Algoritmos en teoría de números

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Algoritmos en teor´ıa de nu´meros
IIC2283
IIC2283 – Algoritmosenteor´ıadenu´meros 1/92
Para recordar: aritm´etica modular
Dados dos nu´meros a,b ∈Z, si b >0 entonces existen α,β ∈Z tales
que 0≤β <b y
a = α·b+β
Adem´as, estos nu´meros α, β son u´nicos
β es llamado el resto de la divisi´on entera entre a y b, y es denotado
como amodb
(cid:73) Por ejemplo, 8mod3=2, 9mod3=0 y (−8)mod3=1
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Para recordar: aritm´etica modular
Definicio´n
b ≡cmodn si n divide a (c −b)
Usamos la notaci´on n|m para indicar que n divide a m
(cid:73) b ≡cmodn si n|(c −b)
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Ejercicios
1. Demuestre la proposicio´n
2. Demuestre que un nu´mero n es divisible por 3 si y so´lo si la suma de sus
d´ıgitos es divisible por 3
Para recordar: algunas propiedades b´asicas
Proposici´on
1. a≡bmodn si y so´lo si amodn=bmodn
2. a≡(amodn)modn
3. Si a≡bmodn y c ≡dmodn, entonces:
(a+c) ≡ (b+d) modn
(a·c) ≡ (b·d) modn
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Para recordar: algunas propiedades b´asicas
Proposici´on
1. a≡bmodn si y so´lo si amodn=bmodn
2. a≡(amodn)modn
3. Si a≡bmodn y c ≡dmodn, entonces:
(a+c) ≡ (b+d) modn
(a·c) ≡ (b·d) modn
Ejercicios
1. Demuestre la proposicio´n
2. Demuestre que un nu´mero n es divisible por 3 si y so´lo si la suma de sus
d´ıgitos es divisible por 3
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Algoritmos b´asicos en teor´ıa de nu´meros
Vamos a estudiar tres algoritmos fundamentales en el ´area:
(cid:73) Exponenciaci´on r´apida
(cid:73) El algoritmo de Euclides para el c´alculo del m´aximo comu´n divisor
(cid:73) El algoritmo de Euclides extendido y el c´alculo del inverso modular
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Exponenciaci´on r´apida: calculando ab modn
Utilizamos el siguiente algoritmo para calcular abmodn, el cual es
llamado exponenciaci´on r´apida:
EXP(a, b, n)
if b =1 then return amodn
else if b es par then
val:=EXP(a,b,n)
2
return (val·val)modn
else
val:=EXP(a,b−1,n)
2
return (val·val·a)modn
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La complejidad de EXP
Ejercicio
Considerando la multiplicaci´on de enteros y el c´alculo de la funci´on
xmody como las operaciones b´asicas a contar, demuestre que
EXP(a, b, n) en el peor caso es O(log (b))
2
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Proposici´on
Si b >0, entonces MCD(a,b)=MCD(b,amodb)
Demostraci´on: Vamos a demostrar que un nu´mero c divide a a y b si y
s´olo si c divide a b y amodb
(cid:73) De esto se concluye que MCD(a,b)=MCD(b,amodb)
M´aximo comu´n divisor
Sea MCD(a,b) el m´aximo comu´n divisor de los nu´meros a y b
(cid:73) ¿C´omo podemos calcular MCD(a,b)?
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Demostraci´on: Vamos a demostrar que un nu´mero c divide a a y b si y
s´olo si c divide a b y amodb
(cid:73) De esto se concluye que MCD(a,b)=MCD(b,amodb)
M´aximo comu´n divisor
Sea MCD(a,b) el m´aximo comu´n divisor de los nu´meros a y b
(cid:73) ¿C´omo podemos calcular MCD(a,b)?
Proposici´on
Si b >0, entonces MCD(a,b)=MCD(b,amodb)
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