Análise Complexa e Aplicações

292 Pages·09.023 MB·Portuguese

by  Gueorgui V. Smirnov

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GUEORGUI SMIRNOV
ANÁLISE COMPLEXA
E APLICAÇÕES
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ESCOLAR EDITORA
Título: ANÁLISE COMPLEXA E APLICAÇÕES
Autor: Gueorgui Smirnov
Copyright © by Escolar Editora 2003
Rua do Vale Formoso, 37 1949-013 LISBOA
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sem a autorização expressa do editor.
Todos os direitos reservados.
Capa:
Tiago Oliveira (Designer Gráfico da Editora)
Execução Gráfica:
JMM-Artes Gráficas, Lda.
Impressão e acabamento:
Fernando Silva Miguel
ISBN 972-592-152-6
Depósito Legal n. º 189 738/02
Tiragem: 2.000 exemplares
Janeiro 2003
Distribuição
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Prefácio
A Análise Complexa é um ramo da Matemática que estuda funções complexas e que
tem numerosas aplicações quer nas outras áreas da Matemática, quer nas Ciências da
Natureza e na Técnica.
Este texto foi escrito para estudantes de cursos de Matemática Aplicada, Engenharia
e Física, o que explica a escolha da matéria e o nível de generalidade da apresentação.
Foram incluidos no livro só os conceitos e resultados da Análise Complexa importantes
nas aplicações, e as demonstrações foram feitas sem tentar atingir a máxima generali
dade.
O livro contém três capítulos. No primeiro capítulo apresentam-se os elementos da
Análise Complexa: números complexos, funções elementares de uma variável complexa,
cálculo diferencial e integral, teoria de séries, teoria dos resíduos, aplicações conformes.
Os resultados principais tais como o Teorema de Jordan, o Teorema de Cauchy, o Teo
rema de Riemann, que formam a base da Análise Complexa, não se demonstram ou
demonstram-se numa versão simplificada. O segundo capítulo é dedicado às aplicações
da Análise Complexa. A escolha da máteria deste capítulo foi determinada pela ori
entação do livro para Engenharia e Física: Transformada de Laplace e a sua utilização
no estudo das equações diferenciais lineares, Teoria de estabilidade, problemas de con
torno para as equações de Laplace e Poisson. Foram incluidos numerosos exemplos que
mostram como os métodos da Análise Complexa "trabalham"nas Ciências Aplicadas
diferentes: das aplicações clássicas na Hidrodinâmica e Electrostática à Química-Física
de superfície e Teoria de controlo. Para ler estes dois capítulos são só necessários con
hecimentos básicos da Análise Real e da Álgebra Linear. No texto foram incluidos (às
vezes numa forma esquemática) alguns tópicos da Análise Real e Álgebra Linear com o
objectivo de fazer o livro acessível aos estudantes com níveis diferentes de preparação
em Matemática. O pequeno terceiro capítulo contém as demonstrações dos resulta
dos fundamentais deixados no primeiro capítulo sem demonstração. Isto faz o livro
matematicamente completo. Embora as demonstrações contidas neste capítulo sejam
elementares (incluindo a do Teorema de Jordan), a leitura desta matéria presume uma
certa experiência no estudo de Matemática e a capacidade de seguir longos raciocínios
lógicos.
6 PREFÁCIO
A matéria dos primeiros dois capítulos é completada por vários exercícios (resolvidos
e não resolvidos) que ajudam a aprender melhor a teoria e a elaborar a técnica necessária
na resolução de problemas práticos. O livro contém mais matéria do que é necessário
para um curso semestral. Isto permite formar vários cursos, utilisando como base o
primeiro capítulo e escolhendo diferentes aplicações do segundo. O terceiro capítulo
poderá ser utilizado para cursos essencialmente teóricos.
Este texto é uma introdução elementar à Análise Complexa e às suas aplicações.
Ao leitor interessado em conhecer os resultados mais profundos da Análise Complexa
podemos recomendar a obra fundamental de A.I. Markushevich, "Theory of Functions
of a Complex Variable", Vol. 1 - 3, Chelsea Publishing Company, New York, 1985.
Do ponto de vista de aplicações e resolução de numerosos problemas práticos continua
a ser insuperável o livro de M. Lavrentiev e B. Chabat, "Métodes de la Théorie des
Fonctions d 'une Varíable Complexe '', Mir, M oscou, 1977. O aspecto computacional da
Análise Complexa está perfeitamente apresentado no livro de P. Henrici, "Applied and
Cornputàtional Complex Analysis", Wiley, New York, Vol.1, 1974, Vol.2, 1977, Vol.3,
1986.
N11 preparação deste curso forain utilizados alguns exercícios dos livros M.L. Kras
nov, A.L Kiselev, G.I. Makarenko, "Funções de uma Variável Complexa. Calculo
O[icmciorrnl. 'l'eoria de Estabilidade", Nauka, Moskva, 1981, M.A. Evgrafov, Yu. V.
Sidomv, M. V. Flldoriuk, M.I. Shabunin, K.A. Bezhanov, "Livro de Exercícios de Teoria
de Ji\mções Analiticns", Nrwka, Moskva, 1969, e A.F. Filippov, "Livro de Exercícios
de Bquaç{fo.9 Difernncfois", Nauka, Moskva, 1970.
O autm: a.grndece a Alessandro Margheri, Francisco Miranda, Patrícia Gonçalves e
Semyon Yakubovich pelas sugesthes e comentários ao texto. Agradecimentos especiais
a Isabel Rodrigues pela sua ajuda na preparação deste texto. Algumas partes deste
livro existiram durante vários anos na forma de "Folhas de apoio", e muitos alunos da
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto indicaram vários erros e omissões. O
autor agradece a todos eles.
,
lnd ice
Prefácio 5
1 Análise complexa elementar 13
1.1 Números complexos ......... . 14
1.1.1 Corpo dos números complexos 14
1.1.2 Módulo . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Forma trigonométrica de números complexos 18
1.1.4 Exercícios resolvidos . . 19
1.1.5 Exercícios . . . . . . . . 22
1.1.6 Soluções dos exercícios . 24
1.2 Funções elementares . . 24
1.2.1 Funções racionais .. 24
1.2.2 Função efi .... 24
1.2.3 Função exponencial 24
1.2.4 Funções hiperbólicas 25
1.2.5 Funções trigonométricas 26
1.2.6 Logaritmo ...... . 26
1.2.7 Funções trigonométricas inversas 27
1.2.8 Função zª ..... 27
1.2.9 Exercícios resolvidos .. 28
1.2.10 Exercícios . . . . . . 29
1.2.11 Soluções dos exercícios . 30
1.3 Sucessões. Limite . . . . . . 31
1.3.1 Limite de uma sucessão 31
1.3.2 Esfera de Riemann . . . 32
1.3.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass 34
1.3.4 Critério de Caucby . 35
1.3.5 Exercícios resolvidos 36
1.3.6 Exercícios . . . . . 36
1.3. 7 Soluções dos exercícios . 36
1.4 Funções complexas . . . . 36
8 ÍNDICE
1.4.1 Curvas ...... . 37
1.4.2 Conjuntos planos . 38
1.4.3 Funções . . . 39
1.4.4 Limites ... 39
1.4.5 Continuidade 42
1.4.6 Exercícios . . 44
1.4. 7 Soluções dos exercícios . 44
1.5 Funções analíticas ...... . 44
1.5.1 Derivada . . . . . . . . 45
1.5.2 Condições de Cauchy-Riemann 45
1.5.3 Exercícios resolvidos . . 47
1.5.4 Exercícios ....... . 48
1.5.5 Soluções dos exercícios . 49
1.6 Integral ............ : 49
1.6.1 Integrais curvilíneos .. 49
1.6.2 Integral complexo ao longo de uma curva 54
1.6.3 Exemplos ................. . 56
1.6.4 Teorema de Cauchy ........... . 56
1.6.5 Teorema de Cauchy para um sistema de curvas 56
1.6.6 Primitiva ..... . 58
1.6.7 Exercícios resolvidos .. 60
1.6.8 Exercícios . . . . . . . . 64
1.6.9 Soluções dos exercícios . 64
1.7 Fórmula integral de Cauchy . . 65
1.7.1 Fórmula integral de Cauchy 65
1. 7.2 Teorema do valor médio . . 66
1. 7.3 Diferenciabilidade do integral do tipo de Cauchy 66
1. 7.4 Teorema de Liouville e Teorema Fundamental d<t Álgebra 70
1.7.5 Teorema de Morera ..... . 70
1. 7.6 Fórmulas de Sokhotski-Plemelj 71
1.7.7 Exercícios resolvidos .. 76
1. 7.8 Exercícios ....... . 78
1.7.9 Soluções dos exercícios . 78
1.8 Séries de funções . . . . . . . . 78
1.8.1 Séries numéricas . . . . 78
1.8.2 Convergência de uma sucessão de funções 81
1.8.3 Convergência e convergência uniforme das séries de funções 82
1.8.4 Propriedades das sucessões e das séries. de funções convergentes
uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.8.5 Teorema de convergência de uma sucessão de funções analíticas 85
1.8.6 Exercícios resolvidos ....................... . 87
ÍNDICE 9
1.8. 7 Exercícios ...... . 89
1.8.8 Soluções dos exercícios 90
1.9 Séries de potências . . . . . . 90
1. 9 .1 Teorema de Abel . . . 91
1. 9.2 Raio de convergência . 91
1.9.3 Exercícios resolvidos . 93
1.9.4 Exercícios ...... . 94
1.9.5 Soluções dos exercícios . 95
1.10 Séries de Taylor ........ . 95
1.10.l Desenvolvimento em série de Taylor 95
1.10.2 Teorema de unicidade ....... . 96
1.10.3 Séries de Maclaurin das funções elementares . 97
1.10.4 Exercícios resolvidos .. 98
1.10.5 Exercícios ....... . 102
1.10. 6 Soluções dos exercícios . 103
1.11 Séries de Laurent . . . . . . 104
1.11.1 Teorema de Laurent 104
1.11.2 Exercícios resolvidos 107
1.11.3 Exercícios . . . . . . 109
1.11.4 Soluções dos exercícios . 110
1.12 Singularidades . . . . . . . . . 111
1.12.1 Classificação de singularidades 111
1.12.2 Singularidades e séries de Laurent 111
1.12.3 Representação de uma função racional como soma de
um polinómio e fracções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.12.4 Função analítica numa vizinhança de um ponto singular essencial 114
1.12.5 Exercícios resolvidos . . 115
1.12.6 Exercícios . . . . . . . . 116
1.12.7 Soluções dos exercícios . 117
1.13 Resíduos. Integrais . . . . . 117
1.13.1 Resíduos. . . . . . . 117
1.13.2 Cálculo dos resíduos 118
1.13.3 Resíduo no infinito . 119
1.13.4 Lema de Jordan .. 120
1.13.5 Integrais de funções reais 121
1.13.6 Exercícios resolvidos .. 123
1.13.7 Exercícios ........ . 128
1.1.3.8 Soluções dos exercícios .. 130
1.14 Resíduo logarítmico. Teorema de Rouché 130
1.14.l Resíduo logarítmico 130
1.14.2 Princípio de rotação ....... . 132