ALGORITMOS DE DIREÇÕES VIÁVEIS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO DIFERENCIÁVEL Mario Tanaka Filho Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Orientadores: José Herskovits Norman Anatoli Leontiev Rio de Janeiro Março de 2011 ALGORITMOS DE DIREÇÕES VIÁVEIS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO DIFERENCIÁVEL Mario Tanaka Filho TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Examinada por: Prof. José Herskovits Norman, D.Ing. Prof. Anatoli Leontiev, Ph.D. Prof. Nestor Alberto Zouain Pereira, D.Sc. Prof. Jean Rodolphe Roche , Ph.D. Prof. José Mario Martínez, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL MARÇO DE 2011 Tanaka Filho, Mario Algoritmos de Direções Viáveis para Otimização Não Diferenciável/Mario Tanaka Filho. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011. XII, 134 p.: il.; 29,7cm. Orientadores: José Herskovits Norman Anatoli Leontiev Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecânica, 2011. Referências Bibliográficas: p. 110 – 116. 1. Otimização não diferenciável. 2. Algoritmo de direções viáveis e ponto interior. 3. Métodos de Plano de corte. 4. Métodos de Feixe. I. Norman , José Herskovits et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título. iii A meu filho recém-nascido LUCAS. A meus pais, irmãos e a minha esposa Solange. iv Agradecimentos A Deus, por permitir este momento tão singular em minha vida. Ao professor José Herskovits Norman pela orientação, amizade e conhecimentos transmitidos ao longo da realização deste trabalho, bem como, por seu exemplo profissional e humano. Ao Prof. Anatoli Leontiev pela orientação, por sua atenção ao me receber quando ainda não tinha certeza de onde fazer o doutoramento e por me indicar ao Laboratório. Aos Profs. Jean R. Roche (Nancy Université, França) e Napsu Karmitsa (University of Turku, Finlândia) pelo suporte, amizade e simpatia. Aosprofessores,opessoaldoadministrativoeamigosdoProgramadeEngenharia Mecânica PEM-COOPE/UFRJ, sempre dispostos a ajudar e por proporcionar um excelente ambiente de convívio. Agradeço a meus pais: Mário Tanaka e Djelma Neves Tanaka, por todo esforço e dedicação em manter as condições necessárias para meus estudos. E portanto, hoje sem dúvida nenhuma, considero que este momento também é deles. A minha esposa, Solange Tanaka, por seu apoio, pela preocupação de sempre tentar proporcionar um ambiente favorável a meus estudos e por estar ao meu lado me dando força. A família Penha: Sogro, sogra e cunhadas pelo constante incentivo. AtodososcolegaseamigosdoLaboratórioOptimizE:Arminda,AlfredoCanelas, Henry Cortés, Miguel Aroztegui, Jorge Zerpa, Elmer, Pavel e Helena, Sandro, Evandro e aos outros que passaram pelo Laboratório, pelo agradável e sempre descontraído ambiente de estudo proporcionado. Agradeço o auxílio financeiro concedido pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), através das bolsas de doutorado e Iniciação Científica; A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), pela bolsa de Mestrado, fundamentais para o suporte de meus estudos nestes longos anos de formação. v Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.) ALGORITMOS DE DIREÇÕES VIÁVEIS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO DIFERENCIÁVEL Mario Tanaka Filho Março/2011 Orientadores: José Herskovits Norman Anatoli Leontiev Programa: Engenharia Mecânica Problemas de otimização não diferenciável aparecem em muitas aplicações práticas, como por exemplo, em Mecânica, Economia e Controle Ótimo. Contudo, a aplicação direta de métodos diferenciáveis, ou seja, métodos baseados em informações do gradiente, não é recomendada devido a natureza não diferenciável dos problemas. Com isso em vista, neste trabalho são apresentadas técnicas para a resolução de três problemas diferentes que envolvem funções não necessariamente diferenciáveis. Inicialmente, considera-se o caso convexo sem restrições. Depois, o método é estendido para abranger o caso não convexo, onde são consideradas funçõeslocalmenteLipschitzcontínuas. Emseguida,introduz-seoproblemaconvexo com restrições convexas não diferenciáveis. São também apresentados os resultados numéricos da experiência computacional preliminar e uma aplicação em Otimização Topológica de estruturas reticuladas robustas. vi Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.) FEASIBLE DIRECTIONS ALGORITHMS FOR NONSMOOTH OPTIMIZATION Mario Tanaka Filho March/2011 Advisors: José Herskovits Norman Anatoli Leontiev Department: Mechanical Engineering Nonsmooth optimization problems appear in many practical applications, such as in Mechanics, Economics, Optimal Control and Engineering. However, the direct application of methods differentiable, i.e., methods based on gradient information, is not recommended due to the nonsmooth nature of the problems. With this in mind, this study presents techniques for solving three different problems involving functions not necessarily differentiable. Initially, we consider the convex case without restrictions. Then the method is extended to cover the case non-convex, where they are considered locally Lipschitz continuous functions. Then introduces the problem convex with convex constraints not differentiable. We also present numerical results of preliminary computational experience and an application on Robust Truss Topology Design. vii Sumário Lista de Figuras x Lista de Tabelas xi Lista de Símbolos xii Introdução 1 1 Preliminares 4 1.1 Notações e Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Análise Não Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Condições de Otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Otimização Convexa Não Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Otimização Não Convexa Não Diferenciável . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Otimização Convexa Não Diferenciável com Restrições . . . . . . . . 27 1.7 Algorimo de Pontos Interiores e Direções Viáveis . . . . . . . . . . . . 29 2 Algoritmo para Otimização Convexa Não Diferenciável 35 2.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Análise da Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Algoritmo para Otimização Não Convexa e Não Diferenciável 54 3.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Análise da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4 Uma Técnica para Otimização Restrita Não Diferenciável 74 4.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Análise da Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 viii 5 Otimização Topológica Robusta de Estruturas Reticuladas 93 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2 Modelos em Otimização Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3 Modelo de Otimização Topológica Robusta . . . . . . . . . . . . . . . 97 6 Conclusões 106 6.1 Contribuições deste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Referências Bibliográficas 110 A Problemas Irrestritos 117 A.1 Problemas Teste Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A.2 Problemas Teste Não Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B Problemas Com Restrição 126 B.1 Problemas com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ix Lista de Figuras 1.1 Semi-continuidade interior do ε-subdiferenciál . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Direções de descida: caso diferenciável e não diferenciável . . . . . . . 17 1.3 Iterações do método de planos de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Introdução de uma função afim quase “horizontal” . . . . . . . . . . . 20 1.5 Direção de busca do FDIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1 Performance Profiles: número de iterações . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2 Performance Profiles: número de avaliações da função . . . . . . . . 53 3.1 Encontrando o próximo iterado do Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Determinação de um plano viável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1 Treliça do Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2 Estrutura ótima obtida no Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Exemplo 1 - Evolução dos quatro maiores auto-valores. . . . . . . . . 101 5.4 Treliça do Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.5 Estrutura ótima obtida no Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.6 Evolução dos quatro maiores auto-valores do sistema (QQT,K(x)). . 102 5.7 Estrutura ótima obtida no Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.8 Evolução dos seis maiores autovalores do sistema (QQT,K(x)). . . . 103 5.9 Estrutura ótima obtida no Exemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.10 Evolução dos seis maiores auto-valores do sistema (QQT,K(x)). . . . 104 x
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