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Análise Complexa e Aplicações PDF

292 Pages·09.023 MB·Portuguese
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ANÁLISE COMPLEXA E APLICAÇÕES ' 1 1... 1 ' t 1 GUEORGUI SMIRNOV ANÁLISE COMPLEXA E APLICAÇÕES ('9 ESCOLAR EDITORA Título: ANÁLISE COMPLEXA E APLICAÇÕES Autor: Gueorgui Smirnov Copyright © by Escolar Editora 2003 Rua do Vale Formoso, 37 1949-013 LISBOA Tel +351218681 183 Fax +351218685 012 e-mail: [email protected] Portugal Proibida a reprodução total ou parcial deste livro sem a autorização expressa do editor. Todos os direitos reservados. Capa: Tiago Oliveira (Designer Gráfico da Editora) Execução Gráfica: JMM-Artes Gráficas, Lda. Impressão e acabamento: Fernando Silva Miguel ISBN 972-592-152-6 Depósito Legal n. º 189 738/02 Tiragem: 2.000 exemplares Janeiro 2003 Distribuição DINTERNAL, Lda- LISBOA: Rua do Vale Formoso, 37 1949-013 LISBOA Telef.: +351218681 183 Fax+ 351 218 681 257 E-mail: [email protected] Portugal PORTO: Rua José Falcão, 188-1' 4050-315 PORTO Telef.: +351 223 322 232 Fax +351 222 008 050 E-mail: britanica.por@dintérnal.pt Portugal Prefácio A Análise Complexa é um ramo da Matemática que estuda funções complexas e que tem numerosas aplicações quer nas outras áreas da Matemática, quer nas Ciências da Natureza e na Técnica. Este texto foi escrito para estudantes de cursos de Matemática Aplicada, Engenharia e Física, o que explica a escolha da matéria e o nível de generalidade da apresentação. Foram incluidos no livro só os conceitos e resultados da Análise Complexa importantes nas aplicações, e as demonstrações foram feitas sem tentar atingir a máxima generali dade. O livro contém três capítulos. No primeiro capítulo apresentam-se os elementos da Análise Complexa: números complexos, funções elementares de uma variável complexa, cálculo diferencial e integral, teoria de séries, teoria dos resíduos, aplicações conformes. Os resultados principais tais como o Teorema de Jordan, o Teorema de Cauchy, o Teo rema de Riemann, que formam a base da Análise Complexa, não se demonstram ou demonstram-se numa versão simplificada. O segundo capítulo é dedicado às aplicações da Análise Complexa. A escolha da máteria deste capítulo foi determinada pela ori entação do livro para Engenharia e Física: Transformada de Laplace e a sua utilização no estudo das equações diferenciais lineares, Teoria de estabilidade, problemas de con torno para as equações de Laplace e Poisson. Foram incluidos numerosos exemplos que mostram como os métodos da Análise Complexa "trabalham"nas Ciências Aplicadas diferentes: das aplicações clássicas na Hidrodinâmica e Electrostática à Química-Física de superfície e Teoria de controlo. Para ler estes dois capítulos são só necessários con hecimentos básicos da Análise Real e da Álgebra Linear. No texto foram incluidos (às vezes numa forma esquemática) alguns tópicos da Análise Real e Álgebra Linear com o objectivo de fazer o livro acessível aos estudantes com níveis diferentes de preparação em Matemática. O pequeno terceiro capítulo contém as demonstrações dos resulta dos fundamentais deixados no primeiro capítulo sem demonstração. Isto faz o livro matematicamente completo. Embora as demonstrações contidas neste capítulo sejam elementares (incluindo a do Teorema de Jordan), a leitura desta matéria presume uma certa experiência no estudo de Matemática e a capacidade de seguir longos raciocínios lógicos. 6 PREFÁCIO A matéria dos primeiros dois capítulos é completada por vários exercícios (resolvidos e não resolvidos) que ajudam a aprender melhor a teoria e a elaborar a técnica necessária na resolução de problemas práticos. O livro contém mais matéria do que é necessário para um curso semestral. Isto permite formar vários cursos, utilisando como base o primeiro capítulo e escolhendo diferentes aplicações do segundo. O terceiro capítulo poderá ser utilizado para cursos essencialmente teóricos. Este texto é uma introdução elementar à Análise Complexa e às suas aplicações. Ao leitor interessado em conhecer os resultados mais profundos da Análise Complexa podemos recomendar a obra fundamental de A.I. Markushevich, "Theory of Functions of a Complex Variable", Vol. 1 - 3, Chelsea Publishing Company, New York, 1985. Do ponto de vista de aplicações e resolução de numerosos problemas práticos continua a ser insuperável o livro de M. Lavrentiev e B. Chabat, "Métodes de la Théorie des Fonctions d 'une Varíable Complexe '', Mir, M oscou, 1977. O aspecto computacional da Análise Complexa está perfeitamente apresentado no livro de P. Henrici, "Applied and Cornputàtional Complex Analysis", Wiley, New York, Vol.1, 1974, Vol.2, 1977, Vol.3, 1986. N11 preparação deste curso forain utilizados alguns exercícios dos livros M.L. Kras nov, A.L Kiselev, G.I. Makarenko, "Funções de uma Variável Complexa. Calculo O[icmciorrnl. 'l'eoria de Estabilidade", Nauka, Moskva, 1981, M.A. Evgrafov, Yu. V. Sidomv, M. V. Flldoriuk, M.I. Shabunin, K.A. Bezhanov, "Livro de Exercícios de Teoria de Ji\mções Analiticns", Nrwka, Moskva, 1969, e A.F. Filippov, "Livro de Exercícios de Bquaç{fo.9 Difernncfois", Nauka, Moskva, 1970. O autm: a.grndece a Alessandro Margheri, Francisco Miranda, Patrícia Gonçalves e Semyon Yakubovich pelas sugesthes e comentários ao texto. Agradecimentos especiais a Isabel Rodrigues pela sua ajuda na preparação deste texto. Algumas partes deste livro existiram durante vários anos na forma de "Folhas de apoio", e muitos alunos da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto indicaram vários erros e omissões. O autor agradece a todos eles. , lnd ice Prefácio 5 1 Análise complexa elementar 13 1.1 Números complexos ......... . 14 1.1.1 Corpo dos números complexos 14 1.1.2 Módulo . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Forma trigonométrica de números complexos 18 1.1.4 Exercícios resolvidos . . 19 1.1.5 Exercícios . . . . . . . . 22 1.1.6 Soluções dos exercícios . 24 1.2 Funções elementares . . 24 1.2.1 Funções racionais .. 24 1.2.2 Função efi .... 24 1.2.3 Função exponencial 24 1.2.4 Funções hiperbólicas 25 1.2.5 Funções trigonométricas 26 1.2.6 Logaritmo ...... . 26 1.2.7 Funções trigonométricas inversas 27 1.2.8 Função zª ..... 27 1.2.9 Exercícios resolvidos .. 28 1.2.10 Exercícios . . . . . . 29 1.2.11 Soluções dos exercícios . 30 1.3 Sucessões. Limite . . . . . . 31 1.3.1 Limite de uma sucessão 31 1.3.2 Esfera de Riemann . . . 32 1.3.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass 34 1.3.4 Critério de Caucby . 35 1.3.5 Exercícios resolvidos 36 1.3.6 Exercícios . . . . . 36 1.3. 7 Soluções dos exercícios . 36 1.4 Funções complexas . . . . 36 8 ÍNDICE 1.4.1 Curvas ...... . 37 1.4.2 Conjuntos planos . 38 1.4.3 Funções . . . 39 1.4.4 Limites ... 39 1.4.5 Continuidade 42 1.4.6 Exercícios . . 44 1.4. 7 Soluções dos exercícios . 44 1.5 Funções analíticas ...... . 44 1.5.1 Derivada . . . . . . . . 45 1.5.2 Condições de Cauchy-Riemann 45 1.5.3 Exercícios resolvidos . . 47 1.5.4 Exercícios ....... . 48 1.5.5 Soluções dos exercícios . 49 1.6 Integral ............ : 49 1.6.1 Integrais curvilíneos .. 49 1.6.2 Integral complexo ao longo de uma curva 54 1.6.3 Exemplos ................. . 56 1.6.4 Teorema de Cauchy ........... . 56 1.6.5 Teorema de Cauchy para um sistema de curvas 56 1.6.6 Primitiva ..... . 58 1.6.7 Exercícios resolvidos .. 60 1.6.8 Exercícios . . . . . . . . 64 1.6.9 Soluções dos exercícios . 64 1.7 Fórmula integral de Cauchy . . 65 1.7.1 Fórmula integral de Cauchy 65 1. 7.2 Teorema do valor médio . . 66 1. 7.3 Diferenciabilidade do integral do tipo de Cauchy 66 1. 7.4 Teorema de Liouville e Teorema Fundamental d<t Álgebra 70 1.7.5 Teorema de Morera ..... . 70 1. 7.6 Fórmulas de Sokhotski-Plemelj 71 1.7.7 Exercícios resolvidos .. 76 1. 7.8 Exercícios ....... . 78 1.7.9 Soluções dos exercícios . 78 1.8 Séries de funções . . . . . . . . 78 1.8.1 Séries numéricas . . . . 78 1.8.2 Convergência de uma sucessão de funções 81 1.8.3 Convergência e convergência uniforme das séries de funções 82 1.8.4 Propriedades das sucessões e das séries. de funções convergentes uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.8.5 Teorema de convergência de uma sucessão de funções analíticas 85 1.8.6 Exercícios resolvidos ....................... . 87 ÍNDICE 9 1.8. 7 Exercícios ...... . 89 1.8.8 Soluções dos exercícios 90 1.9 Séries de potências . . . . . . 90 1. 9 .1 Teorema de Abel . . . 91 1. 9.2 Raio de convergência . 91 1.9.3 Exercícios resolvidos . 93 1.9.4 Exercícios ...... . 94 1.9.5 Soluções dos exercícios . 95 1.10 Séries de Taylor ........ . 95 1.10.l Desenvolvimento em série de Taylor 95 1.10.2 Teorema de unicidade ....... . 96 1.10.3 Séries de Maclaurin das funções elementares . 97 1.10.4 Exercícios resolvidos .. 98 1.10.5 Exercícios ....... . 102 1.10. 6 Soluções dos exercícios . 103 1.11 Séries de Laurent . . . . . . 104 1.11.1 Teorema de Laurent 104 1.11.2 Exercícios resolvidos 107 1.11.3 Exercícios . . . . . . 109 1.11.4 Soluções dos exercícios . 110 1.12 Singularidades . . . . . . . . . 111 1.12.1 Classificação de singularidades 111 1.12.2 Singularidades e séries de Laurent 111 1.12.3 Representação de uma função racional como soma de um polinómio e fracções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.12.4 Função analítica numa vizinhança de um ponto singular essencial 114 1.12.5 Exercícios resolvidos . . 115 1.12.6 Exercícios . . . . . . . . 116 1.12.7 Soluções dos exercícios . 117 1.13 Resíduos. Integrais . . . . . 117 1.13.1 Resíduos. . . . . . . 117 1.13.2 Cálculo dos resíduos 118 1.13.3 Resíduo no infinito . 119 1.13.4 Lema de Jordan .. 120 1.13.5 Integrais de funções reais 121 1.13.6 Exercícios resolvidos .. 123 1.13.7 Exercícios ........ . 128 1.1.3.8 Soluções dos exercícios .. 130 1.14 Resíduo logarítmico. Teorema de Rouché 130 1.14.l Resíduo logarítmico 130 1.14.2 Princípio de rotação ....... . 132

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