Análise Aplicada e Campos de Força

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by  LUIS MANUEL BRAGA DA COSTA CAMPOS

ANÁLISE APLICADA
E CAMPOS DE FORÇA
Luís Manuel Braga da Costa Campos
Nasceu em Lisboa em 1950. Licenciado em
Engenharia Mecânica pelo I.S.T. em 1972.
Doutorado pela Universidade de Cambridge
com a tese "Ondas em Fluidos" em 1978.
Foi vice-presidente do Conselho Científico
do I.S.T. (1981-82), secretário do Centro de
Automática da Universidade Técnica de
Lisboa (1984-85), onde dirige a linha de
Matemática e Mecânica Aplicada. É actual-
mente professor catedrático do I.S.T.. A sua
actividade científica estende-se pelos campos
da matemática aplicada, magnetohidrodinâ-
mica e acústica e engenharia mecânica e
aeronáutica. Membro de várias associações
estrangeiras. Tem publicada vasta bibliogra-
fia em revistas nacionais e estrangeiras sobre
assuntos da sua especialidade.
ANÁLISE APLICADA
E CAMPOS DE FORÇA

LU~SM ANUEL BRAGA DA COSTA CAMPOS
ANÁLISE APLICADA
E CAMPOS DE FORÇA
FUNDAÇÃO CALOUSTE GULRENKIAN / LISBOA
Reservados todos os direitos de harmonia com a lei
Edição da
FUNDAÇAO CALOUSTE GULBENKIAN
Av. de Berna I Lisboa
MÉTODOS MATEMÁTICOS
EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
,
Uma Introdução aos métodos da matemática aplicada à ciência e
tecnologia apresenta os temas e desenvolvimento dentro da teoria de
matemática que se revelaram mais Úteis ou profícuos na descrição de
fendmenos físicos e no projecto e cálculo de obras de engenharia. O estu-
do quantitativo -de umf enómeno ou projecto envolve três fases sucessi-
vas: (i) o estabelecimento das equações fundamentais que descrevem ou
modelam o problema real; (?i) a resolução do problema matemático,
deduzindo as propriedades da solução; (iii) a interpretação destas em
termos do problema inicial, ver~candoa validade dos resultados.
Na elaboração de um livro sobre uma Ciência Exacta como a
Matemática, com aplicação a vastos domínios da Física e numerosas
especialidades dentro da Engenharia, é necessário fazer um certo número
de opções, que decidem: (i) do conjunto de tópicos a serem abordados,
e do grau depormenor e desenvolvimento; (ii) do nível de rigor e de gene-
ralidade com que as matérias escolhidas são tratadas; (iii) da importân-
cia que se atribui a aspectos formativos e didácticos, tendo em vista a
função do ensino universitário; (iv) da utilidade e valor informativo como
preparação de base prévia para a investigação especializada. A finali-
dade deste prefácio é expor sucintamente as opções tomadas no livro
com relação a cada um destes quatro critérios.'
MATÉRIAS ABRANGIDAS E SUA APRESENTAÇ~
A primeira parte de um Curso da Matemática Aplicada é, natu-
ralmente, um texto sobre a teoria das funções, que deve ser acompa-
nhado de exemplos práticos desde o início. Escolhemos portanto as
funções complexas de preferência às fuições reais, visto que as primei-
ras são mais gerais, e têm propriedades de derivação (holomorfia e ana-
liticidade), integração (cálculo de resíduos) e transformação (mapa con-
forme) mais potentes, além de unificarem as funções transcendentes
elementares (exponencial, logaritmo, circulares e hiperbólicas), e forne-
cerem uma maior variedade de representações de funções arbitrdrias
(séries de potências e fracções, produtos infinitos, fracções continuadas).
As funções complexas permitem resolver com uma só variável proble-
mas planos, tais como trajectórias de partículas em campos de força, e
facilitam a undlise de circuitos e da estabilidade de sistemas. As funções
analíticas fornecem soluções da equação de Laplace no plano, que des-
creve o escoamento potencial do fluido e tensões em meios elásticos, os
campos gravítico, electro e magnetoestático e a condução de calor esta-
cionária. Os problemas correspondentes a três dimensões, que envolvem
a resolução das equações de Laplace e Poisson no espaço, resolvem-se
recorrendo a funções harmónicas e funções de Green. Estas últimas são
frequentemente funções generalizadas. que permitem representar singu-
laridades e surgem em muitos outros problemas, como a deflexão de
cordas e vigas por forças ou momentos concentrados. Assim, optamos
por um livro sobre funções complexas e generalizadas com aplicações
em mecânica dos corpos rígidos e de$ormáveis, circuitos e campos eléc-
tricos e magnéticos, carnpos gravíticos e órbitas, escoamento de fluidos
e transferência de culor.
APLPCAÇÕS A CI~NCIAE TECNOLOGIA
Dadas as numerosas e variadas aplicações de cada uma das teorias
matemáticas abordadas no curso, é possível e desejável apresentar
exemplos simples mas elucidativos da sua aplicação. Assim, cada capí-
tulo consiste de secções alternadas: (i) uma secção que apresenta a teo-
ria matemática sob forma relevanre para a generalidade das aplicações;
(ii) a secção seguinte contim um ou alguns exemplos simples do uso da
teoria na desiriçao ou solução de um problema de física ou engenharia.
Devo acrescentar que se procurou sempre o exemplo significativo mais
simples, e que em geral a teoria seria e3caz em situizções muito mais
complexas. NQo há, portanto, qualquer pretensão de tratar a nível da
especialidade as várias aplicações, que servem meramente de exemplos,
para: (i)m ostrar como a teoria se utiliza na resolução de problemas
práticos; (ii) sugerir a gama de aplicações mais elaboradas ou complexas
em que a teoria, na sua forma mais geral exposta no texto, é útil.
A Q U E S T D~O RIGOR M A T E M A ~ O
Como a mais exacta das ciências exactas, a matemática aspira ao
rigor nos exemplos, nas dejkições, deduções, teorernas e métodos, que
devem desfrutar de certos atributos: (i) de3nições claras e inequfvocas,
cobrindo classes de conceitos tão gerais quanto possível; (ii)d eduções
lógicas não requerendo mais hipóteses do que as estritamente necessá-
rias para validar o resultado; (iii) teoremas explícitos que exprimam
correctamente as propriedades dos conceitos, e não induzam em suposi-
ções falsas; (iv) métodos suficientemente potentes para tratar a maioria
grande parte dos problemas. No caso em que a dedução rigorosa de
OU
um teorema interromperia a sequência do raciocínio, o enunciado é
citado, e a demonstrap70 colocada na secção final do capitulo. Deste
modo procuram-se conciliar num Curso de Matemática Aplicada
algum do rigor e elegdncia da matemática pura, mantendo o sentido de
utilidade e finalidade da fisica e engenharia em que se descrevem os
fenómenos do mundo natural que nos rodeia e as obras que nele o
homem constrói.
Tentamos dentro destes critérios evitar temas obscuros e remotos a
que a procura meramente formal da "generalidade" destacada da apli-
cação real conduz, rejeitando: (i) os "novos" conceitos que têm pouco
mais utilidade prática que aqueles que pretendem generalizar; (ii) as
deduções longas em cuja sequência tortuosa se perde de vista a finali-
dade; (iii) teoremas com restrições que lhes limitem seriamente a utili-
dade prática; (iv) métodos complicados que não fornecem mais infor-
mações que processos de resolução mais directos. Nada do que se disse
obsta a que tenham sido incluidos no curso alguns tópicos cujo poten-
cial de aplicaçi?~a inda não foi, na opinião do autor, devidamente
explorado. Trata-se de indicar algumas matérias, ainda relativamente
pouco conhecidas, que podem constituir extensões frutuosas de méto-
dos bem estabelecidos.
DIDACTICDAE UM CURSO UNIVERSITARIO
A preparação prévia para este curso é constkuída por aqueles
rudimentos de análise, incluindo derivadas totais, parciais e integrais, e
de álgebra e geometria analíticas, ministrados na primeira parte de um
curso universitário, quer na fase preparatória quer no primeiro ano (ou
segundo). A finalidade do curso de Matemática Aplicada é de, situando-
-se no principio da fase intermédia do currículo universitário, entre os
segundo e o quarto anos, fazer a transição desde as matemáticas gerais
(análise e geometria) elementares (que nQo se demora em repetir) até às
cadeiras da especialidade (que não pretende duplicar). Assim, uma cadei-
ra de Matemática Aplicada tem por finalidade fornecer os conhecirnen-
tos de análise e geometria que permitam o ingresso, com preparação de
base adequada, nas cadeiras da especialidade em engenharia ou cursos
detalhados sobre os ramos da fisica.
BASES PARA A ESPECIALIDADE E INVESTIGA ÇÃO
Há algumas décadas era possível ensinar ao especialista, na Uni-
versidade, quase tudo o que ele precisaria de saber na vida profissional,
bastando-lhe um curto estágio para se familiarizar com as circunstdn-
cias do seu trabalho. A medida que a sociedade se foi desenvolvendo, as
especialidades e técnicas foram-se tornando tão numerosas e variadas,
que a função do curso universitário passou a ser a de fornecer os
colrhecimentos de base comuns e a introdução de conjunto às várias
especialidades, que permitissem ao engenheiro tornar-se competente no
seu ramo espec$co, fosse ele qual fosse, ao fim de um ou dois anos de
prática. Actualmente o ritmo do progresso tecnológico é tão rápido
que, a meio de uma vida profissional de 30-40 anos, o engenheiro pode
encontrar-se perante técnicas e processos desconhecidas 15-20 anos
antes quando saíra da Universidade. Dai a importância de que se
reveste na Universidade, a preparação de base que permita assimilar as
consequências da investigação actual, no que respeita a técnicas de con-
cepção, projecto e produção.
Uma proporção pequena mas importante dos engenheiros poderá
seguir uma carreira de investigação, participando a par com os jlkicos
teóricos e matemáticos aplicados na descoberta e descrição de novos
fenómenos que alargam o conhecimento cientzpco e abrem as vias de
inovação tecnológica. Para os engenheiros investigadores e fisicos-mate-
máticos a matemática aplicada é a linguagem em que se descrevem
quantitativamente os seus estudos e conclusões. Tal como a gramática
se insere no estilo de obra literária de um escritor, a matemática apli-
cada será gradualmente assimilada no teor de obra cientSfica do investi-
gador. O curso de Matemática Aplicada será neste caso, uma primeira
introdução a temas que serão subsequentemente desenvolvidos em
maior pormenor consoante os interesses pessoais ou aplicações da espe-
cialidade. Os cursos gerais de matemática aplicada que servem a função
didáctica inicial poderão ainda ter alguma utilidade como consulta oca-
sional, ou revisão antes de alargar o campo de estudo detalhado a mais
uma monografa.
Lisboa, 1 1 de Fevereiro de 1979
L. M. B. C. Campos