Algèbres de Lie,représentations et applications à la physique

92 Pages·2016·5.08 MB·French

by  Geoffrey Compère

C O M P È R E M AT H - F 4 1 0
A L G È B R E S D E L I E ,
R E P R É S E N TAT I O N S
E T A P P L I C AT I O N S
À L A P H Y S I Q U E

Table des matières
7
1 Groupes et algèbres de Lie
7
1.1 Groupes de Lie matriciels
10
1.2 Algèbres de Lie
17
2 Unitarité des représentations des groupes compacts
17
2.1 Translations sur un groupe
19
2.2 Intégration invariante sur un groupe de Lie matriciel
24
2.3 Unitarité des représentations des groupes de Lie compacts et des groupes finis
27
3 Classification et représentations des algèbres de Lie compactes
27
3.1 Algèbres de Lie compactes
29
3.2 Sous-algèbres de Cartan – Poids d’une représentation
30
3.3 Représentation adjointe - Racines
3.4 Exemple : su(3) 33
36
3.5 Chaînes de poids et chaînes de racines
38
3.6 Racines simples
41
3.7 Matrice de Cartan - Diagrammes de Dynkin
43
3.8 Construction de l’algèbre à partir des racines simples
45
3.9 Poids fondamentaux
49
3.10Classification des algèbres de Lie simples compactes
55
4 Représentations de su(3)
4
4.1 Les représentations (m,n) 55
58
4.2 Méthodes tensorielles
4.3 Les poids de la représentation (m,n) 63
67
5 Théorème de Wigner-Eckart
67
5.1 Opérateurs d’entrelacement et représentations complètement réductibles
70
5.2 Coefficients de Clebsch-Gordan
72
5.3 Opérateurs tensoriels irréductibles : définition
73
5.4 Théorème de Wigner-Eckart
5.5 Théorème de Wigner-Eckart pour SU(3) 74
77
6 Interactions fortes et symétrie SU(3)
77
6.1 L’approche de Gell-Mann
78
6.2 “The eight-fold way"
81
6.3 La formule de masse de Gell-Mann Okubo
85
7 Sous-algèbres des algèbres simples compactes
85
7.1 Sous-algèbres maximales
87
7.2 Sous-algèbres maximales des algèbres de Lie simples compactes
5
Je remercie vivement Marc Henneaux pour avoir partagé ses
notes de cours données aux années précédentes, ce qui a servi
comme base pour ces notes de cours.
Je remercie également Victor Lekeu et Timothée Defoin pour
avoir donné de nombreux commentaires utiles.

1
Groupes et algèbres de Lie
Lathéoriedesgroupesestl’étudedelasymétrie.Quandun
systèmephysiqueadmetunesymétrie,lesobservablesforment
unreprésentationdugroupeconcerné.Legroupedesrotations,
celuideLorentzetdePoincaré,quisonttouslesgroupesdeLie,
ensontdesexemplestrèsimportants.Aussi,lesgroupesdeLie
sontomniprésentsenphysiquedesparticules.Eneffet,lemodèle
standarddesparticulesélémentairesestbasésurlathéoriedejauge
deYang-MillsdontlegroupedejaugeestlegroupedeLiecompact
SU(3) SU(2) U(1). (1.1)
× ×
Nousverronségalementverslafinducoursunautreexempledans
ledomainedesparticulesélémentairesoùlegroupe SU(3) estrele-
vant.Legroupedesrotationsainsique SU(2) et SU(3) tombentdans
lacatégoriedesgroupesdeLiematricielscompactspourlesquelsil
existeuneclassificationcomplèteetélégante.Nousnousattacherons
danscecoursàdévelopperlacaractérisationgénéraledesgroupes
deLiematricielscompactsetdeleurreprésentationsenintroduisant
touslesoutilsnécessaires.Nousdécrironsendétaillesreprésenta-
tionsdel’algèbre SU(3) cequipermettrad’illustrerl’importanceetla
puissancecontraignantedessymétriesenphysique.
1.1 Groupes de Lie matriciels
Groupe Ungroupeestunensembled’élémentsmunid’uneopé-
rationassociative (cid:63) : G G G avecunneutreetuninverse
× →
pourchaqueélément.Plusprécisément,(1) e G telque g G,
∃ ∈ ∀ ∈
g(cid:63)e = e(cid:63)g = g;(2) g G, g−1 G telque g(cid:63)g−1 = e = g−1(cid:63)g. Nousomettronsl’opérateur(cid:63)parla
∀ ∈ ∃ ∈
suitepoursimplifierlanotation.
Groupefini Ungroupefiniestungroupeavecunnombrefinid’élé-
ments.L’ordred’ungroupefiniestlenombred’élementsdugroupe
etserausuellementdénoté n.
8 algèbres de lie, représentations et applications à la physique
Variétéanalytique Unevariété M dedimension n estanalytique si Leconceptdevariétéanalytique
ellepossèdeunatlasanalytique,c’est-à-direunecollectiondecartes datedeB.RiemannetF.Kleinmaisa
seulementétéformuléprécisémentpar
quicouvrentlavariétéetquisontreliéspardestransformations H.Weylen1955.Ilformaliselanotion
analytiques.Danscecoursnousconsidéreronsdesvariétésdontles d’unespacecontinuetlisse.
cartessontàvaleurdansRn ouCn.Onparledanscecasdevariétés
analytiquesréellesoucomplexes.
GroupedeLie UngroupedeLieestunensemblequiestenmême
tempsungroupeetunevariétéanalytiquetellequel’application LesgroupesdeLieontétéintroduits
µ : (g1,g2) → g1g2−1 duproduitdirect G×G dans G estanalytique. elensmananthéeésm1a8t7iq0udeasnpsalreScoopnhteuxsteLideedans
Cettedernièrecontrainteestéquivalenteàdemanderquelesdeux
laproblématiquedelarésolutiondes
opérationsdegroupe: (g1,g2) → g1g2 et g1 → g1−1 soientdes échqeuracthioendsedsigffréoruenpteiseldleestertandsafnosrmlaarteio-n
applicationsanalytiques.UngroupedeLieestréeloucomplexe
continus.
dépendantduchampsurlequellavariétéanalytiqueestconsidérée.
Danssestravaux,S.Lieprouvaquel’onpouvaitsubstituerla
requêtedel’analyticitéenfaveurdelacontinuitéetdeuxfoisdiffé-
rentiabilité(non-démontréici):
Secondedéfinitiond’ungroupedeLie Soitungroupe G quiestaussi
unevariétédeuxfoiscontinuedifférentiableettellequel’application
µ : (g1,g2) → g1g2−1 duproduitdirect G×G dans G estdeuxfois
continuedifférentiable,alors G estungroupedeLie.
Parexemple,legroupedestransformationslinéairessurlesréels
oulescomplexes GL(n,R) ou GL(n,C) ouleursous-groupessont
desgroupesdeLie.LegroupedeLorentz SO(3,1),legroupede
Poincaré,legroupedestransformationsunitairesU(n) ouencore
unitairesdedéterminantunité SU(n) sontdesexemplesimportants
enphysique.EnfaittouscesgroupesdeLiepeuventêtreformulésen
termesdematrices.Nousintroduisonsdoncladéfinitionsuivante:
GroupesdeLiematriciels L’espacedesmatrices n n réellesestiso-
×
morpheàRn2; l’espacedesmatrices n n complexesestisomorpheà SoientzA(A =1, ,q)descoordon-
R2n2.OnappellegroupedeLiematrici×eltoutgroupedematricesqui néessurRq.Unes·u·r·facerégulière
dedimensionpdeRqestunsous-
estaussiunesurfacerégulièredeRn2 ouR2n2. ensembleΣdeRqdéfinipardes
Soit G ungroupedeLiematricieldedimension n.Onintroduit équationsFi(zA)=0(i=1, ,q p)
descoordonnées ak (k =1, ,n)sur G.Parexemple,pourlegroupe oùlesfonctionsFisontdiffér·e·n·tiab−les
··· ettellesquelamatrice(q p) qdes
desrotations SO(3),les ak peuventêtrelesanglesd’Euler,oules dérivéespartielles ∂Fi est−dera×ngmaxi-
coordonnéescartésiennesd’unebouleferméederayon π,obéissant mumq ppartout∂szAurΣ.Unesurface
−
doncà (a1)2 +(a2)2 +(a3)2 π (avecidentificationdespoints régulièreestferméeetestunevariété
≤ différentiable.Leproduitmatricielet
antipodauxduborddelaboule,cequiimpliquedesconditions l’opérationdeprendrel’inversesont
depériodicitésurlesfonctionscontinuesmaisn’apasd’incidence desopérationsdifférentiables.
surl’intégration,l’identificationconcernantunsous-ensemblede
mesurenulle).Onnoterapar D Rn ledomainedevariationdes
⊂
groupes et algèbres de lie 9
coordonnées ak correspondantà G (moduloéventuellementunsous-
ensembledemesurenulle).
Leproduitsur G définitunefonction Φ : D D D dela
× →
manièresuivante.Si g(ak) estl’élémentdugroupedecoordonnées ak
et g(bk) celuidecoordonnées bk,alorsleproduit g(ak)g(bm) apour
coordonnées Φk(am;bp).Danslasuite,nousomettronslesindicessur
lescoordonnéesquandellessontargumentsdefonctionsetécrirons
donc g(a), g(b), Φk(a;b) etc.
Si ak =0sontlescoordonnéesduneutre,onaévidemment:
Φk(0;b) = bk; Φk(a;0) = ak.
L’associativitéimposeenoutrelarelation:
Φk(Φ(a;b);c) = Φk(a;Φ(b;c)).
Exemplessimples Legroupedestranslationsdel’espaceRn peut
êtreparamétriséparRn lui-même,l’actiond’unetranslationde
coordonnées ak surunpoint xk deRn étant:
xk xk+ak.
(cid:55)→
Leneutreest ak =0etlafonction Φ(a;b) estdonnéepar
Φk(a;b) = ak+bk.
Unautreexempleestdonnéparlegroupedesmatrices2 2dela
×
forme
(cid:32) (cid:33)
a1 a2
,
0 1
a1 >0, ∞ < a2 < ∞.Leproduitdedeuxtellesmatricesest
−
(cid:32) (cid:33)(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
a1 a2 b1 b2 a1b1 a1b2+a2
=
0 1 0 1 0 1
etdonclescoordonnéesduproduitsontdonnéespar:
Φ1(a;b) = a1b1
Φ2(a;b) = a1b2+a2
Leneutreapourcoordonnées a1 = 1, a2 = 0.Entranslatant a1,
a1 = a1+1,onpeutsupposerqueleneutreapourcoordonnées
(cid:48)
ai =0.
Noussupposeronsparlasuitequelescoordonnéessurlegroupe
ontétéchoisiesdemanièretellequeleneutrecorrespondà ai =0.
10 algèbres de lie, représentations et applications à la physique
GroupesdeLiematricielscompacts UngroupedeLiematricielest
compactsiildécritunesurfacebornéedeRn2 ouR2n2. Parexemple, Contre-exemple:legroupedeLorentz
U(n), SU(n),O(n) et SO(n) sontdesgroupescompacts.Eneffet, SO(3,1)estnon-compact.Unetransfor-
mationdeLorentzproprederapiditéγ
pourU(n) et SU(n) :laconditionUU† = I implique ∑ U U = δ
i ji m∗i jm contientdesélémentsdematricedela
etdonc ∑ U 2 = 1,cequimontrequelesU restentdansun formecoshγetsinhγquinesontpas
i| ji| ji bornés.
ensembleborné.IlenestdemêmepourO(n) et SO(n).
1.2 Algèbres de Lie
Définition UnealgèbredeLie(réelleoucomplexe)estunespace
vectoriel L àvaleursdansRouCmunid’uneopération“crochetde
Lie" [,] : L L L quijouitdespropriétéssuivantes:
× →
1. [ax+by,z] = a[x,z]+b[y,z] pourtous x,y,z L et a,b RouC;
∈ ∈
2. [x,y] = [y,x] pourtous x,y L;et
− ∈
3. [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = 0pourtous x,y,z L (“identité
∈
deJacobi").
LesalgèbresdeLieconsidéréesicisontdesalgèbresdeLiede
matrices,pourlesquelleslecrochetdeLieestlecommutateur, Nousneconsidéronsdanscecours
quelesalgèbresdedimensionfinie.
[x,y] = xy yx (1.2) Lethéorèmed’Ado(non-démontré
− ici)énoncequetoutealgèbredeLiede
dimensionfinieàvaleursdansRou
IlesttoujourspossibledecomplexifierunealgèbredeLieréelle CestisomorpheàunealgèbredeLie
matricielle.
enunealgèbredeLiecomplexeenconsidérantdescombinaisons
linéairesàcoefficientscomplexesdesélémentsdel’algèbre;lastruc-
turedecrochets’étendparlinéarité.
Constantesdestructure Soit X unebasede L.Ona
a
{ }
[X ,X ] =Cc X . (1.3)
a b ab c
LesnombresCc = Cc sontappelés“constantesdestructure" et Onpeutréécrirecetteequationen
ab − ba
satisfontà utilisantlaconventiondesindices
antisymétriséscomme
Ce Cd +Ce Cd +Ce Cd =0 (1.4)
ab ce bc ae ca be Ce Cd =0.
[ab c]e
envertudel’identitédeJacobi.
Représentations Unereprésentationde L estuneapplicationlinéaire
1
s de L dans gl(X) quipréservelecommutateur, 1. Rappelonsquegl(X)estl’ensemble
desopérateurslinéairesX X;
→
s(ax+by) = as(x)+bs(y) x,y L, a,b R (1.5) Xesticiunespacevectorielquenous
∀ ∈ ∀ ∈ supposeronstoujoursdedimension
s([x,y]) = [s(x),s(y)] x,y L (1.6) finie.Onadoptelaconvention
∀ ∈
O(Xb)=(O)cbXc
pourtoutO gl(X).
∈