Alpha Gamma-modules de de Rham et fonctions L p-adiques

154 Pages·2017·1.58 MB·French

Université Pierre et Marie Curie
École doctorale de sciences mathématiques de Paris centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiques
présentée par
Rodrigues Jacinto
Joaquín
(ϕ,Γ)-modules de de Rham et fonctions L p-adiques
dirigée par Pierre Colmez
Rapporteurs :
M. Denis Benois Université de Bordeaux
M. Henri Darmon McGill University
Soutenue le 25 novembre 2016 devant le jury composé de :
M. Denis Benois Université de Bordeaux rapporteur
M. Pierre Colmez Université Pierre et Marie Curie directeur
M. Olivier Fouquet Université Paris-Sud examinateur
M. Jan Nekovář Université Pierre et Marie Curie examinateur
M. Jacques Tilouine Université Paris 13 examinateur
2
Institut de mathématiques de Jussieu- Université Pierre et Marie Curie.
Paris Rive gauche. UMR 7586. École doctorale de sciences
Boîte courrier 247 mathématiques de Paris centre.
4 place Jussieu Boîte courrier 290
75252 Paris Cedex 05 4 place Jussieu
75252 Paris Cedex 05
3
A mi familia : Mis papás Emma y Amilcar, mis
hermanos Agustín Manuel y Nicolás y mi abuela
Lidia
A Paula
A la memoria de Maria Amelia Muschietti
4
Remerciements
soy otro cuando soy, los actos míos
son más míos si son también de todos,
para que pueda ser he de ser otro,
salir de mí, buscarme entre los otros,
los otros que no son si yo no existo,
los otros que me dan plena existencia
Octavio Paz, Piedra de sol
Mesplussincèresremerciementsvontd’embléeàmondirecteurdethèsePierreColmez.
Je lui dois l’existence de cette thèse ainsi que l’essentiel de mes connaissances mathéma-
tiques. Je le remercie pour le sujet qu’il m’a proposé, sa correction infiniment soigneuse du
manuscrit, sa patience face à mon incapacité à recopier une formule sans introduire une
erreur, ainsi que toutes les heures qu’il a investies à m’écouter et à clarifier mes questions
souvent triviales. Ses réponses, tantôt précises, tantôt obscures, ont toujours su acquérir
une signification éclairante après une longue période de réflexion.
Je suis très reconnaissant auprès de Denis Benois et Henri Darmon qui ont très genti-
ment accepté la tâche d’être les rapporteurs cette thèse. Je remercie aussi Olivier Fouquet,
Jan Nekovar et Jacques Tilouine d’avoir accepté de faire partie du jury.
Je remercie mes amis Arthur-César Le Bras, pour son rôle polyvalent d’ami, collègue
et colocataire et le plaisir de nos conversations; Valentin Hernández pour ses blagues
absolument extraordinaires; Ildar Gaisin avec qui j’ai appris beaucoup de mathématiques
ces derniers mois, ce qui a aboutit à un travail en comun; Macarena Peche pour son esprit
si positif. Je tiens à les remercier de leur amitié et de leur compagnie le long la composition
de cette thèse et mon séjour en France.
Je remercie ensuite tous les gens du couloir de Jussieu, particulièrement mes cobureaux
pour leur compagnie de tous les jours : Maÿlis, ses cartes postales et ses biscuits, Liana et
Jérémy; Andrés, Viet, Marc, Emmanuel et XiaoHua qui ont suivi la même route depuis le
master; et Nicolina et Hsueh-Yung, qui ont d’ailleurs dû supporter habiter avec moi.
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Agradezco a mi familia que me define y me da la certidumbre de existir.
Muchosprofesoresmeayudaronenormementeenmicarrera,agradezcoenparticulara:
Fernando Cukierman, Roberto Miattelo, Fidel Schaposnik, Alberto Maltz y Maria Amelia
Muschietti.
AlosmuchosygrandesamigosqueencontréenFrancia:Pablito,Mati,Fer,Juan,Caro,
Marco, Aless, Fede, Hanane, Léa, Anahí, Ceci. Por consiguiente, a la Casa Argentina que
me permitió conocerlos.
AalgunosamigosdeArgentina,quedevinieronindependientesdeltiempo:LeoyJuan;
Nahuel, Rami, Leo, Fidel, Gabi, Dani, Lau y Nico; Hernán y Pablo.
Y a Pau.
Résumé
Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs
sur Q et, plus particulièrement, des formes modulaires.
Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour
construire, pour une représentation p-adique de de Rham V du groupe de Galois absolu
G de Q (ou, plus généralement, un (ϕ,Γ)-module de de Rham sur l’anneau de Robba)
Qp p
et un système compatible d’éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en
utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez,
Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes
aux caractères localement algébriques.
Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension 2. On démontre,
en s’inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement
de poids de Colmez introduites pour l’étude des vecteurs localement algébriques dans la
correspondance de Langlands p-adique pour GL (Q ), une équation fonctionnelle pour
2 p
notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on
fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura complétant la preuve de la
conjecture ε locale de Kato pour les représentations de dimension 2. Pour le motif associé
à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées
par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction L complexe de
cette forme.
Mots-clés
Fonctions L p-adiques, formes modulaires, (ϕ,Γ)-modules, théorie d’Iwasawa, correspon-
dance de Langlands p-adique.
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de Rham (ϕ,Γ)-modules and p-adic L-functions
Abstract
This thesis studies the construction of p-adic L-functions associated to motives over Q
and, in particular, to modular forms.
In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to
construct,foranyp-adicdeRhamrepresentationV oftheabsoluteGaloisgroupG ofQ
Qp p
(or, more generally, any de Rham (ϕ,Γ)-module over the Robba ring) and any compatible
system of global elements, a p-adic L-function. We show, by the use of some reciprocity
laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that
these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.
The last three chapters deal with the particular case of dimension 2. We show, inspired
by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by
Colmez for the study of locally algebraic vectors in the p-adic Langlads correspondence for
GL (Q ),thatourp-adicL-functionsatisfiesafunctionalequation.Asanapplicationofour
2 p
functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing
a complete proof of Kato’s local ε-conjecture for 2-dimensional representations. For the
motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated
values of the p-adic L-function in terms of special values of the complex L-function of the
form.
Keywords
p-adic L-functions, modular forms, (ϕ,Γ)-modules, Iwasawa theory, p-adic Langlands cor-
respondence.
Table des matières
Introduction 13
0.1 Le cas de pente finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.2 Le système d’Euler de Kato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.3 La série principale unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3.1 Cohomologie complétée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3.2 Symboles modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.4 Le cas supercuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.4.1 Valeurs spéciales des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.4.2 Conjecture de Bloch-Kato pour les formes modulaires . . . . . . . . 21
0.4.3 Plongements p-adiques des valeurs spéciales . . . . . . . . . . . . . . 22
0.4.4 L’équation fonctionnelle en dimension 2 et valeurs aux entiers positifs 24
0.4.5 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.5 Équation fonctionnelle et conjecture ε locale de Kato . . . . . . . . . . . . . 28
0.5.1 L’équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
0.5.2 La conjecture ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.6 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.7 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1 Le cas trivial 31
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.1 Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.2 Dictionnaire d’analyse fonctionnelle p-adique . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.3 Caractères de Z× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
p
1.1.4 L’espace des poids p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2 Prolongement analytique de k (cid:55)→ ∂k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 Intégration et spécialisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Le cas cristallin 45
2.1 Le cas cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9
10 TABLE DES MATIÈRES
2.2.1 Théorie de Hodge p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Application exponentielle de Bloch-Kato et sa duale . . . . . . . . . 46
2.2.3 Cohomologie d’Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 (ϕ,Γ)-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.5 La loi de réciprocité de Cherbonnier-Colmez . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.6 La loi de réciprocité de Perrin-Riou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 La fonction L locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Distributions à valeurs dans D (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
cris
2.3.2 Bases et modules de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Interpolation des exponentielles duales . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.4 Interpolation des exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Le cas de Rham 57
3.1 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Généralités sur les (ϕ,Γ)-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Sous-modules naturels de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Théorie de Hodge p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 L’équation différentielle p-adique N (D) . . . . . . . . . . . . . . . 60
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3.2.4 Les anneaux de Fontaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.5 Théorème de monodromie p-adique et surconvergence . . . . . . . . 63
3.2.6 (ϕ,Γ)-modules relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.7 Cohomologie des (ϕ,Γ)-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.8 Cohomologie d’Iwasawa des (ϕ,Γ)-modules . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.9 Applications exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.10 Exponentielle de Perrin-Riou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 La fonction L locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.1 Distributions à valeurs dans ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 Prolongement analytique de k (cid:55)→ ∂k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.3 Bases et modules de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.4 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.5 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.6 Interpolation des applications exponentielles duales . . . . . . . . . . 79
3.3.7 Interpolation des applications exponentielles . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.8 Le cas de poids de Hodge-Tate positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Fonction L locale et accouplement d’Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1 Faisceaux P-équivariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2 Multiplicaton par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 Algèbres de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.4 Dual de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85