Allgemeine Relativitaetstheorie 002

289 Pages·1993·1.36 MB·German

Allgemeine Relativit(cid:127)atstheorie
Petr Hajicek
M(cid:127)arz 2003
2
Einfu(cid:127)hrung
Die Allgemeine Relativit(cid:127)atstheorie (ART) wurde am Anfang voriges Jahrhunderts
von einem einzigen Mann in einem bewunderungswerten Alleingang gescha(cid:11)en. Die
Aufgabe war, die Newtonsche Theorie der Gravitation und die Spezielle Relati-
vit(cid:127)atstheorie zu \verheiraten". Die ersten Versuche waren etwa darauf ausgerichtet,
das Gravitationspotential als ein Feld in der Minkowskischen Raumzeit zu betrach-
ten. Nichts aber wollte gelingen; es dauerte etwa 10 Jahre, bis Einstein endlich das
Problem l(cid:127)oste. Die Schwierigkeit war, dass dabei sowohl die alte Gravitationstheo-
rie, als auch die junge Spezielle Relativit(cid:127)atstheorie modi(cid:12)ziert werden mussten. Die
n(cid:127)achsten 50Jahrewarenschwierig fu(cid:127)rdieTheorie,daihreexperimentelle Basisrecht
du(cid:127)nn blieb und ihre schwierige mathematische Struktur nicht gut verstanden wur-
de. In den letzten 40 Jahren blu(cid:127)hte aber die Theorie auf. Mit der Verbesserung der
Technik und dem grossen Fortschritt in den astronomischen Beobachtungsmethoden
erweiterte sich der Kreis der beobachtbaren Fakten, zu welchen die ART anwendbar
ist, so dass sie heute eine der bestens experimentell unterstu(cid:127)tzten Theorien ist und
viele konkurierende Theorien widerlegt wurden. Auch die konzeptuellen und mathe-
matischen Grundlagen werden viel besser verstanden. Heute dient die ART als Basis
der modernen Astrophysik und der Raumforschung, deren faszinierende Resultate
auch immer mehr Leute interessieren.
Die ART ist eine sehr fruchtbare Theorie; sie hat mehrere neue, u(cid:127)berraschende
E(cid:11)ekte vorhergesagt. Die bekanntesten Beispiele sind:
Die dynamische Kosmologie Die L(cid:127)osungen der Einstein-Gleichungen, welche
die Kosmologie beschreiben, sind nicht statisch. Die ersten sind von Friedmann ge-
funden worden, und sie alle beginnen in einem singul(cid:127)aren Punkt, wo alle Materie
zusammengedr(cid:127)angt wird: in dem sog. Big Bang. Das heisst: unser Weltall is ein Ue-
berrest einer riesigen Explosion. Die Big Bang Kosmologie is heute eine erfolgreiche
Theorie.
Die Gravitationsstrahlung In der Newton-Theorie berechnet man das Gravita-
tionspotential(cid:8)(t;r),zurZeittausderMassendichte (cid:26)(t;r)zurgleichen Zeitmittels
i
der Poisson-Gleichung:
(cid:1)(cid:8) = 4(cid:25)G(cid:26):
Eine Aenderung der Quelle (cid:26) (cid:127)aussert sich also augenblicklich in der Form des Gravi-
tationspotentials u(cid:127)beralll(cid:127)angsderGleichzeitigkeitsebene. DasFeldistabermessbar;
die Information u(cid:127)ber die Bewegung der Quelle breitet sich also unendlich schnell im
Gravitationsfeld aus. In einer relativistischen Theorie kommt h(cid:127)ochstens die Lichtge-
schwindigkeit fu(cid:127)r eine Signalausbreitung in Frage. Diese gravitativen Signale, welche
Energie und Information mit einer endlichen Geschwindigkeit tragen, heissen Gravi-
tationswellen. Die Existenz einer solchen Strahlung ist eine starke Modi(cid:12)kation der
Newton-Theorie.
Die schwarzen L(cid:127)ocher Betrachten wir eine Quelle mit Masse M und Gravitati-
onspotential (cid:8)(r) = GMr(cid:0)1. Auf ein Probeteilchen mit Masse m wirkt in diesem
(cid:0)
Feld eine Anziehungskraft, welche Arbeit verrichten kann. Wenn wir das Teilchen
von r = bis zur Distanz r von der Quelle heranbringen, kann im Prinzip die
1
Arbeit A(r) = m(cid:8)( ) m(cid:8)(r) = m(cid:8)(r) = GMmr(cid:0)1 geleistet werden. Die
1 (cid:0) (cid:0)
dazu notwendige Energie kann nicht vom Gravitationsfeld der Quelle kommen: im
Unterschied zum analogen Versuch in der Elektrodynamik wird das Addieren des
Teilchens zur Quelle deren Feld verst(cid:127)arken. Die \Ladungen" sind beide positiv im
Gravitationsfall, hingegen ist die eine positiv und die andere negativ im elektrischen
Fall. Die Arbeit muss also von der Ruheenergie des Teilchens stammen. Aus der
Erhaltung der Energie folgt dann aber, dass
GMmr(cid:0)1 mc2:
(cid:20)
Das ergibt die Existenz eines minimalen Radius, R :
G
G
R = M; (1)
G
c2
so, dass man entweder aus einer gr(cid:127)osseren Tiefe als R keine Energie mehr sch(cid:127)opfen,
G
oder dass keine Quelle unter den Radius R konzentriert sein kann. R heisst
G G
Gravitationsradius der Masse M.
Warum man etwa von unterhalb des Gravitationsradius keine Energie herausho-
len kann, zeigt eine andere Absch(cid:127)atzung. Berechnen wir die Entfernung von unse-
rer kugelsymmetrischen Quelle, wo die Fluchtgeschwindigkeit den Wert v hat. Die
Fluchtgeschwindigkeit ist bekanntlich die Geschwindigkeit der kreisf(cid:127)ormigen Bahn
am gegebenen Radius. Diese Bahn erfu(cid:127)llt die Gleichung:
Mm mv2
G = :
r2 r
ii
(Gravitative Zentripetalkraft = Zentrifugalkraft). Dann gilt fu(cid:127)r die gesuchte Entfer-
nung r
G
r = M;
v2
und fu(cid:127)r v = c haben wir r = RG. Kein energie- oder informationstragendes Signal
kann also von unterhalb des Gravitationsradius zu uns vordringen. Die Objekte,
deren Ausmasse mit deren Gravitationsradius vergleichbar sind, heissen schwarze
L(cid:127)ocher. Bei der Existenz von schwarzen L(cid:127)ochern handelt sich es klar um eine Modi-
(cid:12)kation der Speziellen Relativit(cid:127)atstheorie. Die Existenz der Gravitationsstrahlung
undderschwarzen L(cid:127)ocheristheuterelativgutdurchindirekte Beobachtungenbelegt
worden.
DieART steht aufzwei Beinen: Eines ist die geometrische Deutungder Gravitati-
on, das andere die Einstein-Gleichungen. Der erste Teil des Skriptums versucht, die
geometrische Deutung klar zu machen und die schwierige konzeptuelle Struktur auf-
zukl(cid:127)aren. Der zweite Teil enth(cid:127)alt dann die wichtigsten Anwendungen: Kosmologie,
Gravitationskollaps undund schwarze L(cid:127)ocher. DieGravitationsstrahlung istkonzep-
tuell wichtig aber sehr schwach in Wirkung; sie ist nicht einmal direkt beobachtet
worden.
W(cid:127)ahrend der vielen Jahre, in denen dieses Skript entstanden ist, haben mir einige
Studenten geholfen sowohl durch ihre Fragen bei den Vorlesungen, als auch mit For-
mulationen und Grammatik der Deutschen Sprache. Zu erw(cid:127)ahnen sind insbesondere
Martin Sch(cid:127)on, Matthias Zu(cid:127)rcher und Matthias Peter Burkhardt.
iii
Inhaltsverzeichnis
I Die Geometrische Deutung der Gravitation ix
1 Geometrisierung der Dynamik 1
1.1 Ausgew(cid:127)ahlte Tatsachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Cavendish Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 E(cid:127)otv(cid:127)os Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Ablenkung des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Das Aequivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Newton-Galilei-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Die kr(cid:127)aftefreien Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Ein A(cid:14)ner Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Kurven und Tangentvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3 A(cid:14)ner Zusammenhang einer Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . 11
1.5.4 Der metrische AZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Cartan-Friedrichs-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Kru(cid:127)mmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Das Aequivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8.1 Galilei-Aequivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8.2 Geod(cid:127)atische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.3 Lokale Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.4 Formulierung des Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.9 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Relativistische Teilchendynamik im Gravitationsfeld 41
2.1 Relativistische Gravitationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Geometrie der Minkowski-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Teilchendynamik in der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Lokale Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
iv
2.4.1 Allgemeines Bezugsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Radarmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.4 Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.5 Abst(cid:127)ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.6 Spektra und Richtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Statische Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 3-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Freie F(cid:127)alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3 Gravitationsbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.4 Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.5 Verlangsamung des Uhrganges
in starkem Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Isometrie (Mathematisches Intermezzo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.1 Rotation in E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.2 Di(cid:11)eomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.3 Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.4 Killing-Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 Rotationssymmetrische Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7.1 Rotations(cid:13)(cid:127)achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7.2 Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.7.3 Geod(cid:127)atische Gleichung im statischen Fall . . . . . . . . . . . . 77
2.8 Asymptotisch (cid:13)ache Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.8.1 Eddington-Robertson-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.8.2 Energie- und Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.9 Bewegung der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.9.1 Vergleich mit der Newton-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.9.2 Drehung des Perihels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.10 Lichtsignale im Sonnensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.10.1 Ablenkung des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.10.2 Verz(cid:127)ogerung der Radarsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Dynamik der Felder 96
3.1 Beispiel: Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.1 Aequivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.3 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2 Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.1 Transformationseigenschaften der Tensorfelder . . . . . . . . . 103
v
3.2.2 Dynamik der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.3 Die Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.4 Variationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.5 Feldgleichungen der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.1 De(cid:12)nition der kovarianten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.2 Direkter Ausdruck fu(cid:127)r die kovariante Ableitung . . . . . . . . 114
3.3.3 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.4 Metrischer A(cid:14)nzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 Paralleltransport und die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.1 Generatoren der Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.2 Komponenten eines A(cid:14)nzusammenhanges in Bezug auf ein
beliebiges Basenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4.3 Kovariante Ableitung der Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . 127
3.5 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.1 De(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5.3 Bedeutung der Divergenzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.4 Ideale Flu(cid:127)ssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.6 Dynamik der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6.1 Die Wirkung fu(cid:127)r die Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.6.2 Die Einstein-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6.3 Allgemeine Kovarianz der Einstein-Gleichungen . . . . . . . . 147
3.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
II Kosmologie, Gravitationskollaps und schwarze L(cid:127)ocher
154
4 Kosmologische Modelle 155
4.1 Homogene isotrope 3-R(cid:127)aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1.1 Kosmologisches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1.2 Der Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.3 Die Kugelober(cid:13)(cid:127)ache S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.4 Die Pseudokugel P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2 Robertson-Walker-Raumzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.1 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.2 Bevorzugtes Bezugsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.3 Kosmologische Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.4 Kosmologische Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
vi
4.2.5 Einstein-Tensor der Robertson-Walker-Raumzeit . . . . . . . . 165
4.3 Kosmische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3.1 Friedmann-Lema^(cid:16)tre-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3.2 Die kosmische Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.3.3 Einfache Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4 Die Staubmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4.1 Die Skalenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4.2 Qualitative Diskussion der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . 173
4.4.3 Die relativen Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.4 Das (cid:10)-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.5 Die Helligkeitsdistanz und die Messungen von (cid:3) . . . . . . . . 181
4.4.6 Die Friedmann-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5 Raumzeiten mit h(cid:127)ochster Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.5.1 Minkowski-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.5.2 DeSitter-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.5.3 Anti-DeSitter-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.6 Das fru(cid:127)he Welttall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.6.1 Horizontproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.6.2 Flachheitsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.6.3 Entropieproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.6.4 In(cid:13)ationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.6.5 Quantenkosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5 Rotationssymmetrische Sternmodelle 203
5.1 Hydrostatisches Gleichgewicht
nichtrotierender Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.1.1 Gleichungen des hydrostatischen Gleichgewichts . . . . . . . . 203
5.1.2 Bedingungen im Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.1.3 Bedingungen an der Ober(cid:13)(cid:127)ache . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.1.4 Die Metrik ausserhalb des Sternes . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.1.5 Vergleich mit der Newton-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.1.6 Massenlimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.7 Verbindungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2 Eigenschaften der Schwarzschild-L(cid:127)osung . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.2.1 Birkho(cid:11)-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.2.2 Radiale Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.2.3 Eddington-Finkelstein-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.2.4 Horizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.3 Oppenheimer-Snyder-Kollapsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
vii
5.3.1 Innen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.3.2 Aussen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.3.3 Ober(cid:13)(cid:127)ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.3.4 Radiale lichtartige Geod(cid:127)aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6 Station(cid:127)are schwarze L(cid:127)ocher 229
6.1 Kausale Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.1 Zeitorientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.2 Kausaler Ein(cid:13)uss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Hyper(cid:13)(cid:127)achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2.1 De(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2.2 Tangentialvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.3 Induzierte Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.4 Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.5 Klassi(cid:12)kation von Hyper(cid:13)(cid:127)achen . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.6 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.3 Kruskal-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3.1 Rotationssymmetrische Hyper(cid:13)(cid:127)achen in der Kruskal-Raumzeit 242
6.4 Rotierende, geladene schwarze L(cid:127)ocher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.4.1 Wichtigste geometrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 246
6.5 Dynamik der geladenen Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.5.1 Bewegungsintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.5.2 Die Aequatorialebene und die Symmetrieachsen . . . . . . . . 258
6.6 Energetik der schwarzen L(cid:127)ocher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.6.1 Nutzbare Energie eines schwarzen Loches . . . . . . . . . . . . 263
6.6.2 Energie der Teilchen im Feld eines schwarzen Loches . . . . . 271
6.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
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