Algèbres KLR et algèbres de carquois-Schur

183 Pages·2017·1.51 MB·French

by  Ruslan Maksimau

Algèbres KLR et algèbres de carquois-Schur
Ruslan Maksimau
To cite this version:
Ruslan Maksimau. Algèbres KLR et algèbres de carquois-Schur. Théorie des représentations
[math.RT]. Université Paris Diderot Paris 7, 2016. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-01293958￿
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
`
THESE
Pr´esent´ee pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES DE
L’Universite´ Paris Diderot-Paris 7
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
par
Maksimau
Ruslan
Alg`ebres KLR et alg`ebres de
carquois-Schur
Soutenue le 13 octobre 2015 devant la Commission
d’examen :
M. C´edric Bonnafe´ rapporteur
M. Nicolas Jacon examinateur
M. Bernard Leclerc examinateur
Mme Catharina Stroppel rapporteur
M. E´ric Vasserot directeur
2
Th`ese pr´epar´ee au
Institut de Math´ematiques de Jussieu
Universit´e Paris Diderot-Paris 7
E´cole doctorale Paris centre
Bˆatiment Sophie Germain
75205 Paris Cedex 13
Table des mati`eres
1 Introduction 13
1.1 Les bases canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Le groupe quantique f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Les bases canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Les alg`ebres de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Les alg`ebres de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Repr´esentations de s(cid:101)le . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Les alg`ebres de Hecke et de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Les alg`ebres de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Les ζ-alg`ebres de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Les alg`ebres KLR et carquois-Schur . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Carquois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Les alg`ebres KLR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 L’isomorphisme Hecke-KLR . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4 Alg`ebres KLR et cat´egorification . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5 La construction g´eom´etrique de l’alg`ebre KLR . . . . 22
1.4.6 La construction g´eom´etrique des bases canoniques . . 22
1.4.7 Les alg`ebres de carquois-Schur . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.8 Les alg`ebres de carquois-Schur de niveau sup´erieur . . 24
1.4.9 L’isomorphisme ζ-Schur-carquois-Schur . . . . . . . . 25
1.4.10 Repr´esentations cat´egoriques . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 La cat´egorie O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 L’alg`ebre de Lie g(cid:98)l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
N
1.5.2 La cat´egorie O pour g(cid:98)l . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
N
1.5.3 La cat´egorie A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Dans cette th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Bases canoniques, alg`ebres KLR et faisceaux de parit´e 29
1.6.2 Alg`ebres de carquois-Schur et dualit´e de Koszul . . . . 31
1.6.3 Alg`ebres KLR et actions cat´egoriques . . . . . . . . . 31
4 Table des matie`res
2 Parity sheaves 35
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Geometric construction of KLR algebras . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Quivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 KLR algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 A faithful representation of R . . . . . . . . . . . . 40
ν,A
2.2.4 Reminder on Borel-Moore homology . . . . . . . . . . 40
2.2.5 Algebra Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
V,A
2.2.6 Algebras P and S . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
V,A V,A
2.2.7 Stratification on F ×F . . . . . . . . . . . . . . . . 42
V V
2.2.8 Stratification on Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
V
2.2.9 Generators of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
V,A
2.2.10 The A-algebra structure on F . . . . . . . . . . . . 43
V,A
2.2.11 KLR algebra and Borel-Moore homology. . . . . . . . 44
2.2.12 Stratified varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.13 Lusztig category Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
V
2.2.14 Local systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.15 KLR algebra and Yoneda algebras . . . . . . . . . . . 47
2.2.16 Functor Y(cid:48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.17 Induction and restriction . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.18 Projective R -modules . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ν,k
2.2.19 The algebra f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.20 Geometric realization of f . . . . . . . . . . . . . . . 52
A
2.2.21 Indecomposable objects in Q . . . . . . . . . . . . . 54
V
2.3 Parity sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Parity sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2 Parity sheaves on quiver varieties . . . . . . . . . . . . 56
2.3.3 Extensions of parity complexes . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.4 Nakajima quiver varieties . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5 Resolutions via Nakajima quiver varieties . . . . . . . 61
2.3.6 Restriction diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.7 Restriction of Nakajima sheaves . . . . . . . . . . . . 65
2.3.8 Restriction of Lusztig sheaves . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.9 Coalgebra structure on K(Par) . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.10 Even quivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.11 Type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.12 New basis for small ranks . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.13 Quiver Schur algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Quiver Schur algebras and Koszul duality 81
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1 Graded rings and modules . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 Graded categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Table des matie`res 5
3.2.3 Koszul duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.4 Graded highest weight categories . . . . . . . . . . . . 85
3.2.5 Highest weight categories with Koszul grading . . . . 88
3.2.6 Morphisms of projective modules . . . . . . . . . . . . 89
3.2.7 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.8 Rigid modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.9 Cyclotomic Hecke and q-Schur algebra . . . . . . . . . 92
3.2.10 Cyclotomic KLR-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.11 Quiver Schur algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3 Proof of the main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 Admissible gradings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.2 Quiver Schur grading is admissible . . . . . . . . . . . 97
3.3.3 Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.4 Category A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.5 The Koszul grading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.6 Analogue of the cyclotomic KLR-algebra . . . . . . . 105
3.3.7 Graded BGG reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.8 Decomposition numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.9 Identification of grading of the KLR-algebra . . . . . . 108
3.3.10 Identification of grading of the Schur algebra . . . . . 112
4 KLR algebras and categorical representations 115
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 KLR algebras and Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.1 Kac-Moody algebras associated with a quiver . . . . . 118
4.2.2 Doubled quiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.3 KLR algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.4 Balanced KLR algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.5 The polynomial representation of S . . . . . . . . . 123
α,k
4.2.6 The comparison of the polynomial representations . . 124
4.2.7 Isomorphism Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.8 Special quivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.9 Deformation rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.10 Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.11 The isomorphism between Hecke and KLR algebras . 131
4.2.12 The choice of the parameters . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.13 The deformation of the homomorphism Φ . . . . . 133
α,k
4.3 The category O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.1 Affine Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.2 Extended affine Weyl groups . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.3 The standard representation of s(cid:101)le . . . . . . . . . . . 140
4.3.4 Categorical representations . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.5 From s(cid:101)le+1-categorical representations to s(cid:101)le-
categorical representations . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6 Table des matie`res
4.3.6 The category O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3.7 The commutativity in the Grothendieck groups . . . . 146
4.3.8 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3.9 The category A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.10 The change of level for A . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3.11 The category A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.3.12 The categorical representation in the category O over
the field K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.13 The modules T , T . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
α,R α,R
4.3.14 The proof of invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.15 The rational Cherednik algebras . . . . . . . . . . . . 157
4.3.16 The cyclotomic rational Cherednik algebra . . . . . . 158
4.3.17 Proof of Theorem 4.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A Appendix to Chapter 3 165
A.1 Graded decomposition numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.1.1 Kazhdan-Lusztig polynomials . . . . . . . . . . . . . . 167
A.1.2 Plan of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.1.3 Step 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.1.4 Step 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.1.5 Step 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.1.6 Step 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.1.7 Step 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 q-Schur algebras and category A . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.2.1 Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.2.2 Compare of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.2.3 Equivalences of categories . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Remerciements
Je tiens `a remercier E´ric Vasserot de m’avoir propos´e ce sujet et d’avoir
encadr´e cette th`ese. Les discussions que nous avons eues m’ont permis d’ap-
profondir mes connaissances dans la th´eorie des repr´esentations et com-
prendre mieux les techniques que ¸ca applique. Je voudrais aussi le remercier
pour la relecture attentive de ma th`ese et de mes articles et pour ses conseils
sur la r´edaction.
Je voudrais ´egalement remercier Boris Doubrov et Ivan Losev qui m’ont
guid´e dans mon ”enfance scientifique”.
Je remercie C´edric Bonnaf´e et Catharina Stroppel du grand honneur
qu’ils me font d’ˆetre rapporteurs de cette th`ese. Merci ´egalement `a Nicolas
Jacon et Bernard Leclerc d’avoir accept´e de faire partie de mon jury de
th`ese.
Jetiens`aremerciertousleschercheursquej’aipucroiserlorsdecestrois
ans, pour ces moments d’´echange que nous avons partag´es, notamment ceux
qui m’ont invit´ee et m’ont permis d’exposer mes travaux aux conf´erences
et s´eminaires. Je remercie particuli`erement tous les membres de l’´equipe
Groupes, repr´esentations et g´eom´etrie .
(cid:28) (cid:29)
Je voudrais remercier Olivier Dudas pour la remarque qui m’a permis
d’obtenir une version d´eriv´ee du lemme 4.3.9.
J’aimerais remercier Fr´ed´eric H´elein, Ivan Losev, E´ric Vasserot, Ben
Webster et Geordie Williamson pour les lettres de recommandation.
Je remercie Peter McNamara et Geordie Williamson pour la publicit´e de
mon premier article.
Je veux ´egalement remercier le personnel administratif de l’universit´e
Paris Diderot pour l’aide avec les d´emarches administratives.
Je tiens `a remercier tous mes amis pour les dˆıners, les jeux de soci´et´e, le
basket-ball...
Je souhaite aussi remercier ma famille d’avoir toujours cru en moi. Je
veuxparticuli`erementremerciermafemmeMartaetmamamanHalinapour
leur soutien et leurs conseils sages.

Alg`ebres KLR et alg`ebres de carquois-Schur
R´esum´e
Dans la premi`ere partie de la th`ese on construit une base de la partie
positivef del’alg`ebrequantiquedeDrinfeld-Jimboassoci´ee`auncarquoisde
Dynkin. Cette base est donn´ee par des faisceaux de parit´e en caract´eristique
quelconque. De plus, on cat´egorifie la multiplication et la comultiplication
dans f avec des complexes de faisceaux.
Dans la deuxi`eme partie il s’agit de la dualit´e de Koszul. Stroppel et
Websterontintroduitunegraduationsurlaq-alg`ebredeSchurcyclotomique
Ss. On d´emontre que l’alg`ebre gradu´ee obtenue est Morita ´equivalente (au
d
sens gradu´e) `a une alg`ebre de Koszul. La preuve est bas´ee sur le r´esultat
de Rouquier, Shan, Varagnolo et Vasserot qui identifie la cat´egorie mod(Ss)
d
avec une cat´egorie O affine parabolique de type A. Cette cat´egorie admet
une graduation de Koszul construite par Shan, Varagnolo et Vasserot. On
identifie cette graduation avec la graduation sur mod(Ss).
d
Dans la troisi`eme partie de la th`ese on ´etudie une repr´esentation
cat´egorique dans la cat´egorie O parabolique pour la version affine de gl de
N
niveau −N −e. Cette cat´egorie admet une structure de s(cid:101)le-repr´esentation
cat´egorique avec des foncteurs E et F. Cette cat´egorie contient une sous-
cat´egorie plus petite A qui cat´egorifie l’espace de Fock de niveau sup´erieur.
On d´emontre que le foncteur F pour la cat´egorie A de niveau −N −e se
d´ecompose en terme de composantes du foncteur F pour la cat´egorie A de
niveau−N−e−1.Pourd´emontrercela,onconstruitunisomorphismeentre
(1)
l’alg`ebre KLR associ´ee au carquois A et un sous-quotient de l’alg`ebre
e−1
(1)
KLR associ´ee au carquois A .
e
Mots clefs : Alg`ebres KLR, alg`ebres de carquois-Schur, alg`ebres
de Hecke, groupes quantiques, faisceaux de parit´e, base canonique,
repr´esentation cat´egorique.