Análise da Variância (ANOVA)

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Análise da Variância
(ANOVA)
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ANOVA
Análise da Variância (ANOVA) é um método para
testar a igualdade de três ou mais médias populacionais,
baseado na análisedas variânciasamostrais.
Os dados amostrais são separados em grupos segundo
uma característica(fator).
Fator (ou tratamento): é uma característica que
permite distinguir diferentes populações umas das
outras. Cada fator contém dois ou mais grupos
(classificações).
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Exemplos:
(1) amostras do consumo de combustível para 3 tipos de
carros, de fábricas (marcas) diferentes.
Neste caso temos amostras de 3 populaçõesde carros.
Temos um único fator: A marca. Este fator se separa em 3
tratamentos, cada uma das marcas.
(2)Amostras do consumo de combustível para 3 tamanhos
de motor (1,5 L, 2,2 L e 2,5 L) e tipo de transmissão (manual
ou automática).
Temos dois fatores:
- O fator tamanho do motor, que contém três categorias: 1,5
L, 2,2 L e 2,5 L.
- O fator tipo de transmissão, que contém duas categorias:
manual e automática.
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ANOVA de um critério (um fator)
SUPOSIÇÕES:
• Populações normalmente distribuida
• Populações tem mesma variância (ou mesmo desvio
padrão).
• Amostras são aleatórias e mutuamente
independentes.
• As diferentes amostras são obtidas de populações
classificadas em apenas uma categoria.
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O estatístico George E. P. Box mostrou
que os resultados são confiáveis desde
que o tamanho das amostras são iguais
(ou quase iguais), a diferença entre as
variâncias podem ser de tal ordem que
a maior seja nove vez a menor.
Se a distribuições são fortemente não
normais devemos utilizar outros métodos,
por exemplo, o teste de Kruskal-Wallis.
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Hipóteses do ANOVA de um critério
HIPÓTESE NULA: a média de todas as populações são iguais,ou
seja, o tratamento (fator) não tem efeito (nenhuma variação em média
entre os grupos).
HIPÓTES ALTERNATIVA:nem todas a médias populacionais são
iguais, ou seja:
Pelo menos uma média é diferente, isto é, existe efeito do
tratamento.
Não quer dizer que todas as médias são diferentes (alguns pares
podem ser iguais)
H : μ μ μ ...μ
0 1 2 3 k
H : Nem todas as médias populacionais são iguais.
1
6
ANOVA de um fator
H :μ μ μ ...μ
0 1 2 3 k
H :Nem todos os μ são iguais
1 k
Todas a médias são iguais:
Ho é verdadeira
(Sem efeito do tratamento)
μ μ μ
1 2 3
7
ANOVA de um fator
H :μ μ μ ...μ
0 1 2 3 k
H :Nem todos os μ são iguais
1 k
Ao menos uma média é diferente:
Ho NÃO é verdadeira
(Existe efeito do tratamento)
or
μ μ  μ μ  μ  μ
1 2 3 1 2 3
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Exemplo: Para k amostras (tratamentos)
amostra 1 amostra 2 amostra 3 ... amostra k
observação 1 x x x ... x
11 12 13 1k
observação 2 x x x ... x
21 22 23 2k
observação 3 x x x ... x
31 32 33 3k
. . . . . .
. . . . . .
observação n x x x x
k n11 n22 n33 ... nkk
média amostral x x x ... x
1 2 3 k
variância amostral s 2 s 2 s 2 ... s 2
1 2 3 k
n x n x ...n x
x 1 1 2 2 k k média sobre todos o valores amostrais (grande média)
n n ...n
1 2 k
x x ...x
para amostras de tamanhos iguais: x  1 2 k
k 9
Note que o livro texto define as amostras
(tratamentos) em linhas e as observações em
colunas
Correspondência de notação entre livro texto e slides
livro texto slides
observações y x
ij ij
média das observações k y x
k k
grande média y x
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A ideia básica de ANOVA: partição da variabilidade
Variabilidade
dos grupos
(entre grupos)
Variabilidade total
Variabilidade
devido a outros
fatores (dentro
dos grupos)
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Decomposição das observações em contribuições de
diferentes fontes:
Observação = grande média + desvio devido ao tratamento + resíduo
x  x  (x  x)  (x  x )
ij j ij j
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Exemplo
Foram selecionadosvários
automóveisde 3 modelos
diferentese nelescolocadosa
mod. 1 mod. 2 mod. 3
mesmaquantidadede gasolina. A
254 234 200
tabelaao ladomostraa
quilometragemobtidapelos 263 218 222
automóveis. Existe diferençaentre 241 235 197
de distânciamédiapercorrida pelos 237 206
diferentestiposde automóveis? 1 –
251
Fator(tratamento): tipo de
atutomóvel
Níveis: modelo1, modelo 2, modelo
3
1133
Temos:
modelo 1: x 249.2
1
modelo 2: x 229
2
modelo 3: x 206.25
3
n x n x n x 5.249,23.2294.206,25
grande média: x 1 1 2 2 3 3  229,833
n n n 534
1 2 3
Por exemplo: o elemento da amostra 1 x 241
31
pode ser decomposto assim:
x  x  (x x)  (x x )
31 1 31 1
241  229.83  (249.2-229.83)(241249.2)229.8319.3678.2
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Para o nosso exemplo:
Observações = grande média + efeitos do tratamento + resíduos
254 234 200 229.83 229.83 229.83 19.367 -0.83 -23.58  4.8 5 200
       
263 218 222 229.83 229.83 229.83 19.367 -0.83 -23.58 13.8 11 222
       
241 235 197229.83 229.83 229.8319.367 -0.83 -23.588.2 6 197
       
237 206 229.83 229.83 19.367 -23.58 12.2 206
251  229.83  19.367   1.8 
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Medida de variação: variância amostral
 2
x x
i
S2  i (que depende de uma soma de quadrados)
n1
Variação total= variação entreas amostras + variação dentrodas
amostras
Em símbolos: SQ(total) = SQ(entre amostras)+SQ(dentro das
amostras)
SQ(total) ou soma total de quadrados: é uma medida da variação
total (em torno de x) em todos os dados amostrais combinados.
SQ(entre): é uma medida da variação entre as médias amostrais
combinados.
Também conhecida como SQ(tratamento).
SQ(dentro) ou SQ(erro): soma de quadrados que representa a variabilidade
comum a todas a populações em consideração. 16
Variação total
SQ(total) = SQ(dentro) + SQ(entre)
k nj
SQ(total)  (X  X)2
ij
j1 i1
Onde:
k = número de amostras (tratamentos)
n = número de observações na amostra j
j
X = i-ésima observação da amostra j
ij
X = média de todos os valores (grande média)
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Variação entre amostras
SQ(total) = SQ(entre) + S(dentro)
k
SQ(entre)  n (X  X)2
j
j
j1
Onde:
k = número de amostras
n = número de elementos da amostra j
j
X = média da amostra j
j
X = grande média
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Variação entre amostras
k
SQ(entre)  n (X  X)2
j
j
j1
SQ(entre)
Variação devido a QM(entre) 
diferença entre amostras. k 1
Quadrado médio entre =
SQ(entre)/graus de liberdade
 
i j
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Variação dentro das amostras
SQ(total) = SQ(entre) + SQ(dentro)
k nj
SQ(dentro)    (X X )2
j
ij
j1 i1
Onde:
k = número de amostras
n = número de elementos da amostra j
j
X = média da amostra j
j
X = i-ésima observação na amostra j
ij
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