicos do século XVIII sdo as seguintes:
tw problema das vibragGes transversais de uma corda, a posicdo u(x, t)
de win ponto x da corda, num instante t, deve satisfazer 4 equacdo das ondas

uy = C UL, 5 ‘

no problema da condugéo do calor em uma barra, a temperatura u(x, t)
do ponta x da barra, no instante t, deve satisfazer 4 equacdo do calor

u, = ku,,.

No problema do equilibrio de uma membrana sob a aco de certas forcas,
obieén-se que uma certa fungdo u(x, y) deve satisfazer 4 equacdo de Laplace

om uma regido do plano x, y.

ura cesses problemas, a obtengdo de solucgées satisfazendo, além da
equagdo diferencial, a certas condicgdes iniciais ou condicdes de fronteira
¢ uma tarefa dificil, E esse é o objetivo central deste trabalho.

© método de resolugdo desses problemas é conhecido como o método
de Fourier, o qual consiste em duas etapas. Na primeira, utiliza-se sepa-
mio de variaveis para obter problemas de autovalor, para equagdes
diferenciais ordinarias, estreitamente relacionados com as equagées dife-
ICNCKUS parciais em estudo, Nessa etapa, obtém-se uma familia de solugdes
da cquagiio diferencial parcial que satisfazem a uma parte das condigdes
de fronteira. A idéia basica, a seguir, é utilizd-las para compor a solucdo
do problema como uma série cujos termos sio produtos dessas solucdes
por coeficientes adequadamente escolhidos; essa é a segunda etapa, que
requer a chamada Anéalise de Fourier.

No Capitulo 1, aplica-se o método de Fourier para o tratamento
detalhado do problema da condugdo do calor em uma barra; visamos,
desse modo, motivar o estudo das séries de Fourier através de um exemplo
de bastante significado histérico. De fato, esse é precisamente um dos
problemas estudados por Fourier em seu tratado de 1822, Théorie ana-
lytique de la chaleur (Teoria analitica do calor). E nesse trabalho que o
problema de representagaéo de uma fungdo por uma série trigonométrica
é colocado em termos mais claros, concluindo uma era de estudo desse
problema, marcada por diividas e controvérsias mantidas entre eminentes
matematicos como d’Alembert, Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange. Re-
conhega-se que o trabalho de Fourier carece de rigor, o que é absoluta-
mente compreensivel porque, na época, a Andlise ndo estava ainda em
bases solidas. Foram precisamente as dividas e imprecisdes em problemas
como os da convergéncia da série de Fourier, cuja relevancia era indis-
cutivel, que motivaram matematicos como Cauchy, Bolzano, Dirichlet e
outros, a procederem a uma formalizacio mais cuidadosa da Analise.

Os Capitulos 2 e 3 contém uma teoria das séries de Fourier, e a sepa-
ragao em dois capitulos visa a atender diferentes grupos de leitores. Aqueles
que tém menor interesse pelas questdes matematicas e visam mais as
aplicagdes das séries de Fourier poderdo omitir 0 Capitulo 3, ou, pelo
menos, ler apenas os resultados, deixando as demonstracdes de lado.

Com o instrumental adquirido nos Capitulos 2 e 3, tratam-se, no
Capitulo 4, varios problemas de conducdo do calor em uma barra.

O Capitulo 5 estuda os varios problemas para a equacgdo unidimen-
sional das ondas. Além de utilizarmos 0 método de Fourier, tratamos
alguns problemas usando o fato de que a equacdo das ondas possui uma
solugdo geral, o que ja foi observado por d’Alembert. Esse capitulo contém,
na Secgdo 5.11, um estudo detalhado da existéncia de solugdo generalizada
para a equacdo das ondas; os leitores que nao estejam familiarizados
com a teoria da integral de Lebesgue podem omitir essa secedo, onde
se faz uso dos chamados espacos de Sobolev.

Outro instrumental basico introduzido neste texto é a transformada
de Fourier. O Capitulo 6 versa sobre ela e algumas de suas aplicagédes
as equagoes do calor e das ondas.

Finalmente, o Capitulo 7 trata o problema de Dirichlet para a equagado
de Laplace em regides muito simples como retangulos, discos ou coroas.

Hat essas regides, que tém um certo grau de simetria, o método de Fourier
Nineionn particularmente bem. O problema de Dirichlet para regides
Win petits requer Outras técnicas, e foge ao objetivo deste trabalho.
I'spetamnos ter procedido a um desenvolvimento, suficiente para nossos
Wapositos, das series € transformadas de Fourier, bem como discutido
Win tiiiiero de cxemplos que mostram a forga e a utilidade dos métodos
Introdiizides. O Autor procurou manter a um minimo os pré-requisitos
Imatensiticos, visando a tornar o texto acessivel a pessoas que tenham
infetesse tas aplicagdes, mas que carecam ainda de um conhecimento

tui uinplo das modernas teorias matemAticas. Apesar disso, procurou-se,
attives de diversas observagdes (quando marcadas com um asterisco (*), re-
quero oO conhecimento de Algebra Linear; quando marcadas com dois (**),
enipent, ein disso, familiaridade com a integral de Lebesgue), mostrar as

tatiexoes do que estudamos com outros ramos da Matematica atual: e nao
emyuegiinos que boa parte dessa Matematica foi criada no estudo de ques-

1Oex Commo as Consideradas neste texto. Espera-se assim motivar os leitores a
apotundarcin seus conhecimentos matemAticos.

A questio central na teoria das séries de Fourier é expressar uma
dadi fungdo como uma série de senos ou (e) co-senos, os quais, como

veremios no texto, sdo autofungdes de determinados problemas de auto-
vilot, A consideragdo de certos problemas para as equacoes diferenciais
putciis cin estudo conduz a necessidade de escrever-se uma dada funcdo
vaio uma scric de autofungdes de problemas de autovalor mais gerais.
I'nsin qquestGes sao bem mais dificeis e, para atacd-las de modo mais con-
tino © clegante, requer-se um instrumental matemAatico mais poderoso:
eu visti disso, decidimos omiti-las do presente trabalho.
CAPITULO 1

POR QUE ESTUDAR SERIES DE
FOURIER?

Este capitulo, além de responder a pergunta enunciada no titulo
do capitulo, mostra como surgiu a teoria das séries de Fourier, e assim
se constitui em uma motivagdéo adequada para o trabalho desenvolvido
em parte substancial deste texto. Estudaremos o problema da condugado
do calor numa barra. Na tentativa de resolvé-lo, usaremos a matematica
que aprendemos nos cursos de Calculo Diferencial e Integral e de Equagdes
Diferenciais, e chegaremos 4 conclusfo de que ela € insuficiente. Espe-
ramos convencer o leitor de que a resolugéo do problema requer algo
mais, € que esse algo mais é a série de Fourier.

1.1. Conducao do calor numa barra

Considere uma barra de comprimento L, cuja seccdo transversal tem *

area A, feita de um material condutor uniforme de calor. Suponhamos
que a superficie lateral da barra esteja isolada termicamente de modo a

nado permitir, através dela, transferéncias de calor com o meio ambiente.

Transferéncias podem, entretanto, ocorrer através das extremidades da

barra.

Isolamento
térmico

t
A
|

Figura 1.1 Ke L ———>|

A uniformidade do material e o isolamento térmico lateral implicam
que o fluxo de calor se dé somente na diregdo longitudinal, e, portanto,
estamos em presengca de um problema de condugéo do calor em uma
dimensao apenas. Mais precisamente, as varias grandezas fisicas sAo cons-
tantes em cada seccAo transversal, podendo, obviamente, variar de uma
seccao para outra.

A lei do resfriamento de Fourier diz o seguinte: considere duas placas,
P, e P,, de areas iguais a A, mantidas constantemente as temperaturas
sy [ Capitulo 1 ]

T, e T,, respectivamente; se colocadas paralelamente a uma distancia d
uma da outra, havera passagem de calor da placa mais quente para a
mais fria,e a quantidade de calor, por unidade de tempo, transferida de
uma placa para outra é dada por

kA|T,-T, |

aa — (

onde k é a condutibilidade térmica do material entre as placas. No sistema
CGS, k tem as dimensdes de cal/cm-s-°C. Utilizaremos a seguir essa lei
para estudar a conducdo do calor na barra.

Representemos por u(x, f) a temperatura de um ponto de abcissa x
(imaginemos que a barra esteja colocada sobre 0 eixo dos x, como indica
a Figura 1.2) no tempo t. Observe que a temperatura independe das coor-
denadas espaciais y e z.

Q=

y Figura 1.2

Tomemos duas secgdes transversais da barra localizadas em x e
em x + d. Para aplicar a lei de ] Fourier, imaginamos essas seccdes como
as placas P, e P, acima. Entretanto/ha uma dificuldade porque as tem-
peraturas nessas seccgdes variam com o tempo, e, portanto, ndo sdo cons-
tantes como requer a lei de Fourier. Para superar essa dificuldade, vamos
introduzir a grandeza fluxo de calor através duma seccdo x, num instante f,
© que sera feito do seguinte modo: fixe o tempo t em ( 1), faga T, = u(x + d, t)
e T, = u(x, ft), € passe ao limite quando d tende a zero. Tal limite sera

(KAlu, (x, t) )I. Definimos, entao, o fluxo de calor na diregdo positiva do
eixo x como uma fungao q(x, t) dada por

q(x, t) = ~kAu,(x, 1). (2)
O sinal menos em (2) é justificado do seguinte modo: se a temperatura u
crescesse com x, u, seria positivo; mas, como o calor fluiria para a esquerda,

—"

en

[ Secgdo 1.1 ] &

q deveria ser negativo. Por outro lado, se u decrescesse com x, u, seria
negativo, mas, como o calor fluiria para a direita, g deveria ser positivo.

Fixemos agora um elemento da barra entre x, e x, + 6, € vejamos
qual é a quantidade de calor (g) que ai entra, no periodo de tempo entre
fy € tf + t. Usando o fluxo de calor q(x, 1), podemos ver que

to tt to tt
q= | qX_, t) a-| q(x, + 6, t) dt

to to
ou seja, tote
q= { k[u,(%_ + 6, —ulxy, DIA dt. ; (3)

to
Por outro lado, sabemos que o calor especifico (c) de uma substancia
é a quantidade de calor necessaria para elevar em 1 °C a temperatura de
um grama dessa substancia. Portanto q pode ser também escrito como

to tt xo +45 .
q= | { cu(x, dtp A dx, (4)
t

0 xo

onde p € a densidade da substancia.
Usando o teorema fundamental do calculo em (3) e, a seguir, igua-
lando .o valor de q assim obtido com o valor de q dado em (4), obtemos

tott pxotd tott pxotd
{ { ku, (x, t)}dx dt = | | cpu(x, t)dx dt (5)
to to

xo xo

Como a expressdo (5) é valida para todo t, > 0, todo 0< x, < L
e todos t > 0 e 6 > 0, concluimos que

xx 1) = cpu(x, 2
en scyes u, = Ku,,. ? (6)
onde K = kf(cp) é a difusibilidade térmica, que, no sistema CGS, tem as
dimehsées cm?/s. Na Tabela 1.1 apresentamos os valores de K para dife-
rentes substancias. A Equacdo (6) é chamada a equagdo do calor, e éa
lei de variagdo da temperatura u(x, t) numa barra uniforme com a super-
ficie lateral isolada termicamente.

Observagées. Na deduc&o da equagao do calor, fizemos varias hipdteses,

algumas ditadas pela experiéncia, e, nesse caso, elas sao
leis fisicas. Os fatos basicos na deducdo foram: (i) a lei do resfriamento
de Fourier e (ii) a expresso (4) da quantidade de calor em fungdo do calor
especifico, c. Além disso, fez-se a hipdtese de que a temperatura € uma
. Capitulo 1 ]

fungado cujas derivadas parciais até segunda ordem sao c¢ ontinuas na
tegiao do plano (x, t), dada porrO<x<Let>0.

Tabela 1.1 Valores de K para diferentes substancias

Material K(cm?/s)
Prata 1,71
Cobre 1,14
Aluminio 0,86
Ferro fundido 0,12
Granito 0,011
Argila 0,0038
Agua 0,00144

Andlise do que fizemos até aqui. A temperatura u(x, 1) da barra obedece

a equagdo do calor (6). Entretanto tal
equacgdo tem muitas solugées. Por exemplo, qualquer constante, u(x, ft) =
= constante, € uma solucdo de (6). Outras solugdes triviais seriam u(x, tf) =
= cx, onde c € uma constante. E vernos que ha muitas outras. Qual delas
vai representar a distribuigféo de temperatura na barra? Ai entram em
cena informagées adicionais sobre o problema especifico em estudo. Ini-
cialmente vemos que a distribuicféo de temperatura deve depender da
temperatura inicial ao longo da barra. Fisicamente isso ¢ razoavel; mate-
maticamente € um dado essencial na determinagdo de u(x. t). Essa dis-
tribuicdo inicial da temperatura é a condi¢do inicial do problema, e escre-
vemos que

u(x, 0) = f(x),

onde f: [0, L] > R & uma funcdo dada que descreve a temperatura nos
varios pontos da barra no instante t = 0.

Além dessa condicéo, é importante saber o que se passa nas extre-
midades da barra. Como elas nao estéo isoladas termicamente, pode
haver entrada ou saida de calor. Isso deve, necessariamente, influir no
valor de u(x, #). Temos, pois, de enunciar as condicées de fronteira, as
quais podem ser de varios tipos.

CONDICOES DE FRONTEIRA. Tipo I. Suponhamos que, por algum
processo, as extremidades da
barra sejam mantidas a temperaturas conhecidas. Por exemplo, tempera-

oN
a

4
:
L

[ Seco 1.2 | ¥

tura constante em cada extremidade,
u0,t)=T, e wuLo=T,,

onde T, e T, sao temperaturas dadas. Um caso mais complexo seria
aquele em que se conhece a variagdo da temperatura em uma extremidade
(ou em ambas), isto 6,

u(0, t)=h(t) e u(L, t)=h,(0),

onde /h,(t) e h,(t), para t > 0, sdo as temperaturas (conhecidas) em cada
uma das extremidades.

Tipo II. Suponhamos que as extremidades estejam isoladas termicamente.

Isso quer dizer que os fluxos de calor através de x =Oex=L
sao nulos. Da Expressdo (2) para o fluxo de calor, vemos que as condigdes
laterais nesse caso tém a forma

u,(0, t) = u(L, t) = 0.

Tipo IIT. Suponhamos que 0 meio ambiente tenha temperatura u, e que
haja transferéncias de calor, entre a barra e o meio ambiente,
regidas pela lei

ku,(0, t) = e{u(O, t)—uy},

—ku(L, 1) = efu(L, t)—uo},

onde e é uma constante, dita emissividade, caracteristica do par constituido
pelo material da barra e pelo meio ambiente.

Tipo IV. Uma combinagao de duas quaisquer das condigdes acima, como,
por exemplo,

u(0,))=0 e u(L,t=0.

¥

1.2 Formulacao matematica do problema
da conducao do calor

Vamos representar por # a regido do plano (x, t) determinada por
0<x<Let>0,e por & a unido de & com sua fronteira que é for-
mada pelas semi-retas {x = 0, t > O} e {x = L, t > 0} e pelo segmento
{0 <x < L, t = 0}. O problema da condugdo do calor consiste em de-
terminar uma fungdo real u(x, t) definida em &@ que satisfaga a equacdo