Algorithmes : Cours de mathématiques - Première année

138 Pages·2016·8.48 MB·French

by  Arnaud Bodin et al.

A L G O R I T H M E S
C
OURS DE MATHÉMATIQUES
P
REMIÈRE ANNÉE
Exo7

Algorithmes
Cerecueilregroupedifférentschapitressurlesmathématiquesenlienavecl’informatique.

Sommaire
1 Algorithmes et mathématiques 1
1 PremierspasavecPython . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Écrituredesentiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Calculsdesinus,cosinus,tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Lesréels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Arithmétique–Algorithmesrécursifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Polynômes–Complexitéd’unalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Zéros des fonctions 29
1 Ladichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Laméthodedelasécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 LaméthodedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Cryptographie 41
1 LechiffrementdeCésar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 LechiffrementdeVigenère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 LamachineEnigmaetlescléssecrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Lacryptographieàclépublique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 L’arithmétiquepourRSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 LechiffrementRSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Calcul formel 67
1 PremierspasavecSage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 StructuresdecontrôleavecSage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Suitesrécurrentesetpreuvesformelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Suitesrécurrentesetvisualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Algèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6 Courbesetsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Calculsd’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9 Équationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Chapitre
1
Algorithmes et mathématiques
VidØo (cid:132) partie 1. Premiers pas avec Python
VidØo (cid:132) partie 2. Ecriture des entiers
VidØo (cid:132) partie 3. Calculs de sinus, cosinus, tangente
VidØo (cid:132) partie 4. Les rØels
VidØo (cid:132) partie 5. ArithmØtique (cid:21) Algorithmes rØcursifs
VidØo (cid:132) partie 6. Polyn(cid:244)mes (cid:21) ComplexitØ d’un algorithme
1. Premiers pas avec Python
Danscettepartieonvérified’abordquePythonfonctionne,puisonintroduiralesboucles(foretwhile),
letestif ... else ...etlesfonctions.
1.1. Hello world!
Pourcommencertestonssitoutfonctionne!
Travaux pratiques 1.
1. Définirdeuxvariablesprenantlesvaleurs3et6.
2. Calculerleursommeetleurproduit.
Voiciàquoicelaressemble:
Code 1 (hello-world.py).
>>> a=3
>>> b=6
>>> somme = a+b
>>> print(somme)
9
>>> # Les rØsultats
>>> print("La somme est", somme)
La somme est 9
>>> produit = a*b
>>> print("Le produit est", produit)
Le produit est 18
Onretientleschosessuivantes:
• Onaffecteunevaleuràunevariableparlesigneégal=.
ALGORITHMES ET MATHÉMATIQUES 1.PREMIERS PAS AVEC Python 2
• Onafficheunmessageaveclafonctionprint().
• Lorsquequ’unelignecontientundièse#,toutcequisuitestignoré.Celapermetd’insérerdescommen-
taires,cequiestessentielpourrelirelecode.
Danslasuiteonomettralessymboles>>>.Voirplusdedétailssurlefonctionnementenfindesection.
1.2. Somme des cubes
Travaux pratiques 2.
1. Pourunentier nfixé,programmerlecalculdelasommeS =13+23+33+···+n3.
n
2. Définirunefonctionquipourunevaleur nrenvoielasommeΣ =1+2+3+···+n.
n
3. Définirunefonctionquipourunevaleur nrenvoieS .
n
4. Vérifier,pourlespremiersentiers,queS =(Σ )2.
n n
1.
Code 2 (somme-cubes.py(1)).
n = 10
somme = 0
for i in range(1,n+1):
somme = somme + i*i*i
print(somme)
Voicicequel’onfaitpourcalculerS avec n=10.
n
• Onaffected’abordlavaleur0àlavariablesomme,celacorrespondàl’initialisationS =0.
0
• Nousavonsdéfiniuneboucleavecl’instructionforquifaitvarier i entre1et n.
• NouscalculonssuccessivementS1,S2,...enutilisantlaformulederécurrenceSi =Si−1+i3.Comme
nous n’avons pas besoin de conserver toutes les valeurs des S alors on garde le même nom pour
i
toutes les sommes, à chaque étape on affecte à somme l’ancienne valeur de la somme plus i3 :
somme = somme + i*i*i.
• range(1,n+1)estl’ensembledesentiers{1,2,...,n}.C’estbienlesentiersstrictementinférieurs
à n+1.Laraisonestquerange(n)désigne{0,1,2,...,n−1}quicontient néléments.
2. NoussavonsqueΣ =1+2+3+···+n= n(n+1) doncnousn’avonspasbesoindefaireuneboucle:
n 2
Code 3 (somme-cubes.py(2)).
def somme_entiers(n):
return n*(n+1)/2
Unefonctioneninformatiqueestsimilaireàunefonctionmathématique,c’estunobjetquiprenden
entréedesvariables(ditesvariablesformellesouvariablesmuettes,ici n)etretourneunevaleur(un
n(n+1)
entier,uneliste,unechaînedecaractères,...ici ).
2
3. Voicilafonctionquiretournelasommedescubes:
Code 4 (somme-cubes.py(3)).
def somme_cubes(n):
somme = 0
for i in range(1,n+1):
ALGORITHMES ET MATHÉMATIQUES 1.PREMIERS PAS AVEC Python 3
somme = somme + i**3
return somme
4. EtenfinonvérifiequepourlespremiersentiersS =(cid:128)n(n+1)(cid:138)2,parexemplepour n=12:
n 2
Code 5 (somme-cubes.py(4)).
n = 12
if somme_cubes(n) == (somme_entiers(n)**2):
’
print("Pour n=", n, "l assertion est vraie.")
else:
’
print("L assertion est fausse !")
Onretient:
• Lespuissancessecalculentaussiavec**:52 s’écrit5*5ou5**2,53 s’écrit5*5*5ou5**3,...
• Unefonctionsedéfinitpardef ma_fonction(variable):etsetermineparreturn resultat.
• if condition: ... else: ...exécutelepremierblocd’instructionssilaconditionestvraie;sila
conditionestfaussecelaexécutel’autrebloc.
• Exempledeconditions
— a < b: a< b,
— a <= b: a(cid:54) b,
— a == b: a= b,
— a != b: a(cid:54)= b.
• Attention!Ilestimportantdecomprendrequea==bvautsoitvraieoufaux(oncompare a et b)alors
qu’aveca=bonaffectedans a lavaleurde b.
• EnfinenPython(contrairementauxautreslangages)c’estl’indentation(lesespacesendébutdechaque
ligne)quidéterminelesblocsd’instructions.
π
1.3. Calcul de au hasard
Nousallonsvoirqu’ilestpossibledecalculerlespremièresdécimalesdeπparlaméthodedeMonte-Carlo,
c’est à dire avec l’aide du hasard. On considère le carré de coté 1,le cercle de rayon 1 centré à l’origine,
d’équation x2+ y2=1,etlaportiondedisquedanslecarré(voirlafigure).
(0,1)
(0,0) (1,0)
Travaux pratiques 3.
1. Calculerl’aireducarréetdelaportiondedisque.
2. Pour un point (x,y) tiré au hasard dans le carré, quelle est la probabilité que le point soit en fait
danslaportiondedisque?
3. Tirerungrandnombredepointsauhasard,compterceuxquisontdanslaportiondedisque.