An Application of Smarandache Curve

2013·0.24 MB·

by  Suleyman Senyurt

Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:3, Sayı:1, 2013,46-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:3, No:1,2013,46-60
SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA
Süleyman ŞENYURT1* Selin SİVAS1
1Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
ÖZET
Bu çalışmada, bir  eğrisinin Frenet vektörleri T,N,B ve birim Darboux vektörü Colmak
üzere NC-Smarandache eğrisi tanımlanarak bu eğri ile birlikte NBveTNB-Smarandache
eğrilerinin eğrilik ve torsiyonu hesaplanmıştır.
Keywords:Smarandache Curves,
Mathematics Subject Classification(2010), 53A04.
AN APPLICATION OF SMARANDACHE CURVE
ABSTRACT
In this paper, Firstly we define NC-Smarandache curve, then we calculate the curvature and
torsion of NB and TNB- Smarandache curves together with NC-Smarandache curve. Here T,
NandBare Frenet vectors of a curveαand vectorCis unit Darboux vector.
Key words:Smarandache Curves,
Mathematics Subject Classification(2010), 53A04.
*Sorumlu yazar: [email protected]
46
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS
1.GİRİŞ
Eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde birçok çalışmalar mevcuttur. 2008 de M. Turgut
ve S. Yılmaz tarafından yapılan Smarandache Curves in Minkowski Space-time isimli
çalışmada Smarandache eğrileri tanımlanmıştır, [1]. Daha sonra bu eğriler, farklı uzaylarda
farklı çatılar ele alınarak incelenmiş ve yeni sonuçlar elde edilmiştir, [2,3,4,5,6].
2.GENEL BİLGİLER
 :I  IR  E3, s1s,2s,3sregüler birim hızlı bir eğri olsun.
eğrisininFrenet 3-ayaklısı
Tss

 s
Ns 2.1
s


BsTsNs

dır.Eğrinin eğriliği s,torsiyonu  sile gösterilirse
s s

 
 , 2.2
 s

 2

olur. Bu durumda Frenet formülleri
TssNs,


NssTs sBs, 2.3

Bs sNs
şeklinde verilir, [7].  eğrisinin T,N,B Frenet çatısına bağlı olarak oluşan W Darboux
vektörünün B binormal vektörü ile yaptığı açı  ile gösterilirse
47
Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama
 
sin  , cos  2.4
W W
olur ve buradan birim Darboux vektörü
 
C sinT cosB 2.5
şeklinde bulunur.
Tanım 1.1:Konum vektörü, herhangi bir  eğrisinin Frenet çatıları tarafından oluşturulan ve
bu vektör tarafından çizilen regüler eğriye Smarandache eğrisidenir,[1].
Tanım1.2: :I  E3birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı T,N,Bolsun.
1
 s T NeğrisineTN -Smarandache eğrisi, 2.6
TN
2
1
 s N BeğrisineNB-Smarandache eğrisi, 2.7
NB
2
1
 s T N BeğrisineTNB-Smarandache eğrisi denir,[2]. 2.8
TNB
3
TN -Smarandache eğrisinin eğriliği  ve torsiyonu gösterilirse
 
TN TN
2 2 2 2
  , 2.9
TN 22 22
22 2   
 
 
TN 22 22  2 2322
 
 
2.10
22  

22 22  2 2322
 
bulunur. Burada
48
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS
 222 2 


  
 2(22 32  3

 22 22

 32 3

  
 3 2 3 3

 2 32

dır,[2].
3.Smarandache Eğrilerinin Uygulamaları
 :I  E3birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı T,N,Bolsun. Konum vektörü
asTsbsNscsBs
s 3.1
a2sb2sc2s
olan vektörün çizdiği regüler eğriye Smarandache eğrisi denilmektedir.Burada
a sins,b1,ccossalınırsa3.1 ifadesi
1
s sinsTscossBsNs
2
 
olur. 2.5 bağıntısıburada yerine yazılırsa elde edilen yenieğri
1
 s CsNs 3.2
NC
2
olur ve bu eğri NC-Smarandache eğrisi olarak isimlendirilir. eğrisinin yay parametresi
NC
s ile gösterilirse

d ds 1
NC   cosT  sinB 3.3
 
ds ds 2

49
Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama
ds 2  W 2 2 W
olur. Norm alınırsa   bulunur. Buradan  eğrisinin teğet
ds 2 NC
vektörü
cosT  sinB
T s 3.4

NC 2  W 2 2 W
şeklinde olur.Bu ifadenin tekrar türevi alınırsa
 2coscos2sincos4sin22sin22sin
 1
23sincos2 3sin22 22cos2 sincos

2cos22sincossinsin



 3cos33cos32cos222cos24 2sincos
2

22 4 222 32sin22 33sin 3sin222sin2


 2 22cos2sinsincossin24cos
 3
22cos22cos23cos223sincos

coscossin2sincos2sin2

olmak üzere
2T  N  B
T s 1 2 3 3.5
NC 2  W 2 2 W 2
bulunur.  eğrisinin eğriliği  ile gösterilirse
NC 
NC
2  2  2  2
  1 2 3 3.6
NC 2  W 2 2 W 2
50
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS
T s
olur. Diğer yandan N  NC olduğundan asli normal vektör
NC T s

NC
T  N  B
N  1 2 3 3.7

NC 2  2  2
1 2 3
olur. B T N ifadesinden de binormal vektör
  
NC NC NC
 sinT  . sin cosN  cosB
B  2 1 3 2
NC 2  W 2 2 W  2  2  2
1 2 3
 
3.8
şeklinde bulunur. eğrisininikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla,
NC
cos2sinT cossin2 2N sin2cosB
 
NC
2
 
3.9
 cos3sin3cos2cossin32
 1



 2cos22sin3cossin2sin22cos3
2


 3cos23sin2 3
 3
olmak üzere
51
Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama
T  N  B
  1 2 3 3.10
NC
2
olur.2.2bağıntısında3.3,3.9ve3.10ifadeleri yerine yazılırsa eğrisinin 
NC 
NC
torsiyonu
2      
  1 1 2 2 3 3 3.11
NC  2  2  2
1 2 3
şeklinde bulunur. Burada
 2sincos 2sin222sin2 3
 1


    
  2 cos  2  sin3
2


  
  2cos 2sin222 cossin32.
 3
Sonuç 3.1:  :I  E3eğrisinin Frenet çatısı T,N,B,eğriliği  ve torsiyonu  olsun.
NC-Smarandache eğrisinin  eğriliği ve  torsiyonu sırasıyla,
 
NC NC
2  2  2  2
  1 2 3 ,
NC 2  W 2 2 W 2
2      
  1 1 2 2 3 3
NC  2  2  2
1 2 3
şeklinde verilir.
2.7bağıntısındaNB-Smarandache eğrisinin yay parametresis ile gösterilirse

52
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS
d ds 1
NB   T N B 3.12
ds ds 2

ds 1
olur ve norm alınırsa   2 22 bulunur. Buradan  eğrisinin teğet vektörü
ds 2 NB
T N B
T s 3.13

NB 2 22
şeklinde olur.Bu ifadenin tekrar türev alınırsa ve
 22 2 2
 1
    
  3  2 32 22
2

   
 2 2  23
 3
olmak üzere
2T  N  B
T s 1 2 3 3.14
NB 2 222
bulunur. Eğrilik tanımından eğrisinin eğriliği
NB 
NB
2  2  2  2
  1 2 3 3.15
NB 2 222
T s
şeklinde olur. Diğer yandan N  NB olduğundan asli normal vektör
NB T s

NB
T  N  B
N  1 2 3 3.16

NB  2  2  2
1 2 3
53
Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama
olur.B T N ifadesinden de binormal vektör
  
NB NB NB
  T   N   B
B  3 2 1 3 2 1 3.17
NB 2 22 2  2  2
1 2 3
şeklinde bulunur. eğrisininikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla,
NB
  1 T 2 2 N 2B, 3.18
NB
2
 22 
 1
 3 32
2

 
  2 2 3 
 3
olmak üzere
T  N  B
  1 2 3 3.19
NB
2
olur. 2.2bağıntısında3.12,3.18ve3.19ifadeleri yerine yazılırsa eğrisinin
NB 
NB
torsiyonu
222 2   2 22  
 1 2 3
 
NB 22 22  2 2 22 2
   
 
3.20
şeklinde bulunur.
Sonuç 3.2:  :I  E3eğrisinin FrenetçatısıT,N,B,eğriliği  ve torsiyonu olsun.
NB-Smarandache eğrisinin  eğriliği ve torsiyonu sırasıyla,
 
NB NB
54
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS
2  2  2  2
  1 2 3 ,
NB 2 222
222 2   2 22  
 1 2 3
 
NB 22 22  2 2 22 2
   
şeklinde verilir.
2.8bağıntısındaTNB-Smarandache eğrisinin yay parametresi s ile gösterilirse

d ds 1
TNB   T  N B 3.21
 
ds ds 3

ds 6 2 2 
olur ve norm alınırsa   bulunur. Buradan  eğrisinin teğet
ds 3 TNB
vektörü
T  N B
T s 3.22

TNB 2 2 2 
şeklindeolur. Bu ifadenin tekrar türev alınırsa
 222 42 4 2 22 222
 1
 222 42 2 222 2  
2

 22 22 24 22  2
 3
olmak üzere
3 T  N  B
T s 1 2 3 3.23
TNB 4 2 2 2
bulunur.Eğrilik tanımından eğrisinin  eğriliği
TNB 
TNB
55