An accurate numerical-analytical method for computing stresses in rock mass around mining ...

132 Pages·2017·3.17 MB·English

by  Valeria Boccardo Salvo

PONTIFICIAUNIVERSIDADCATOLICADECHILE
SCHOOLOFENGINEERING
AN ACCURATE
NUMERICAL-ANALYTICAL METHOD FOR
COMPUTING STRESSES IN ROCK MASS
AROUND MINING EXCAVATIONS
VALERIA BOCCARDO SALVO
ThesissubmittedtotheOfficeofGraduateStudies
inpartialfulfillmentoftherequirementsfortheDegreeof
DoctorinEngineeringSciences
Advisor:
MARIODURAN
SantiagodeChile,Dic2017
c MMXVII,VALERIABOCCARDOSALVO
(cid:13)
PONTIFICIAUNIVERSIDADCATOLICADECHILE
SCHOOLOFENGINEERING
AN ACCURATE
NUMERICAL-ANALYTICAL METHOD FOR
COMPUTING STRESSES IN ROCK MASS
AROUND MINING EXCAVATIONS
VALERIA BOCCARDO SALVO
MembersoftheCommittee:
MARIODURAN
EDUARDOGODOY
GONZALOYA´N˜EZ
RAFAELBENGURIA
JEAN-CLAUDENE´DE´LEC
JORGEVA´SQUEZ
ThesissubmittedtotheOfficeofGraduateStudies
inpartialfulfillmentoftherequirementsfortheDegreeof
DoctorinEngineeringSciences
SantiagodeChile,Dic2017
c MMXVII,VALERIABOCCARDOSALVO
(cid:13)
Amifamilia,especialmentea
Germa´nyAntonio,graciaspor
darlesentidoamisd´ıas.
ACKNOWLEDGEMENTS
Quisiera agradecer al proyecto MECE Educacio´n superior PUC0710 por la ayuda
recibidapararealizarmisestudios.
A mi supervisor Mario por su tiempo y dedicacio´n, y al equipo de jovenes investi-
gadores que lidera, Ricardo Hein, Carlos Pe´rez, Ignacio Vargas y Juan La Rivera, pues
sin ellos nada de esto habr´ıa sido posible. Especialmente mi reconocimiento a Eduardo
Godoy por su constante apoyo en el desarrollo de esta tesis. Al equipo de INGMAT por
susconsejosyayuda.
A Rafael Benguria, quien desde que era una estudiante de pregrado me ha apoyado,
aconsejado e inspirado. A los profesores Jean-Claude Ne´de´lec, Gonzalo Ya´n˜ez y Jorge
Va´squezlesagradezcoporparticiparenmicomisio´nexaminadorayrevisarestatesis.
A Aldo Valcarce, Sanzia, Rafael Gonza´lez, Mabel Vega, Mauricio Ipinza, Daniela
Cero´n,Sebastia´nSarmientoyCristianGutierrezlesagradezcoporsupacienciaycompan˜ia
enestosan˜os.
Amifamilia,mimadrePatricia,mishermanosAndrea,TamarayMauro,ymissobri-
nosFranco,StefanoyRafaella,porsuamoryapoyo.
FinalmenteaGerma´n,fuimosmuyafortunadosdeencontrarnos,llegasteacambiarmi
vida,llenastedeluzmisojosyderisasmisd´ıas. Graciasporsermicompan˜ero,yelmejor
padrequepodr´ıaexistirparanuestrohijoAntonio.
iv
TABLEOFCONTENTS
ACKNOWLEDGEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
LISTOFFIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
LISTOFTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
1. INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. GENERALMODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. MathematicalModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1. Papkovich-Neuber’sdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. ASIMPLESEMI-INFINITEGEOMETRY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1. Series’ssolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. First set of boundary conditions: free surface boundary condition on the
surfaceoftheplane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Second set of boundary conditions: boundary conditions on the surface of the
semiesphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1. Traction-freeboundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2. Loadedboundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3. Zerodisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.4. Prescribeddisplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Acceleratingtheconvergenceofseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1. AsymptoticbehaviourofLegendre’spolynomials . . . . . . . . . . . 42
3.4.2. Traction-freeboundaryandloadedboundary . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3. Zerodisplacementandprescribeddisplacements . . . . . . . . . . . . 49
3.5. Somecluesabouttheprogramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
v
3.6. Numericalresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.1. Traction-freeboundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2. Loadedboundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.3. Zerodisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.4. Prescribeddisplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. ANEFFICIENTSEMI-ANALYTICALMETHODTOCOMPUTEDISPLACEMENTS 61
4.1. Seriessolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1. Traction-freeboundaryonΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
∞
4.1.2. Axisymmetricboundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2. Numericalenforcementofboundaryconditionsonthehemisphericalpit . . 69
4.2.1. Truncationoftheseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2. Quadraticfunctionalanditsmatrixform . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.3. Linearsystemandmethodofinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3. Numericalresultsandvalidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1. Numericalresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2. Validationoftheprocedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5. ADIRICHLET-TO-NEUMANNFINITEELEMENTMETHODFORAXISYMMETRIC
ELASTOSTATICSINASEMI-INFINITEDOMAIN . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1. Mathematicalformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1. Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2. Axisymmetricelastostaticmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2. FEMformulationinthecomputationaldomain . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1. Equivalentboundedboundary-valueproblem . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.2. Weakformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.3. FEMdiscretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Approximationoftheexactartificialboundaryconditions . . . . . . . . . 89
5.3.1. DefinitionoftheDtNmap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
vi
5.3.2. Numerical enforcement of exact boundary conditions on the artificial
boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.3. Numerical approximation of integral terms involving the DtN map in the
FEMformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4. Numericalexperiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1. Modelproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.2. Implementationaspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4.3. Resultsandaccuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6. Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1. SomepropertiesofLegendrepolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.1. ExpansionoftheoddtermsinpairtermsfromtheLegendrepolynomials114
vii
LISTOFFIGURES
2.1 Geometricalmodeloftheelastoestaticproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Stresscomponentsinsphericalcoordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Boundaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Displacement relative error between our method and the results yielded by
COMSOLinasquareofsize13000m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Displacement for traction-free boundary condition with ν = 0.3, λ = 40.5 GPa,
µ = 27GPa,(cid:37) = 2725kg/m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Stresses for traction-free boundary condition with ν = 0.3, λ = 40.5 GPa,
µ = 27GPa,(cid:37) = 2725kg/m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Stresses for traction-free boundary condition with ν = 0.3, λ = 40.5 GPa,
µ = 27GPa,(cid:37) = 2725kg/m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Displacement for zero displacement boundary condition with ν = 0.3, λ = 40.5
GPa,µ = 27GPa,(cid:37) = 2725kg/m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Stresses for zero displacement boundary condition with ν = 0.3, λ = 40.5 GPa,
µ = 27GPa,(cid:37) = 2725kg/m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Stresses for zero displacement boundary condition with ν = 0.3, λ = 40.5 GPa,
µ = 27GPa,(cid:37) = 2725kg/m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1 StructureofmatricesQ(AA) ,Q(AB) andQ(BB). . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 RelativeerrorofthesolutionbetweentwosuccessiveiterationsinN. . . . . . 77
4.3 PlotsofdisplacementandstresscomponentsobtainedinΩ. . . . . . . . . . . 78
4.4 SchematicrepresentationofthedomainΩtruncatedbyasquareboxoflengthL. 79
4.5 ComparisonofdisplacementcomponentsonΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
h
4.6 ComparisonofstresscomponentsonΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
h
viii
4.7 Relative errors associated with the displacement vector and the stress tensor on
Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
h
5.1 Axisymmetricsemi-infinitedomain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Axisymmetriccomputationaldomain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Axisymmetricsemi-infiniteresidualdomain. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Twooftheconsideredstructuredtriangularmeshes. (a)I = 5. (b)I = 10. . . 103
5.5 Computeddisplacementcomponents. (a)uh(ρ,z). (b)uh(ρ,z). . . . . . . . . 104
ρ z
5.6 Computed stress components. (a) σh(ρ,z). (b) σh(ρ,z). (c) σh(ρ,z). (d)
ρ θ z
σh (ρ,z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ρz
5.7 Log-logplotofE infunctionofh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
u
ix
LISTOFTABLES
2.1 Relationshipbetweenthedifferentconstantsthatcharacteriseamaterial. . . . 14
3.1 Comparison of the absolute error between the semi-analytical solution and the
modelimplementedinCOMSOLinasquareofside10000m. . . . . . . . . 55
3.2 Comparison of the absolute error between the semi-analytical solution and the
modelimplementedinCOMSOLinasquareofside10000m. . . . . . . . . 55
4.1 Numericalvaluesofthephysicalparameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1 Parametersofthestructuredtriangularmeshesconsidered. . . . . . . . . . . 103
5.2 Somecomponentsofthesolutionevaluatedatpoints(0,R)and( R,0). . . . 106
−
x