Algèbres de Lie Libres et Monoïdes Libres: Bases des Algèbres de Lie Libres et Factorisations des Monoïdes Libres

127 Pages·1978·1.32 MB·French

by  Gérard Viennot (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
196
Gerard Viennot
Algebres de eiL Libres
te Mondldes Libres
Bases des Algebres de Lie Libres
et Factorisations des Monoldes Libres
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY 8791
Author
G6rard Viennot
ENS - Centre de Mathematiques
45, rue d'UIm
F-75005 Paris
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Viennot, Gerard, 19~5-
Bases des algebres de Lie libres et factorisations
des mono~des libres.
(Lecture notes in mathematics 691) ;
Bibliography: p.
Includes indexes.
1. Lie algebras. .2 Monoids. .I Title.
II. Series: Lecture notes in mathematics (Berlin) 691. ;
QA3.L28 no. 691 rQA252.3~ 510'.8s r512'.55j 78-23919
AMS Su Classifications (1970): 05bject -00, 08 A10,16 A 68,17-04,17 B 99,
20E15, 20F35, 20F40, 20M05, 68A25, 94A10
ISBN 3-540-09090-8 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-38?-09090-8 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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2141/3140-543210
TABLE DES MATIERES
Introduction ..............................................
Chapitre I. Bases des al~bres de Lie libres
§I. Notations et bases usuelles ................ 9
§2. Factorisations de Lazard ................... 18
§3. Ensembles de Hall .......................... 24
§4. Autres caract~risations des bases associ~es
aux ensembles de Hall ...................... 35
§ .5 Bases et factorisations r~guli~res ......... 49
Chapitre II. Bissections des monoides libres
§1. Construction des bissections ............... 62
§2. Bissections et bascules .................... 73
§3. Bascules et alg~bres de Lie libres ......... 79
Chapitre III. Factorisation des mono~des libres et familles
basiques des al~bres de Lie libres ......
§ .I Factorisations des mon~ides libres ......... 94
§ .2 Factorisations r~guli~res gauches et
familles basiques .......................... 98
§ 3. Ensembles de Hall et caract~risations des
factorisations r~guli~res gauches .......... 105
Bibliographie ............................................. 113
Index terminolo@ique ...................................... 117
Index des notations ....................................... 122
IN TI~ODUC TION
Le but du pr4sent travail est de proposer une th4orie unifi6e du calcul des
commutateurs basiques ou d'une mani~re 4quivalente, des bases te familles basi-
ques des alg~bres de Lie fibres.
L1int~r~t port~ aux alg~bres de Lie libres vient essentiellement des applica-
tions importantes dans la th~orie que l'on appelle aujourdlhui "th~orie combinatoire
des groupes" MKS, 66. L'origine enest el travail de P. Hall HAP, 33 sur
l'~tude de certains p-groupes. iI n'est pas question i~ d'alg~bre de Lie, mais de
calculs profonds sur les commutateurs it~r~s te la suite centrale descendante (F)
n
du groupe libre. Les travaux fondamentaux de Magnus Ma, 35 ~Ma, 37 te
Witt Wi, 37 "lin~arisent" ces calculs en introduisant une structure plus fiche que
celle de groupe fibre : celle d'alg~bre de Lie libre. C'est i~ que Magnus d4finit
l'alg~bre de Lie libre L(X) confine sous-alg~bre de l'alg~bre IK<X> des s~ries
formelles en variables non cornmutatives X sur l'anneau ~K , introduite aupara-
rant par Hausdorff. II montre que la filtration naturelle de K<X> tinif.6d une suite
d~croissante de sous-groupes du groupe libre F(X) qui est pr~cis~ment la suite
centrale descendante. Witt compl~te ces r~sultats te donne la dimension des corn-
posantes homog&nes de degr6 n de L(X) (ou "formules de Witt"). Ces travaux
sont ~ la base de nombreux autres sur la correspondance entre groupes te alg~bres
de Lie. Citons seulement celui de M. Lazard lea, 54 te les applications impor-
tantes dans l'approche du c4l~bre probl&me de Burnside pour les groupes.
Un autre th6or~me important dans la correspondance entre groupes et alg~-
bresde Lie est la "formule de Hausdorff", affirmant que la s6rie z (en variables
non commutatives) d4finie par e z = e x ey est une somme infinie d'alternants (ou
6l~ments homog~nes) de l'alg~bre de Lie libre engendr6e par x te y . Cette for-
mule est jalonn4e des noms de Poincar6, Campbell, Pascal, Baker te c'est Haus-
dorff qui el premier prouvera de mani~re pr4cise la "formule" en se plagant dans
llalg&bre des s6ries en variables non commutatives, qui sera reprise plus tard par
Magnus Hau, 061 . Zes coefficients de cette s6rie ont 4t4 abondamment 6tudi6s
depuis. Un calcul ou une expression de ceux-ci d6pend de la base de l'alg~bre de
Lie fibre utilis4e te met en 6vidence l'int4rat de trouver de "bonnes" bases. On
verra par exemple les calculs sur ordinateurs de Michel jusqu'au degr4 ,ll te dans
certains cas au degr~ 30 Mi, 74 Mi, 76 • Un autre exemple d~appli-
cations pratiques est celui de la r~solution d'4quations diff~rentielles, par exemple
la solution exponentielle de l'~quation diff~rentielle lin~aire dans une alg~bre de
Banach Ma, 55 Mi, 74 ou certaines ~quations de la th$orie quantique des
champs.
La d4termination d'une base de l'alg~bre de Lie libre ne semble appara~re
pour la premiere lois que dans l'article de M. Hall HAM, 50, te est connue sous
el nora de "base de Hall". Toutefois cette base est implicitement connue dans les
travaux de P. Hall te Magnus cit4s ci-dessus. Notamment P. Hall d~finit ce qu'il
appelle el "collecting process", c'est-&-dire un proc4d4 de calcul permettant d'4cri-
re de mani~re unique tout mot du groupe libre comme produit de certains comrnuta-
i~me
teurs, modulo el n groupe de la s4rie centrale descendante. Les commutateurs
apparaissant dans ce proc~d~ sont totalement ordonn~s te sont appel~es commutateurs
basiques. Si l'on remplace les parentheses d~finissant l'it~ration des commutateurs
par des crochets de Lie, on obtient alors la base de Hall. Diverses g4n4ralisations
des bases ou commutateurs basiques de Hall ont 4t4 propos~es par Meier-Wunderli
V V
MW, 521, Sch~itzenberger Sc, 583, Sirsov Si, 62 , Gorchakov Go, 69, Ward
Wa, 69~. Un autre proc6d4pour trouver une base est li4e ~ la notion de roots lexico-
graphiques standards : ce sont lea commutateurs basiques de Chen, Fox et Lyndon
CFL, 58~ dont la base associ4e est d4finie sous une autre forme 4quivalente par
V V
Sirsov Si, 58. Le premier but de notre travail est de donner une exposition
commune ~ routes ces diff4rentes constructions de bases dlalg~bres de Lie libres.
Par souci de simplicit4, nous ne parlerons queen termes dWalg~bres de Lie et
laisserons de c8t6 la traduction en termes de "commutateurs basiques" et "collec-
ting process" g4n4ralis6.
Cette 4rude se ram~ne ~ celle de certaines familles de roots du monoi'de
fibre, jouissant dlune propri4t4 d'unique factorisabilit4, et introduites par Sch{Itzen-
berger Sc, 65~ sousle nora de factorisations du monoille fibre. iI est ainsi surpre-
nant qu'une structure aussi pauvre que le monorde libre apparaisse comme fonda-
mentale pour l'4tude des alg~bres de Lie libres.
Une factorisation du mono~de libre X ''~ est une famille ~ = (yj, J E )J dans
laquelle les Y sont des parties de X ~" et J un ensemble totalement ordon-
J
n4, et telle que tout mot f s'4crive de mani~re unique f = fl "'" f avec p k i ,
P
if E Y et Jl > "'" > Jp " Le th4or~me principal de ce travail est que pour de
iJ
"bonnes" factorisations on peut, par un "crochetage" des roots de Y , construire
3
un ensemble Yj3 d'alternants de L(X) en bijection avec Y et qui est une famil-
' 3
le basique pour la sous-alg~bre de Lie libre qu'il engendre. De plus l'alg~bre de Lie
L(X) est, en rant que module, isomorphe ~ la somme directe G L(Yj3) . Lorsque
J
est une factorisation compl~te, c'est-~-dire lorsque chaque ensemble Y est
3
r4duit ~ un seul 414ment, on obtient ainsi une base de L(X).
Notre d~marche comprend trois ~tapes. La premiere consiste ~ prouver
le th~or~me fondamental dans le cas des bissections, ctest-£-dire des factorisations
pour lequelles J n'a que deux @l@ments. La deuxi~rne est la dSfinition, l'@tude et
les diff@rentes caract@risations commodes d'une classe de "bonnes" factorisations.
Cette classe est suffisamment vaste pour permettre de retrouver, dans le cas des
factorisations compl~tes, routes les bases connues des alg~bres de Lie libres. La
troisi~me 4tape est la caract@risation et la preuve de l'Squivalence des diff@rents
"crochetages" possibles des roots dtune factorisation. Zes deux derni~res 4tapes
ne font appel qu'~ des manipulations de roots du mono~de fibre et li n'est plus ques-
tion l& d'alg~bre de Lie. Par souci pTdagogique, nous avons d'abord fair route la
thTorie dans le cas des factorisations compl~tes. C'est l'objet du chapitre .I
Nous rappelons au paragraphe 1 les notations usuelles ainsi que les d@fini-
tions des diff@rentes bases connues. La premiere @tape de notre d@marche se r@-
duit ici ~ un cas trivial de bissections et el th@or~me fondamental devient alors le
th@or~rne d'@limination de Lazard La, 60 Bo, 7Z. Nous en redonnons la preuve
au paragraphe Z , Nous sornmes conduit ~ introduire directement la notion assez
technique de factorisation de Lazard. L'avantage est de pouvoir v@rifier facilement
le th@or~me fondamental pour cette classe de factorisations. Le paragraphe 3 intro-
duit une g@n@ralisation des "ensembles de Hall" tels qu'ils sont d@finis par le
"collecting process" de Hall. Nous montrons que la condition ainsi introduite est une
condition n@cessaire et suffisante pour que le proc@d@ donne naissance ~ des bases.
V V
Cette condition @tait d@j~ connue de Sirsov Si, 62 te a @t@ retrouv@e ind@pendem-
ment de nous par Michel Mi, 74 . Nous montrons enfin dans ce m~me paragraphe
11@quivalence des ensembles de Hall introduits avec les factorisations de Lazard.
Les procSd@s de dTfinition des bases associ@es aux factorisations de Lazard @tant
assez compliqu@s, nous proposons au paragraphe 4 des crit~res simples et commo-
des pour retrouver ces factorisations de Lazard, ainsi que el "crochetage" associ@
des roots. En particulier nous retrouvons les bases de Chen, Fox, Lyndon
V V
CFL, 58 et de Sirsov Si, 58 et prouvons leur @quivalence. En fair la factorisa-
tion associ@e ~ cette base peut ~tre consid@r@e aussi comme une factorisation de
Lazard dans l'autre sens. LI@tude de telles factorisations, que nous appelons
rT~uli~res, constitue le paragraphe .5 Ces factorisations, ainsi que les bases
associ4es, ont des propri4t4s rernarquables. En particulier, elles sont tr~s corn-
modes pour les calculs sur ordinateur. Par exernple, on verra les calculs de
Michel sur la s4rie de Hausdorff et el probl~me restreint de Burnside
EMi, 76.
Le reste de ce travail est la g4n4ralisation du chapitre I pour les factorisa-
tions non n4cessairernent cornpl~tes. Zes deuxi~rne et troisi~rne 4tapes rnentionn~es
ci-dessus se r4p~tent ~ peu pros cornrne au chapitre I . L~ aussi on peut introduire
les factorisations de Lazard,les ensembles de Hall et les factorisations r4guli~res.
CWest l~objet du chapitre .llI Nous ornettons les d4rnonstrations qui ont leurs analo-
gues au chapitre I . La g4n~ralisation correspond au passage entre les bissections
triviales et les bissections g4n4rales. Par contre, la premiere 4tape, qui est la
g4n4ralisation du th4or~rne d'41irnination de Lazard pour les bissections n~cessite
tout le chapitre .fI Pour ceci nous sornrnes conduits ~ introduire de nouveaux
objets : les bascules. Les bissections apparaissent cornrne les objets libres de la
cat6gorie des bascules. A route bascule est associ4e une alg~bre de Lie, qui de-
vient fibre lorsque la bascule s'identifie ~ une bissection. Lorsque la bascule ne
"bascule" pas, on retrouve le produit serni-direct dralg~bres de Lie et les bissec-
tions triviales. Le paragraphe 1 donne une construction fondarnentale des bissec-
tions, particuli~rement commode pour d4finir le "crochetage" des rnots. Cette
construction sirnplifie une construction ant4rieure de Sch~tzenberger ESc, 65.
Le paragraphe 2 expose les pr41irninaires n4cessaires sur les bascules. Enfln el
paragraphe 3 prouve el th4or~rne fondarnental pour les bissections. Notons que le
th4or~rne a aussi un analogue dans lWalg~bre enveloppante, ce qui constitue une
extension du th4or~rne de Poincar~-Birkhoff-Witt dans le cas des alg~bres de Lie
fibres.
li'S n'existe pas de bases canoniques de L(X), li existe par contre des
d~cornpositions canoniques en somme directe de sous-alg~bres de Lie fibres. Par
exernple pour X = ,x y} et pour p/q rationnel irr~ductible, soit Lp, q l'alg~bre
de Lie forrn~e des sornrnes dlalternants de bidegr~ rnp en x , rnq en y avec
rn ~ 1 • Une application de nos rn6thodes est d'exhiber (au paragraphe 3 du chapitre
)III une famille basique de L , qui est en bijection avec les "chernins minirnaux"
P,q
du plan IN X IN situ6sstricternent (sauf aux extr6rnit6s) sous la droite de pente
q/p . La d6cornposition de L(X) selon les L correspond en fair ~ celle relati-
P,q
ve ~ une factorisation dite de Spitzer, introduite en th6orie des fluctuations de sorn-
rues de variables al6atoires Sp, 56 Sc, 65 . Dans le cas de deux lettres, li
nty a dlaileurs qu'une seule factorisation de Spitzer non triviale (~ un isomorphis-
me pros). La d6cornposifion de L selon les L donne naissance ~ des alter-
P,q
nants et Foata avait conjectur6 quqls forrnent une base. Les chapitres II et lII
perrnettent donc de d6rnontrer cette conjecture. Nous appelons cette base, la base
de Spitzer-Foata et nous l'introduisons d~s la fin du paragraphe ,5 chapitre .I
Ainsi nous voudrions que ce travail soit une illustration de certaines id6es
de Sch~tzenberger rnenant ~ penser que certains ph6norn~nes ou identit4s rernarqua-
bles apparaissant dans des structures alg6briques ou cornbinatoires sont le reflet
de propri4t6s naturelles des rnots du rnonoZde libre, et qu'il n'est donc pas sans
int6r~t de d~velopper route une 6tude alg~brique et cornbinatoire de ces rnots.
D'ailleurs les factorisations introduites dans ce travail sont des objets li6s
g d'autres th6ories compl~ternent 6trang~res aux alg~bres de Lie. Par exernple,
li est touchant d'observer que les factorisations de Lazard li6es aux bases classi-
ques de Hall se retrouvent d6finies g des fins statistiques dans un article de Good
Go, 71 ou encore en th6orie des codes dans Sh, 68. Lg Scholtz donne une cons-
truction de codes "cornr~a-free" rnaxirnaux dont le cardinal est exactement la di-
mension de la cornposante hornog~ne de degr4 n de l'alg~bre de Lie, et red6rnontre
ainsi apr~s Eastman une conjecture de Golornh~Gordon et Welch. La construction
de Scholtz, cornrne celle de Good, est cellede la factorisation de Lazard associ6e
aux bases classiques de Hall. En th6orie des fluctuations des sornmes de variables
al6atoires d6j~ cit4e ci-dessus, le principe d'4quivalence de Sparre Andersen est une
certaine propri~t6 de r6arrangernent relative ~ une classe particuli~re de bissections,
cornrne l'ont rnontr6 Foata et Sch~itzenberger FS, 71. Un autre th6or~rne de
r4arrangernent est celui de i z ~galit6 des distributions des "mont4es" te des
"exc4dances" parmi les suites avec r4p6titions. Les premieres bijections de r~ar-
rangement ont 4t4 rnises en 4vidence par Foata Fo, 65 . Chacune d'ellesest
d6finie ~ partir d'une factorisation complAte v6rifiant une condition appel~e
"sp6ciale". Notons que les factorisations r4guli~res du paragraphe 5 , chapitre ,I
sont des factorisations sp~ciales. Dans ces bijections les mots de la factorisation
jouent el rn~rne role que les cycles pour les suites sans r4p4titions, ou permuta-
tions. Cette 4rude sera reprise sous une forrne plus 41@gante par Cartier te Foata
CF, 69. iI est enfin assez curieux que les bascules te bissections du chapitre II
sont des objets de la th4orie des automates te langages d4velopp4e en Inforrnatique
th4orique. Les bascules apparaissent en effet cornme une g~n4ralisation de la notion
d'autornate, te jouent vis-a-vis des langages lin4aires el rOle quejouent les automa-
tes finis vis-a-vis des langages rationnels. slI sont ~quivalents ~ al notion "d'auto-
mate ordonn4". On peut d4velopper une th4orie de ces objets, similaire ~ celle des
monoZdes syntactiques des codes pr4fixes rationnels (volt Vi, 74).
Les r4sultats de ce travail avait d4j~ 4t4 annonc4s pr4c4demrnent par trois
notes aux Cornptes rendus Vi, 73~ ainsi que par des exposes Vi, 7Z Vi, 74'~
Vi, 74"~. On trouvera les preuves completes du chapitre III dans la th~se de
l'auteur Vi, 74~. Ind~pendarnrnent de nous, Michel Mi, 74~ a retrouv~ plus tard
l'@quivalence entre les ensembles de Hall tels qu'ils sont d@finis au paragraphe ,3
chapitre Iet la condition (v') de la proposition 1.8 caract4risant les factorisations
de Lazard. iI prouve alors directernent par un argument de d4veloppernent que ces
ensembles g4n~rent des bases de l'alg~bre de Lie.
Je rernercie sinc~rement Pierre Cartier de rnlavoir fair l'honneur de
s'~tre int4ress4 dans les d~tails ~ rnon travail. C'est avec joie que je rernercie ici
Marcel Paul Sch~itzenberger. iI est & l'origine de rna th~se te de ce pr4sent travail
qui s'appuie sur certains de ses travaux personnels. iI rut te est toujours pour rnoi
plus qu'un "bon rnaltre". Enfin la forme d4finitive de ce rn4rnoire nlaurait pas vu
el jour sans les encouragements, l~aide et el d4vouernent de Dominique Foata.