Allgemeine Relativitätstheorie und relativistische Astrophysik

424 Pages·1988·4.806 MB·German

by  Norbert Straumann (auth.)

Lecture Notes
ni Physics
Edited by .J Ehlers, .K ,nehcn~LM Hepp, Z0rich
.R Kippenhahn, M(Jnchen, .H .A Heidelberg WeidenmQtler,
and .J Zittartz, nISK
Managing Editor: .W Beiglb6ck, Heidelberg
051
Norbert nnamuartS
AIIgemeine eiroehtst~tivitaleR
dnu relativistische Astrophysik
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY 1891,
Autor
Norbert Straumann
Institut f(Jr Theoretische Physik der Universit~t Z~rich
Sch~nberggasse 9, CH-8001 Z~rich
ISBN 3-540-11182-4 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-38?-11182-4 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
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© yb galreV-regnirpS Heidelberg Berlin 1891
detnirP ni ynamreG
gnitnirP dna Beltz binding: ,kcurdtesffO .rtsgreR/hcabsmeH
012345-0413/3512
V 0 R W 0 R T
Im Sommer und Winter 1979 hielt ich im Nachdiplom-Zyklus der ETH und
der Universit~t ZOrich, sowie im Rahmen des Troisi~me Cycle der West-
schweizer-Universit~ten in Lausanne Vorlesungen Ober allgameine Relati-
vit~tstheorie und relativistische Astrophysik. Der vorliegende Band
enth~it die fast unver~nderten Notizan, die den Studierenden w~hrend
der Kurse verteilt wurden, um ihnen das Mitschreiben zu ersparen. Bei
deren Abfassung habe ich nicht an eine weitere Verbreitung gedacht°
Positive Reaktionen yon verschiedener Seite, sowie eine Empfehlung v~n
J. Ehlers, haben dazu gefOhrt, dass das Vorlesungsskriptum in die Lec-
ture Note Serie aufgenommen wurde. (Den kosmologischen Tail habe ich
allerdings weggelassen.)
In Respektierung yon Sprachenminorit~ten wurden die sp~teren Teile ur-
sprOnglich auf englisch verfasst. Auf Wunsch von Jo Ehlers habe ich die-
se, allerdings mit betr~chtlicher Verz~gerung, mit einigen Aenderungen
ins Deutsche zurOckObersetzt°
Ich hoffe, damit einen kleinen Beitrag dazu geleistet zu haben, dass
die allgemeine Relativit~tstheorie auch im deutschen Sprachraum wieder
vermehrt gelernt und unterrichtet wirdo Es ist doch ziemlich grotesk,
wenn ein ausgebildeter Physiker in der 2o H~lfte des 20. Jahrhunderts
von dieser grossartigen Theorie und deren faszinierenden Anwendungen
nicht mehr weiss als eine Katze vom Vaterunser.
J. Ehlers danke ich for eine Reihe von wertvollen Verbesserungsvor-
schl~gen° Meinen Mitarbeitern M° Camenzind, M. Schweizer und A. Wipf
bin ich for viele Diskussionen und ihre Hilfe beim Korrekturenlesen zu
grossem Dank verpflichtet. Danken m~chte ich auch G. Wanders for die
Einladung, in Lausanne Vorlesungen zu halten° Mein Dank gilt ferner
Frau D° Oeschger for ihre MBhe beim Tippen des Manuskripts und meiner
Frau Maria for ihre Geduld.
I N HA LTS V ERZ E I C H N I S
TEIL 1 : DIFFERENTIALGEOMETRISCHE HILFSMITTEL DER ALLGEMEINEN
RELATIVITAETSTHEORIE
.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 2
2. Tangentialvektoren, Vektor- und Tensorfelder 7
3° Die Liesche Ableitung 20
4, Differentialformen 26
,5 Affine Zusammenh~nge 50
TEIL 2 : ALLGEMEINE RELATIVITAETSTHEORIE 81
KAPITEL .I OAS AEQUIVALENZPRINZIP 86
.1 Charakteristische Eigenschaften der Gravitation 86
2. Spezielle Relativit~tstheorie und Gravitation 91
3. Raum und Zeit als Lorentzsche Mannigfaltigkeito 95
Mathematische Formulierung des Aequivalenzprinzips
4. Die physikalischen Gesetze in Anwesenheit von
Gravitationsfeldern 98
.5 Oer Newtonsche Grenzfall 105
6. Die Rotverschiebung in statischen Gravitationsfeldern 107
7, Das Fermatsche Prinzip fur statische Gravitationsfelder 109
8o Geometrische Optik in Gravita~ionsfeldern lll
9. Statische und station~re Felder ll5
lO. Lokale Bezugssysteme und Fermi-Transport 124
KAPITEL II. DIE NEHCSNIETSNIE NEGNUHCIELGDLEF 138
1. Die physikalische Bedeutung des KrQmmungstensors 139
2. Die Feldgleichungen der Gravitation 144
3. Lagrange Formulierung 153
4. Nichtlokalisierbarkeit der Gravitationsenergie 167
.5 Der Tetraden Formalismus 169
6, Energie, Impuls und Drehimpuls der Gravitation
for isolierteSysteme 179
7. Bemerkungen zum Cauchy-Problem 188
8, Oie Charakteristiken der Einsteinschen Feldgleichungen 191
lV
KAPITEL IIIo DIE SCHWARZSCHILD-LOESUNG UND DIE KLASSISCHEN TESTS DER
ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEORIE 194
1. Herleitung der Schwarzschild-L~sung 195
2, Bewegungsgleichungen im Schwarzschild-Feld 202
3. Periheldrehung eines Planeten 205
4. Die Lichtablenkung 208
,5 Laufzeitverz~gerung von Radar-Echos 214
6. Geod~tische Pr~zession 218
7, Gravitationskollaps und schwarze L~cher (1. Teil) 222
Anhango Sph~risch symmetrische Gravitationsfelder 246
KAPITEL IV. SCHWACHE GRAVITATIONSFELDER 254
l° Die linearisierte Gravitationstheorie 254
2. Fast Newtonsche Gravitationsfelder 261
3. Gravi~ationswellen in der linearisierten Theorie 263
4. Das Gravitationsfeld in grossen Entfernungen
von den Quellen 272
5. Emission yon Gravitationsstrahlung 280
KAPITEL V. DIE POST-NEWTONSCHE NAEHERUNG 290
.1 Die Feldgleichungen in der post-Newtonschen N~herung 290
2, Asymptotische Felder 300
3. Die post-Newtonschen Potentiale fur ein System
von Punktteilchen 304
4, Die Einstein-Infeld-Hoffman Gleichungen 308
.5 Pr~zession eines Kreisels in der PN-N~herung 317
TEIL 3 : RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK 323
LETIPAK EVIN. RETSNENORTUEN 324
1. Absch~tzungen und Gr~ssenordnungen 326
2. Relativistische Sternstrukturgleichungen 332
3. Stabilit~t 338
4. Das Innere von Neutronensternen 341
5. Modelle for Neutronensterne 346
6. Schranken fur die Masse von nichtrotiersnden
Neutronensternen 349
7, KOhlung von Neutronensternen 358
llV
KAPITEL VII. ROTIERENDE SCHWARZE LOECHER 382
ol Analytische Form der Kerr-Newman Familie 383
2. Asymptotische Felder, g-Faktor des schwarzen Loches 384
3o Symmetrien von g 386
4. Statische Grenze und station~re Beobachter 387
.5 Horizont, Ergo-Sphere 388
6. Koordinatensingularit~t am Horizont, Kerr-Koordinaten 390
7. Singularit~t der Kerr-Newman Metrik 390
8. Struktur der Lichtkegel 391
9o Penrose-Mechanismus 392
lOo Oer 2. Hauptsatz der Physik der schwarzen L~cher 393
llo Bemerkungen zum realistischen Kollaps 396
KAPITEL VIII. BINAERE ROENTGENQUELLEN 398
ol Kurze Geschichte der R~ntgenastronomie 398
2. Intermezzo: Zur Mechanik in Bin~rsystemen 399
3. R~ntgenpulsare 402
4. Burster 405
5. Cygnus X-l, ein schwarzes Loch ? 408
6. Evolution von bin~ren Systemen 412
Literatur-Verzeichnis 415
TEIL 1 :
DIFFERENTIALGEOMETRISCHE HILFSMITTEL
DER ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEORIE
In diesem rein mathematischen Teil stellen wir die wichtigsten diffe-
rentialgeometrischen Hilfsmittel der ART zusammen.
Die folgende Darstellung entspricht einigermassen den heutigen Gebr~u-
chen im Mathematik-Unterricht (ich werde abet zoB. auf die Benutzung
yon FaserbBndeln verzichten). Die moderne differentialgeometrische
Sprache und der intrinsische KalkOl auf Mannigfaltigkeiten haben sich
in den letzten Jahren auch bei den "allgemeinen Relativisten" durchge-
setzt und beginnen in LehrbOcher Ober ART einzudringen. Oies hat ver-
schiedene Vorteile. Oazu geh~ren:
(i) Es wird m~glich, die mathematische Literatur zu lesen und even-
tuell for physikalische Fragestellungen nutzbar zu machen.
(ii) Die grundlegenden Begriffe, wie differenzierbare Mannigfaltig-
keit, Tensorfelder, affiner Zusammenhang, etc., erhalten eine klare
(intrinsische) Formulierung.
(iii) Physikalische Aussagen und Begriffsbildungen werden nicht durch
Abh~ngigkeiten der Koordinatenwahl verdunkelt. Zugleich wird die Rolle
der Koordinaten bei physikalischen Anwendungen gekl~rt. (Oiese lassen
sich z.B° an intrinsische Symmetrien adaptieren.)
(iv) Auch for praktische Rechnungen ist beispielsweise der ~ussere
KalkOl for Differentialformen ein sehr kr~ftiges Hilfsmittel, welches
oft schneller zum Ziele fOhrt als die ~iteren Methoden.
~l. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der "lokal so aus-
sieht" wie der ~mit der Oblichen Topologie.
Definition :l Eine n-dimensionale topoloqische Manniqfaltigkeit Mist
ein topologischer Hausdorff-Raum mit abz~hlbarer Basis der Topologie,
dsr Iokal hom~omorph zum ~ist. Dis letzte Bedingung bedeutet, dass
s8 zu jedem Punkt ~ eine offene Umgebung ~ von ~ und einen
Hom~omorphismus
mit einer offenen Menge~C~ ~ gibt.
Nur nebenbei erw~hnen wit, dass eine topologische Mannigfaltigkeit M
auch die folgenden topologischen Eigenschaften hat:
)i( M ist ~- kompakt
)ii( M ist parakompakt und die Zahl der Zusammenhangskompo-
nenten ist h~chstens abz~hlbar.
Die Eigenschaft (ii) ist vor allem f~r die Integrationstheorie wichtig.
(FOr einen Beweis siehe z.B. (cid:127)2], Kap. ,II ~ 15.)
Definition :2 Ist n M sine topologische Mannigfaltigkeit und ~:3J~ p
sin Hom~omorphismus einer offenen Teilmengs-L~M mit der offenen Teil-
menge ~ , so heisst h sine Karte von M , und U das zugeh~rige
Karten~ebiet. "Eine Menge von Karten L k ~ ~ wit Gebieten ~ heisst
Atlas yon M , wenn ~.~J'~u~. Zu zwei Karten ~as~ sind auf dew
Durchschnitt ihrer Gebiete ~:~/~.~ beide Hom~omorphismen ~s~
definiert, und man erh~lt daher einen Kartenwechsel ~als Hom~omor-
phismus zwischen offenen Mengen des ~ durch das kommutative Diagramm:
also wo 1otztere Abbildung dBfinisrt ist [Zeichne
sins Figur.] Gelegentlich ist ee gOnstig, auch das Definitionsgebiet
einer Abbildung, insbssondere einer Karts, mitzunotieren; wir schrei-
ben dann ~)~L~ for die Abbildung ~: ~----~'~/.
Definition 3: Fin Atlas einer Mannigfaltigkeit heisst differenzierbar,
wenn alle seine Kartenwechsel differenzierbar sind. Dabei wollen wir
der Einfachheit halber unter einer differenzierbaren Abbildunq des I~ -~
hier und im folgenden eine ~-Abbildung verstehen [d.h. eine Abbildung,
deren s~mtliche partielle Ableitungen existieren und stetig sind]. Well
for Kartenwechsel offenbar (wo die jeweiligen Abbildungen definiert
sind) gilt:
so sind auch die Invereen der Kartenwechsel differenzierbar, d.h. die
Kartenwechsel sind Diffeomorphismen.
Iet ~ ein differenzierbarer Atlas auf der Mannigfaltigkeit M , so
enthalte der Atlas ~ genau alle jene Karten, for die jeder Karten-
wechsel wit einer Karte awe ~ differenzierbar ist. Der Atlas ~CO~
ist dann ebenfalls differenzierbar, denn lokal kann man einen Karten-
wechsel ~ in ~J~) als Zusammensetzung ~ o ~ von Karten-
wechseln mit elmer Karte ~ schreiben, und Differenzierbarkeit
ist sine lokale Eigenschaft. Oer Atlas ~ ist unter den differen-
zierbaren Atlanten offenbar maximal: ~E~ kann nicht durch Hinzunahme
weiterer Karten vergr~ssert werden und ist der gr~sste differenzierbare
Atlas, der ~ enth~lt. So bestimmt jeder differenzierbare Atlas
eindeutig einen maximalen differenzierbaren Atlas ~ , so dass
; und ~ = ~ g e n a u damn, wenn der Atlas~U~ differen-
zierbar ist.
Definition 4: Eins differenzierbare Struktur auf einer topologiechen
Mannigfaltigkeit ist ein maximaler differenzierbarer Atlas. Eins diffe-
renzierbare Manniqfaltiqkeit ist sine topologische Mannigfaltigkeit,
zusammen mit einer differenzierbaren Struktur.
Um eine differenzierbare Struktur auf einer Mannigfaltigkeit anzugeben,
hat man einen differenzierbaren Atlas anzugeben. Diesen wird man im
allgemeinen nicht maximal, sondern vielmehr m~glichst klein w~hlen. Von
allen Kartsn und Atlanten einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit
differenzierbarer Struktur ~ wollen wir fortan stillschweigend an-
nehmen, dass sie in ~ enthalten sind° In der Bezsichnung schreiben
wir kurz M , und nicht ~j~ for eine differenzierbare Mannigfaltig-
keit.
Beispisle: (a) M ~ ~ . Die Karte (H~) liefert einen Atlas und de-
finiert die Obliche differenzierbare Struktur dee ~ .
(b) Eine offene Teilmenge einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit be-
sitzt eine offensichtliche differenzierbare Struktur.
Definition :5 Eine stetige Abbildung ~ : ~ ~ zwischen zwei
diffb. Mannigfaltigkeiten heisst differenzierbar im Punkte ~ ~,
wenn for eine (und damit for jede )'. Karte h :-~.___~p~.~t , ~
/
und ~ ~ ' V ' ~ { ~ ,von ~ bzw. von ~ die Zusammensetzung
differenzierbar im Punkte - ~C~ I~L- ist; beachte, dass diese
Abbildung in der Umgebung ~V~AT.T~ von k@~ definiert ist
~mache eine Zeichnung]. Die Abbildung ~ heisst differenzierbar,
wenn sie in jedem Punkte ~ differenzierbar iet. Mit andern Worten:
~ e ~-4 ist der "Koordinatenausdruck" von ~ bezOglich der Karten
h und k , und for diesen ist klar, was differenzierbar bedeutet.
Bemerkung: Die Identit~t und die Zusammensetzung von differenzierba-
ren Abbildungen sind differenzierbar. Deshalb bilden die differenzier-
baren Mannigfaltigkeiten eine Kategorie.
8ezeichnunqen: Es sei C ~ ° ~ = Menge der diffb. Abbildungen ~--~.
J
Definition 5: Ein Diffeomorphismus ist eine diffb, bijektive Abbil-
dung ~ , deren Inverse ~l ebenfalls diffb, ist.
3ede Karte ~L~ ~-L7 !von M let ein Oiffeomorphismus zwischen
und ~l , wo ~Z die Standardstruktur als offene Menge des I~ ~ tr~gt.
Die Differentialtopologie handelt von Eigenschaften, die bei Anwendung
von Diffeomorphismen unver~ndert bleiben.
Nebenbemerkunq: Es ist eine sehr schwierige Frage, ob auf einer topo-
Iogischen Mannigfaltigkeit sich zwei verschiedene differenzierbare
Strukturen so einfOhren lassen, dass die entstehenden diffb. Mannig-
faltigkeiten nicht diffeomorph sind. Man weiss z.B. (Kervaire + Milnor
1963), dass die topologische ~ -Sphere genau 15 verschiedene, unter-
einander nicht diffeomorphe Strukturen besitzt.
Definition 7: Eine differenzierbare Abbildung ~ : ~ heisst eine
t
Immersion, falls in der Definition 5 die Karten ~:~--~.~JC~'.V-~P%/C~
so gew~hlt werden k~nnen, dace ~o~o~-~:~{V~----P~J die Inklusion ist,
wenn ~ir ~ ale I~XOC~ ~ aoffaesen .s( FiO.~