Algoritmos de Direções Viáveis para Otimização Não Diferenciável

146 Pages·2011·1.27 MB·Portuguese

by  Mario Tanaka Filho

ALGORITMOS DE DIREÇÕES VIÁVEIS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO
DIFERENCIÁVEL
Mario Tanaka Filho
Tese de Doutorado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia Mecânica,
COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Doutor
em Engenharia Mecânica.
Orientadores: José Herskovits Norman
Anatoli Leontiev
Rio de Janeiro
Março de 2011
ALGORITMOS DE DIREÇÕES VIÁVEIS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO
DIFERENCIÁVEL
Mario Tanaka Filho
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
Prof. José Herskovits Norman, D.Ing.
Prof. Anatoli Leontiev, Ph.D.
Prof. Nestor Alberto Zouain Pereira, D.Sc.
Prof. Jean Rodolphe Roche , Ph.D.
Prof. José Mario Martínez, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO DE 2011
Tanaka Filho, Mario
Algoritmos de Direções Viáveis para Otimização Não
Diferenciável/Mario Tanaka Filho. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2011.
XII, 134 p.: il.; 29,7cm.
Orientadores: José Herskovits Norman
Anatoli Leontiev
Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Mecânica, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 110 – 116.
1. Otimização não diferenciável. 2. Algoritmo de
direções viáveis e ponto interior. 3. Métodos de Plano de
corte. 4. Métodos de Feixe. I. Norman , José Herskovits
et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.
iii
A meu filho recém-nascido
LUCAS.
A meus pais, irmãos
e a minha esposa Solange.
iv
Agradecimentos
A Deus, por permitir este momento tão singular em minha vida.
Ao professor José Herskovits Norman pela orientação, amizade e conhecimentos
transmitidos ao longo da realização deste trabalho, bem como, por seu exemplo
profissional e humano.
Ao Prof. Anatoli Leontiev pela orientação, por sua atenção ao me receber
quando ainda não tinha certeza de onde fazer o doutoramento e por me indicar
ao Laboratório.
Aos Profs. Jean R. Roche (Nancy Université, França) e Napsu Karmitsa
(University of Turku, Finlândia) pelo suporte, amizade e simpatia.
Aosprofessores,opessoaldoadministrativoeamigosdoProgramadeEngenharia
Mecânica PEM-COOPE/UFRJ, sempre dispostos a ajudar e por proporcionar um
excelente ambiente de convívio.
Agradeço a meus pais: Mário Tanaka e Djelma Neves Tanaka, por todo esforço e
dedicação em manter as condições necessárias para meus estudos. E portanto, hoje
sem dúvida nenhuma, considero que este momento também é deles.
A minha esposa, Solange Tanaka, por seu apoio, pela preocupação de sempre
tentar proporcionar um ambiente favorável a meus estudos e por estar ao meu lado
me dando força.
A família Penha: Sogro, sogra e cunhadas pelo constante incentivo.
AtodososcolegaseamigosdoLaboratórioOptimizE:Arminda,AlfredoCanelas,
Henry Cortés, Miguel Aroztegui, Jorge Zerpa, Elmer, Pavel e Helena, Sandro,
Evandro e aos outros que passaram pelo Laboratório, pelo agradável e sempre
descontraído ambiente de estudo proporcionado.
Agradeço o auxílio financeiro concedido pelo Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), através das bolsas de doutorado
e Iniciação Científica; A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (Capes), pela bolsa de Mestrado, fundamentais para o suporte de meus
estudos nestes longos anos de formação.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
ALGORITMOS DE DIREÇÕES VIÁVEIS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO
DIFERENCIÁVEL
Mario Tanaka Filho
Março/2011
Orientadores: José Herskovits Norman
Anatoli Leontiev
Programa: Engenharia Mecânica
Problemas de otimização não diferenciável aparecem em muitas aplicações
práticas, como por exemplo, em Mecânica, Economia e Controle Ótimo. Contudo,
a aplicação direta de métodos diferenciáveis, ou seja, métodos baseados em
informações do gradiente, não é recomendada devido a natureza não diferenciável
dos problemas. Com isso em vista, neste trabalho são apresentadas técnicas para
a resolução de três problemas diferentes que envolvem funções não necessariamente
diferenciáveis. Inicialmente, considera-se o caso convexo sem restrições. Depois,
o método é estendido para abranger o caso não convexo, onde são consideradas
funçõeslocalmenteLipschitzcontínuas. Emseguida,introduz-seoproblemaconvexo
com restrições convexas não diferenciáveis. São também apresentados os resultados
numéricos da experiência computacional preliminar e uma aplicação em Otimização
Topológica de estruturas reticuladas robustas.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
FEASIBLE DIRECTIONS ALGORITHMS FOR NONSMOOTH
OPTIMIZATION
Mario Tanaka Filho
March/2011
Advisors: José Herskovits Norman
Anatoli Leontiev
Department: Mechanical Engineering
Nonsmooth optimization problems appear in many practical applications, such
as in Mechanics, Economics, Optimal Control and Engineering. However, the direct
application of methods differentiable, i.e., methods based on gradient information,
is not recommended due to the nonsmooth nature of the problems. With this in
mind, this study presents techniques for solving three different problems involving
functions not necessarily differentiable. Initially, we consider the convex case
without restrictions. Then the method is extended to cover the case non-convex,
where they are considered locally Lipschitz continuous functions. Then introduces
the problem convex with convex constraints not differentiable. We also present
numerical results of preliminary computational experience and an application on
Robust Truss Topology Design.
vii
Sumário
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
Lista de Símbolos xii
Introdução 1
1 Preliminares 4
1.1 Notações e Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Análise Não Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Condições de Otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Otimização Convexa Não Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Otimização Não Convexa Não Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Otimização Convexa Não Diferenciável com Restrições . . . . . . . . 27
1.7 Algorimo de Pontos Interiores e Direções Viáveis . . . . . . . . . . . . 29
2 Algoritmo para Otimização Convexa Não Diferenciável 35
2.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Análise da Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Algoritmo para Otimização Não Convexa e Não Diferenciável 54
3.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Análise da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Uma Técnica para Otimização Restrita Não Diferenciável 74
4.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Análise da Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
viii
5 Otimização Topológica Robusta de Estruturas Reticuladas 93
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Modelos em Otimização Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Modelo de Otimização Topológica Robusta . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Conclusões 106
6.1 Contribuições deste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Referências Bibliográficas 110
A Problemas Irrestritos 117
A.1 Problemas Teste Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2 Problemas Teste Não Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B Problemas Com Restrição 126
B.1 Problemas com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ix
Lista de Figuras
1.1 Semi-continuidade interior do ε-subdiferenciál . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Direções de descida: caso diferenciável e não diferenciável . . . . . . . 17
1.3 Iterações do método de planos de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Introdução de uma função afim quase “horizontal” . . . . . . . . . . . 20
1.5 Direção de busca do FDIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 Performance Profiles: número de iterações . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Performance Profiles: número de avaliações da função . . . . . . . . 53
3.1 Encontrando o próximo iterado do Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Determinação de um plano viável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1 Treliça do Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Estrutura ótima obtida no Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Exemplo 1 - Evolução dos quatro maiores auto-valores. . . . . . . . . 101
5.4 Treliça do Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Estrutura ótima obtida no Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Evolução dos quatro maiores auto-valores do sistema (QQT,K(x)). . 102
5.7 Estrutura ótima obtida no Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.8 Evolução dos seis maiores autovalores do sistema (QQT,K(x)). . . . 103
5.9 Estrutura ótima obtida no Exemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.10 Evolução dos seis maiores auto-valores do sistema (QQT,K(x)). . . . 104
x