ALGÈBRES DE KAC-MOODY par Charles Cochet

26 Pages·2012·0.3 MB·French

ALG¨BRES DE KAC-MOODY
par
Charles Cochet
Table des matiŁres
1. AlgŁbres de Kac-Moody............................................................. 2
2. Forme bilinØaire invariante et opØrateur de Casimir gØnØralisØ....................... 7
3. Groupe de Weyl et reprØsentationsintØgrables des algŁbres de Kac-Moody.......... 13
4. Classi(cid:28)cation des matrices de Cartan gØnØralisØes................................... 20
Index des notations.................................................................... 25
Index terminologique................................................................... 25
CesnotessontissuesdespremierschapitresdulivredeKac,In(cid:28)nite Dimensional Lie Algebras (Cam-
bridge University Press).
2 CHARLES COCHET
1. AlgŁbres de Kac-Moody
On dit que la matrice A=(a ) (cid:224) coe(cid:30)cient complexes est une matrice de Cartan gØnØralisØe
i;j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
si elle satisfait aux conditions
(1) a =2 pour tout i=1;:::;n;
i;i
(2) a est un entier nØgatif pour i6=j;
i;j
(3) a =0 si et seulement si a =0:
i;j j;i
Bien qu’une thØorie trŁs riche puisse Œtre dØveloppØe avec les matrices de Cartan gØnØralisØe, il est
naturel de commencer avec une matrice quelconque.
1.1. RØalisation d’une matrice. (cid:22) Soit A = (a ) une matrice complexe de rang ‘. Une
i;j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
rØalisation de A est la donnØe d’un triplet (h;(cid:5);(cid:5)_), oø h est un C-espace et (cid:5) = f(cid:11) ;:::;(cid:11) g (cid:26) h(cid:3),
1 n
(cid:5)_ =f(cid:11)_;:::;(cid:11)_g(cid:26)h vØri(cid:28)ent
1 n
(4) (cid:5) et (cid:5)_ sont libres;
(5) h(cid:11)_;(cid:11) i=a (i;j =1;:::;n);
i i i;j
(6) n(cid:0)‘=dim(h)(cid:0)n:
Nous appellerons (cid:5) la base des racines et (cid:5)_ la base des co-racines. Les ØlØments de (cid:5) et (cid:5)_ sont
appelØs racines simples et co-racines simples respectivement. Posons Øgalement
n n
Q= Z(cid:11) ; Q = N(cid:11) :
i + i
i=1 i=1
X X
Le treillis Q est appelØ treillis des racines. Pour (cid:11)= a (cid:11) , l’entier ht((cid:11))= a est la hauteur de (cid:11).
i i i i i
En(cid:28)n, introduisons un ordre partiel (cid:21) sur h(cid:3) en posant (cid:21)(cid:21)(cid:22) si (cid:21)(cid:0)(cid:22)2Q .
+
P P
Deux rØalisations(h;(cid:5);(cid:5)_)et(h ;(cid:5) ;(cid:5)_)deAsontisomorphess’ilexisteunisomorphisme(cid:30):h(cid:0)!
1 1 1
h d’espaces vectoriels tel que (cid:30)((cid:5)_)=(cid:5)_ et (cid:30)(cid:3)((cid:5) )=(cid:5).
1 1 1
Proposition 1.1. (cid:22) Il existe une unique rØalisation ((cid:224) isomorphisme prŁs) d’une matrice complexe A.
Deux rØalisations de matrices A et B sont isomorphes si et seulement si B est obtenue (cid:224) partir de A par
permutation de l’ensemble des indices.
A
DØmonstration. (cid:22) Quitte(cid:224)rØordonnerlesindices,onpeut supposerqueA= 1 pourunematrice
A
2
(cid:18) (cid:19)
A de taille ‘(cid:2)n de rang n. ConsidØrons la matrice
1
A 0
C = 1
A I
2 n(cid:0)‘
(cid:18) (cid:19)
detaillen(cid:2)(2n(cid:0)‘).Posonsh=C2n(cid:0)‘.Choisissonspour(cid:11) ;:::;(cid:11) lesnpremiŁresfonctionscoordonnØes
1 n
et pour (cid:11)_;:::;(cid:11)_ les n lignes de C. Nous obtenons alors une rØalisation de A.
1 n
DØmontrons l’unicitØ. Pour une rØalisation (h;(cid:5);(cid:5)_) donnØe, complØtons (cid:5) en une base de h(cid:3) en
ajoutant des ØlØments (cid:11) ;:::;(cid:11) 2h(cid:3). Nous avons alors
n+1 2n(cid:0)‘
A B
(h(cid:11)_;(cid:11) i) = 1
i j i;j A D
2
(cid:18) (cid:19)
pour une matrice B inversiblede taille ‘(cid:2)(n(cid:0)‘) et une matrice D inversible de taille (n(cid:0)‘)(cid:2)(n(cid:0)‘).
Quitte (cid:224) ajouter (cid:224) (cid:11) ;:::;(cid:11) des combinaisons linØaires de (cid:11) ;:::;(cid:11) , on peut supposer B = 0.
n+1 2n(cid:0)‘ 1 ‘
En rempla(cid:231)ant (cid:11) ;:::;(cid:11) par des combinaisons linØaires d’eux-mŒme, on se ramŁne Øgalement (cid:224)
n+1 2n(cid:0)‘
D=I. D’oø l’unicitØ de la rØalisation.
La seconde partie de la proposition est maintenant Øvidente.
Si (h;(cid:5);(cid:5)_) estune rØalisationdeA, alors(h(cid:3);(cid:5)_;(cid:5)) est une rØalisationde la matricetransposØe tA.
ALG¨BRES DE KAC-MOODY 3
Soient deux matrices A et A dont des rØalisations respectives sont (h ;(cid:5) ;(cid:5)_) et (h ;(cid:5) ;(cid:5)_). La
1 2 1 1 1 2 2 2
A 0
matrice 1 est la somme directe de A et A ; elle admet pour rØalisation le triplet
0 A 1 2
2
(cid:18) (cid:19)
(h (cid:8)h ;(cid:5) (cid:2)f0g[f0g(cid:2)(cid:5) ;(cid:5)_(cid:2)f0g[f0g(cid:2)(cid:5)_);
1 2 1 2 1 2
appelØ somme directe des rØalisations.
Une matrice A (ainsi que sa rØalisation) est dØcomposable si aprŁs avoir rØordonnØ les indices elle se
dØcomposeenunesommedirectenontriviale.AprŁsavoirrØordonnØlesindices,onpeuttoujoursdØcom-
poser une matrice A en une somme directe de matrices indØcomposables; la rØalisation correspondante
est la somme directe des rØalisations indØcomposables correspondantes.
1.2. Construction de l’algŁbre ~g(A). (cid:22) Soit A = (a ) une matrice complexe de rang ‘.
i;j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
ChoisissonsunerØalisation(h;(cid:5);(cid:5)_)deA.IntroduisonsunealgŁbredeLieauxiliaire~g(A),degØnØrateurs
e , f (i=1;:::;n) et h satisfaisant aux relations
i i
[e ;f ] = (cid:14) (cid:11)_ (i;j =1;:::;n);
i j i;j i
[h;h0] = 0 (h;h0 2h);
(7) 8
[h;e ] = h(cid:11) ;hie (i=1;:::;n; h2h);
>>< [h;fi] = (cid:0)hi(cid:11) ;hiif (i=1;:::;n; h2h):
i i i
Il dØcoule de l’unicitØ de l>>:a rØalisation que g~(A) ne dØpend que de A. On Øcrira ad(x)=[x; (cid:1)].
Notons n~ (resp. n~ ) la sous-algŁbrede g~(A) engendrØe par les e (resp. les f ).
+ (cid:0) i i
ThØorŁme 1.2. (cid:22) (1) Nous avons une somme directe d’espaces vectoriels ~g(A)=n~ (cid:8)h(cid:8)n~ .
(cid:0) +
(2) La sous-algŁbre n~ (resp. n~ ) est librement engendrØe par les e (resp. les f ).
+ (cid:0) i i
(3) L’application e 7! (cid:0)f , f 7! (cid:0)e , h 7! (cid:0)h (h 2 h) s’Øtend de fa(cid:231)on unique en une involution !~
i i i i
de l’algŁbre de Lie ~g(A).
(4) L’algŁbre de Lie ~g(A) se dØcompose en espaces radiciels sous l’action de h sous la forme
(8) ~g(A)= ~g (cid:8)h(cid:8) ~g ;
(cid:0)(cid:11) (cid:11)
! !
(cid:11)2QM+nf0g (cid:11)2QM+nf0g
oø g~ = fx 2 ~g(A); [h;x] = (cid:11)(h)x pour tout h 2 hg. De plus dim(~g ) < +1 et ~g (cid:26) n~ pour (cid:6)(cid:11) 2
(cid:11) (cid:11) (cid:11) (cid:6)
Q nf0g.
+
(5) Il existe un unique idØal maximal r de ~g(A) intersectant trivialement h. Nous avons une somme
directe d’idØaux
(9) r=(r\n~ )(cid:8)(r\n~ ):
(cid:0) +
DØmonstration. (cid:22) Non recopiØe car longue.
1.3. Construction de l’algŁbre de Kac-Moody g(A). (cid:22) Soit A=(a ) une matrice com-
i;j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
plexe (de rang ‘). Choisissons une rØalisation (h;(cid:5);(cid:5)_) de A. ConsidØrons l’algŁbre de Lie ~g(A) sur les
gØnØrateurse etf (i=1;:::;n)aveclesrelations(7).D’aprŁslethØorŁme1.2(1),l’applicationnaturelle
i i
h(cid:0)!~g(A) est un plongement. Soit r l’unique idØal maximal intersectant trivialement h. Posons
g(A)=~g(A)=r:
La matrice A est la matrice de Cartan de l’algŁbre de Lie g(A).
L’entiernestlerang deg(A).Lequadruplet(g(A);h;(cid:5);(cid:5)_)estappelØquadrupletassociØ (cid:224)lamatrice
A. Deux quadruplets (g(A);h;(cid:5);(cid:5)_) et (g(A );h ;(cid:5) ;(cid:5)_) sont isomorphes s’il existe un isomorphisme
1 1 1 1
d’algŁbres de Lie (cid:30):g(A)(cid:0)!g(A ) tel que (cid:30)(h)=h , (cid:30)((cid:5)_)=(cid:5)_ et (cid:30)(cid:3)((cid:5) )=(cid:5).
1 1 1 1
UnealgŁbredeLieg(A)dontlamatriceAestunematricedeCartangØnØralisØecommedØ(cid:28)nien(1(cid:21)3)
est appelØe algŁbre de Kac-Moody.
Nous conserveronsla mŒme notation pour les images des e , des f et de h dans g(A). La sous-algŁbre
i i
h de g(A) est appelØe sous-algŁbre de Cartan. Les e et f sont appelØs gØnØrateurs de Chevalley. Ils
i i
engendrent en fait l’algŁbre dØrivØe g0(A)=[g(A);g(A)]. De plus
g(A)=g0(A)+h:
Il s’ensuit que g(A)=g0(A) si et seulement si det(A)6=0. Posons h0 = n C(cid:11)_; ainsi g0(A)\h=h0.
i=1 i
P
4 CHARLES COCHET
DØ(cid:28)nissonsl’espaceradiciel associØ(cid:224)(cid:11)commeØtantg =fx2g(A); [h;x]=(cid:11)(h)x pour tout h2hg.
(cid:11)
La formule (8) implique la dØcomposition radicielle selon h
(10) g(A)= g :
(cid:11)
(cid:11)2Q
M
Remarquons que g =h et g0(A)\g =g si (cid:11)6=0. L’entier mult((cid:11))=dim(g ) est appelØ multiplicitØ
0 (cid:11) (cid:11) (cid:11)
de (cid:11). L’estimation dim(~g(A))(cid:20)njht((cid:11))j implique
(11) mult((cid:11))(cid:20)njht((cid:11))j:
Une forme (cid:11) 2 Q est appelØe racine si (cid:11) 6= 0 et mult((cid:11)) 6= 0. Une racine (cid:11) > 0 (resp. (cid:11) < 0) est
ditepositive (resp.nØgative).LadØcomposition(7)impliquequ’uneracineestsoitpositive,soitnØgative.
Notons (cid:1), (cid:1) et (cid:1) respectivement les ensembles des racines, racines positives et racines nØgatives.
+ (cid:0)
Ainsi
(cid:1)=(cid:1) t(cid:1) :
+ (cid:0)
Nous Øcrirons parfois (cid:1)(A), Q(A), etc., a(cid:28)n d’insister sur la dØpendance en A.
Soit n (resp. n ) la sous-algŁbre de g(A) engendrØe par les e (resp. les f ). Le thØorŁme 1.2 nous
+ (cid:0) i i
fournit la dØcomposition triangulaire
g(A)=n (cid:8)h(cid:8)n :
(cid:0) +
Remarquonsqueg (cid:26)n lorsque(cid:11)>0etg (cid:26)n lorsque(cid:11)<0.End’autrestermes,pour(cid:11)>0(resp.
(cid:11) + (cid:11) (cid:0)
(cid:11)<0)l’espaceg estlinØairementengendrØparlesØlØmentsdelaforme[:::[[e ;e ];e ];:::;e ](resp.
(cid:11) i1 i2 i3 ip
[:::[[f ;f ];f ];:::;f ]) tels que (cid:11) +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(cid:11) =(cid:11) (resp. =(cid:0)(cid:11)). On en dØduit
i1 i2 i3 ip i1 ip
(12) g =Ce ; g =Cf ; g =0 si jsj>1:
(cid:11)i i (cid:0)(cid:11)i i s(cid:11)i
Puisque une racine est soit nØgative, soit positive, nous avons le rØsultat important suivant :
Lemme 1.3. (cid:22) Si (cid:12) 2(cid:1) nf(cid:11) g, alors ((cid:12)+Z(cid:11) )\(cid:1)(cid:26)(cid:1) .
+ i i +
D’aprŁslethØorŁme1.2(5),l’idØalr(cid:26)~g(A)est!~-invariant.Donc!~ induitunautomorphismeinvolutif
! de l’algŁbre de Lie g(A), appelØ involution de Chevalley. Cette involution est dØterminØe par
(13) !(e )=(cid:0)f ; !(f )=(cid:0)e ; !(h)=(cid:0)h (h2h):
i i i i
Puisque !(g )=g , on obtient mult((cid:11))=mult((cid:0)(cid:11)). En particulier
(cid:11) (cid:0)(cid:11)
(14) (cid:1) =(cid:0)(cid:1) :
(cid:0) +
1.4. Une sorte d’unicitØ de l’algŁbre de Lie g(A).(cid:22) Le rØsultat suivant, quoique simple, est trŁs
utile.
Proposition 1.4. (cid:22) (1) Soient g une algŁbre de Lie et h une sous-algŁbre commutative. Supposons
qu’il existe des ØlØments e , f (i = 1;:::;n) et des ensembles (cid:5)_ = f(cid:11)_;:::;(cid:11)_g (cid:26) h et (cid:5)_ =
i i 1 n
f(cid:11) ;:::;(cid:11) g(cid:26)h(cid:3) libres tels que
1 n
[e ;f ]=(cid:14) (cid:11)_ 2h (i;j =1;:::;n);
i j i;j i
[h;e ]=h(cid:11) ;hie ;[h;f ]=(cid:0)h(cid:11) ;hif (h2h; i=1;:::;n):
i i i i i i
Supposons que les e , les f et h engendrent g en tant qu’algŁbre de Lie, et que g n’admette aucun idØal
i i
non nul intersectant trivialement h. Posons en(cid:28)n A = (h(cid:11)_;(cid:11) i) et supposons que dim(h) =
i j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
2n(cid:0)rang(A). Alors (g;h;(cid:5);(cid:5)_) est le quadruplet associØ (cid:224) la matrice A.
(2) Soient A et A0 deux matrices complexes de taille n(cid:2)n. Alors il existe un isomorphisme entre les
quadruplets associØs si et seulement si A0 s’obtient (cid:224) partir de A en rØordonnant l’ensemble des indices.
DØmonstration. (cid:22) Ceci dØcoule de la proposition 1.1 et du thØorŁme 1.2.
Corollaire 1.5. (cid:22) Lequadruplet associØ (cid:224) unesommedirecte dematrices A estisomorphe (cid:224)la somme
i
directe des quadruplets associØs aux A . Le systŁme des racines de g(A) est la rØunion des systŁmes des
i
racines des A .
i
ALG¨BRES DE KAC-MOODY 5
1.5. Digression sur les graduations. (cid:22) Fixons un groupe abØlien M. Une dØcomposition V =
V d’un espace vectoriel V est appelØe M-graduation de V. Un sous-espace U (cid:26)V est graduØ si
(cid:11)2M (cid:11)
U = (U\V ).LesØlØmentsdeV sontdits homogŁnes dedegrØ(cid:11). LerØsultatsuivantestsouvent
L (cid:11)2M (cid:11) (cid:11)
utilisØ en thØorie des reprØsentations.
L
Proposition 1.6. (cid:22) Soient h une algŁbre de Lie commutative et V un h-module diagonalisable, c’est-
(cid:224)-dire
(15) V = V ; oø V =fv2V ; h(v)=(cid:21)(h)v pour tout h2hg:
(cid:21) (cid:21)
(cid:21)2h(cid:3)
M
Alors tout sous-module U de V est graduØ pour la graduation (15).
DØmonstration. (cid:22) Tout v 2 V s’Øcrit v = m v pour des v 2 V . Il existe alors h 2 h tel que les
j=1 j j (cid:21)j
(cid:21) (h) soient tous distincts. Pour v 2U, on a alors
j
P
m
hk(v)= (cid:21) (h)kv 2U (k =0;:::;m(cid:0)1):
j j
j=1
X
Ce systŁme linØaire est non-dØgØnØrØ,donc admet une unique solution; ainsi v 2U pour tout j.
j
Introduisons la topologie formelle sur un espace vectorielgraduØV = V comme suit. Pour un
(cid:11)2M (cid:11)
sous-ensemble (cid:28)ni F (cid:26) M, posons VF = V et dØclarons que ces VF forment une base d’un
(cid:11)2MnF (cid:11) L
systŁme de voisinages de zØro. La complØtion de V dans cette topologie est (cid:5) V . La cl(cid:244)ture d’un
(cid:11)2M (cid:11)
L
sous-ensemble C de cet espace vectoriel topologique est appelØe complØtion formelle de C.
UneM-graduation d’unealgŁbredeLiegestunegraduation(del’espacevectorielg)telleque[g ;g ](cid:26)
(cid:11) (cid:12)
g . Par exemple la graduation(10) est une Q-graduation de l’algŁbre de Lie g(A).
(cid:11)+(cid:12)
A(cid:28)ndeconstruireuneM-graduationsurunealgŁbredeLieg,choisissonsdesgØnØrateursa ;:::;a de
1 n
g et des ØlØments (cid:21) ;:::;(cid:21) de M. DØcrØtons que deg(a )=(cid:21) . Ceci dØ(cid:28)nit une (unique) M-graduation
1 n i i
de gtelle que deg(a )=(cid:21) si et seulement si l’idØal des relationsentre les a est M-graduØ.Parexemple,
i i i
si les a forment un systŁme libre de gØnØrateursde g alorsune telle graduation existe.
i
Soit maintenant un n-uplet (s ;:::;s ) d’entiers. En posant
1 n
deg(e )=(cid:0)deg(f )=s (i=1;:::;n); deg(h)=0;
i i i
on dØ(cid:28)nit une Z-graduation
g(A)= g (s)
j
j2Z
M
de g(A), appelØe graduation de type s, avec
g (s)= g
j (cid:11)
(cid:11)
M
et oø la somme est sur l’ensemble des (cid:11)= k (cid:11) 2Q tels que k s =j. Si s >0 pour tout i, alors
i i i i i i i
g (s)=h et dim(g (s))<+1 pour tout j.
0 j
P P
Exemple 1.7. (cid:22) Une graduation importante est la graduation principale. C’est la graduation de type
1I=(1;:::;1). De fa(cid:231)on explicite, on a g (1I)= g . Ainsi
j ht((cid:11))=j (cid:11)
g (1I)=h; g (1I)= CfL; g (1I)= Ce ; n = g (1I):
0 (cid:0)1 i 1 i (cid:6) (cid:6)
i i j(cid:21)1
X X M
Lemme 1.8. (cid:22) Soit a 2 n tel que [a;f ] = 0 pour tout i. Alors a est nul. De mŒme, tout a 2 n tel
+ i (cid:0)
que [a;e ]=0 pour tout i est nul.
i
DØmonstration. (cid:22) Soit a 2 n tel que [a;g ] = 0. Alors ad(g (1I))iad(h)ja est un sous-espace
+ (cid:0)1 i;j(cid:21)0 1
de n (cid:26)g(A). Ce sous-espaceest invariantsous l’action de ad(g (1I)) et de ad(h), ainsi que sous celle de
+ 1
P
ad(g (1I)) d’aprŁs l’hypothŁse sur a. Donc si a6=0 on obtient un idØal non nul de g(A) qui intersecte h
(cid:0)1
trivialement. Ceci contredit la construction de g(A).
6 CHARLES COCHET
Remarque 1.9. (cid:22) IlestparfoisplusutiledeconsidØrerg0(A)plut(cid:244)tqueg(A).Donnonsuneconstruction
directedeg0(A).Soit~g0(A)l’lagŁbredeLieengendrØepardessymbolese ,f ,(cid:11)_(i=1;:::;n)satisfaisant
i i i
aux relations de dØ(cid:28)nition
[e ;f ]=(cid:14) (cid:11)_; [(cid:11)_;(cid:11)_]=0; [(cid:11)_;e ]=a e ; [(cid:11)_;f ]=(cid:0)a f :
i j i;j i i j i j i;j j i j i;j j
Soit Q un groupe abØlien libre sur les gØnØrateurs (cid:11) ;:::;(cid:11) . Introduisons une Q-graduation ~g0(A) =
1 n
(cid:8) g~0 en posant deg(e ) = (cid:0)deg(f ) = (cid:11) et deg((cid:11)_) = 0. Il existe un unique idØal maximal Q-graduØ
(cid:11) (cid:11) i i i i
r(cid:26)~g0(A) intersectant ~g0(= C(cid:11)_) trivialement. Alors
0 i i
g0(A)=~g0(A)=r:
P
Remarquons que cette dØ(cid:28)nition est encore valable lorsque n est in(cid:28)ni.
1.6. Deux applications du lemme 1.8. (cid:22)
Proposition 1.10. (cid:22) Le centre de l’algŁbre de Lie g(A) (ou de g0(A)) est Øgal (cid:224)
c=fh2h; h(cid:11) ;hi=0 pour tout i=1;:::;ng:
i
De plus dim(c)=n(cid:0)‘.
DØmonstration. (cid:22) Soit c dans le centre; il se dØcompose selon la graduation principale sous la forme
c = c . Alors [c;g (1I)] = 0 implique [c ;g (1I)] = 0. D’aprŁs le lemme 1.8, on obtient c = 0 pour
i i (cid:0)1 i (cid:0)1 i
i>0.Onadefa(cid:231)onsimilairec =0pouri<0.ParconsØquentc2h.Puis[c;e ]=h(cid:11) ;cie =0implique
i i i i
P
h(cid:11) ;ci=0 pour tout i.
i
RØciproquement, si c 2 h vØri(cid:28)e h(cid:11) ;ci = 0 pour tout i alors c commute avec les gØnØrateurs de
i
Chevalley et appartient au centre.
En(cid:28)n c=h0 puisque sinon dim(c)>n(cid:0)‘ et (cid:5) ne serait pas libre.
Une autre application du lemme 1.8 est le
Lemme 1.11. (cid:22) Soient I , I (cid:26) f1;:::;ng disjoints tels que a = a = 0 dŁs que i 2 I et j 2 J .
1 2 i;j j;i 1 2
Soit (cid:12) = k(s)(cid:11) pour s=1, 2. Supposons que (cid:11)=(cid:12) +(cid:12) est une racine de l’algŁbre de Lie g(A).
s i2Is i i 1 2
Alors (cid:12) ou (cid:12) est nul.
1 2
P
DØmonstration. (cid:22) Soient i 2 I et j 2 I . Alors [(cid:11)_;e ] = 0, [(cid:11)_;e ] = 0, [e ;f ] = 0 et [e ;f ] = 0.
1 2 i j j i i j j i
D’aprŁs le lemme 1.8 et la formule de Jacobi, on obtient [e ;e ] = 0 et [f ;f ] = 0. Notons g(s) la sous-
i j i j
algŁbredeg(A) engendrØeparles e etles f (i2I ). Onvient dedØmontrerqueg(1) etg(2) commutent.
i i s
Puisque g est dans la sous-algŁbre engendrØe par g(1) et g(2), on en dØduit que g est inclus soit dans
(cid:11) (cid:11)
g(1), soit dans g(2).
1.7. Description des idØaux de g(A). (cid:22)
ThØorŁme 1.12. (cid:22) (1) L’algŁbre de Lie g(A) est simple si et seulement si det(A) 6= 0 et pour tout
couple (i;j) d’indices la condition suivante est vØri(cid:28)Øe :
(16) il existe des indices i ;:::;i tels que a a (cid:1)(cid:1)(cid:1)a 6=0:
1 s i;i1 i1;i2 is;j
(2) Si (16) est vØri(cid:28)Øe, alors tout idØal de g(A) contient g0(A) ou bien est contenu dans le centre.
DØmonstration. (cid:22) Les conditionsde (1) sont nØcessaires.Supposons maintenantqu’elles sont satisfaites
et (cid:28)xons un idØal non nul i de g(A). Alors i contient un ØlØment non nul h 2 h. Puisque det(A) 6= 0, la
proposition1.10impliquec=0.Donc[h;e ]=ae estnonnulpourunj.Ainsie 2iet(cid:11)_ =[e ;f ]2i.
j j j j j j
La condition (16) implique e , f , (cid:11)_ 2 i pour tout k. Puisque det(A) 6= 0, l’espace h est linØairement
k k k
engendrØ par les (cid:11)_ et on obtient i=g(A). La dØmonstration de (2) est analogue.
k
Remarque 1.13. (cid:22) Si a =0,a =0, alors la condition (16) est Øquivalente (cid:224) l’indØcomposabilitØ
i;j j;i
de A.
ALG¨BRES DE KAC-MOODY 7
2. Forme bilinØaire invariante et opØrateur de Casimir gØnØralisØ
2.1. Construction d’une forme bilinØairesur h (dans le cas A symØtrisable). (cid:22) Sil’onchange
la longueur des gØnØrateurs de Chevalley par e 7! e , f 7! (cid:15) f pour des rØels non nuls (cid:15) , on obtient
i i i i i i
une application (cid:11)_ 7!(cid:15) (cid:11)_ qui s’Øtend en un isomorphisme h(cid:0)!h (non unique lorsque det(A)=0). Il
i i i
s’Øtend en un isomorphisme g(A)(cid:0)!g(DA), oø D=diag((cid:15) ;:::;(cid:15) ).
1 n
Une matrice A = (a ) de taille n(cid:2)n est symØtrisable s’il existe une matrice diagonale inversible
i;j
D=diag((cid:15) ;:::;(cid:15) ) et une matrice symØtrique B =(b ) telles que
1 n i;j
(17) A=DB:
LamatriceBestappelØeunesymØtrisation deAetg(A)estditealgŁbredeLiesymØtrisable.Remarquons
queAsymØtrisablesietseulementsia =0,a =0eta a (cid:1)(cid:1)(cid:1)a =a a (cid:1)(cid:1)(cid:1)a pour
i;j j;i i1;i2 i2;i3 ik;i1 i2;i1 i3;i2 i1;ik
tous i .
j
Soit g(A) une algŁbre de Lie symØtrisable de dØcomposition (17) (cid:28)xØe. Choisissons une rØalisation
(h;(cid:5);(cid:5)_) de A. Fixons un complØmentaire h00 de h0 = C_ dans h. DØ(cid:28)nissons une forme bilinØaire
i i
symØtrique ((cid:1); (cid:1)):h(cid:2)h(cid:0)!C en posant
P
(18) ((cid:11)_;h)=h(cid:11) ;hi(cid:15) (i=1;:::;n; h2h);
i i i
(19) (h0;h00)=0 (h0;h00 2h00):
Puisque les (cid:11)_ sont linØairement indØpendants et gr(cid:226)ce (cid:224) (17(cid:21)18), on a
i
(20) ((cid:11)_;(cid:11)_)=b (cid:15) (cid:15) (i;j =1;:::;n)
i j i;j i j
et la forme ((cid:1); (cid:1)) est dØ(cid:28)nie sans ambigu(cid:239)tØ.
Lemme 2.1. (cid:22) (1) Le noyau de la restriction de la forme bilinØaire ((cid:1); (cid:1)) (cid:224) h0 co(cid:239)ncide avec c.
(2) La forme bilinØaire ((cid:1); (cid:1)) est non-dØgØnØrØe sur h.
DØmonstration. (cid:22) L’assertion (1) dØcoule de la proposition 1.10. Si pour tout h 2 h on a 0 =
( c (cid:11)_;h)=h c (cid:15) (cid:11) ;hi, alors c (cid:15) (cid:11) =0 d’oø (cid:28)nalement c =0 pour tout i.
i i i i i i i i i i i i
PPuisque la forPme bilinØaire ((cid:1); (cid:1))Pest non-dØgØnØrØe, on a un isomorphisme (cid:23) :h(cid:0)!h(cid:3) dØ(cid:28)ni par
h(cid:23)(h );h i=(h ;h ) (h ;h 2h);
1 2 1 2 1 2
c’est-(cid:224)-dire (cid:23)(h )= (h ; (cid:1))2 h(cid:3). On obtient Øgalement gr(cid:226)ce (cid:224) (cid:23) une forme bilinØaire symØtrique ((cid:1); (cid:1))
1 1
sur h(cid:3).
La formule (18) implique
(21) (cid:23)((cid:11)_)=(cid:15) (cid:11) (i=1;:::;n):
i i i
Ainsi gr(cid:226)ce (cid:224) (20) on obtient
(22) ((cid:11) ;(cid:11) )=b =a =(cid:15) (i;j =1;:::;n):
i j i;j i;j i
2.2. PropriØtØs de la forme bilinØaire. (cid:22)
ThØorŁme 2.2. (cid:22) Soitg(A)unealgŁbredeLiesymØtrisable.FixonsunedØcomposition (17)deA.Alors
il existe une forme bilinØaire symØtrique non-dØgØnØrØe ((cid:1); (cid:1)):g(A)(cid:2)g(A)(cid:0)!C telle que
(1) La forme ((cid:1); (cid:1)) est (ad-)invariante, c’est-(cid:224)-dire ([x;y];z)+(y;[x;z])=0 pour tous x, y, z 2g(A).
(2) La restriction ((cid:1); (cid:1)) est dØ(cid:28)nie par (18(cid:21)19) et est non-dØgØnØrØe.
h
(3) On a (g ;g )=0 si (cid:11)+(cid:12) 6=0.
(cid:11) (cid:12) (cid:12)
(4) La restriction ((cid:1); (cid:1))(cid:12) est non-dØgØnØrØe pour (cid:11) 6= 0, donc g et g sont isomorphes par
g(cid:11)+g(cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:11)
((cid:1); (cid:1)).
(cid:12)
(5) La forme vØri(cid:28)e [x;y(cid:12)]=(x;y)(cid:23)(cid:0)1((cid:11)) pour x2g , y2g et (cid:11)2(cid:1).
(cid:11) (cid:0)(cid:11)
DØmonstration. (cid:22) Non recopiØe car longue.
8 CHARLES COCHET
2.3. Forme bilinØaire invariante standard. (cid:22) Soit A=(a ) une matrice de Cartan gØnØ-
i;j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
ralisØe symØtrisable. Fixons une dØcomposition
(23) A=diag((cid:15) ;:::;(cid:15) )(b ) ;
1 n i;j 1(cid:20)i;j(cid:20)n
oø les (cid:15) sont des rationnels positifs et B = (b ) est symØtrique rationnelle. Une telle dØcomposition
i i;j i;j
existetoujours.Ene(cid:27)et,l’ØgalitØ(23)estØquivalente(cid:224)unsystŁmehomogŁned’Øquationsetd’inØquations
linØaires sur Q d’indØterminØes les (cid:15)(cid:0)1 et les b , (cid:224) savoir (cid:15)(cid:0)1 6= 0, diag((cid:15)(cid:0)1;:::;(cid:15)(cid:0)1)A = (b ) et
i i;j i 1 n i;j i;j
b =b . Ce systŁme a par dØ(cid:28)nition une solution sur C. Donc il admet une solution sur Q.
i;j j;i
On peut supposer la matrice A indØcomposable. Par consØquent pour tout 1 < j (cid:20) n il existe une
suite 1=i <i <(cid:1)(cid:1)(cid:1)<i <i =j telle que a <0. On a
1 2 k(cid:0)1 k is;is+1
(24) a (cid:15) =a (cid:15) (s=1;:::;k(cid:0)1):
is;is+1 is+1 is+1;is is
Il s’ensuit que (cid:15) (cid:15) >0 pour tout j, achevant la dØmonstration.
j 1
On dØduit Øgalement de (24) la
Remarque 2.3. (cid:22) Si A est indØcomposable, alors la matrice diag((cid:15) ;:::;(cid:15) ) est dØterminØe de fa(cid:231)on
1 n
unique par la dØcomposition (23) (cid:224) un facteur constant prŁs.
Fixons une forme bilinØaire symØtrique non-dØgØnØrØe ((cid:1); (cid:1)) associØe (cid:224) la dØcomposition (23). On
dØduit de la formule (22) que
(25) ((cid:11) ;(cid:11) )>0 (i=1;:::;n);
i i
(26) ((cid:11) ;(cid:11) )(cid:20)0 (i6=j);
i j
(27) (cid:11)_ = 2 (cid:23)(cid:0)1((cid:11) ) (i=1;:::;n):
i ((cid:11)i;(cid:11)i) i
On obtient alors l’expression usuelle pour la matrice de Cartan gØnØralisØe:
2((cid:11) ;(cid:11) )
i j
A= :
((cid:11) ;(cid:11) )
(cid:18) i i (cid:19)1(cid:20)i;j(cid:20)n
On Øtend la forme bilinØaire ((cid:1); (cid:1)) sur h en une forme bilinØaire symØtrique invariante ((cid:1); (cid:1)) sur
l’algŁbredeKac-Moodyg(A).D’aprŁslethØorŁme2.2,unetelleformeexisteetvØri(cid:28)etouteslespropriØtØs
citØes ici. Il est facile de dØmontrer qu’une telle forme est unique. La forme bilinØaire ((cid:1); (cid:1)) sur l’algŁbre
de Kac-Moody g(A) fournie par le thØorŁme 2.2 et vØri(cid:28)ant (24) est appelØe forme invariante standard.
2.4. PropriØtØs de l’algŁbre de Kac-Moody symØtrisable g(A). (cid:22) Soient A une matrice symØ-
trisable et g(A) l’algŁbre de Kac-Moody associØe. Soit ((cid:1); (cid:1)) la forme bilinØaire sur g(A) fournie par le
thØorŁme2.2.Pouruneracine(cid:11)(cid:28)xØe,lethØorŁme2.2(4)nouspermetdechoisirdesbasesdualesfe(i)get
(cid:11)
fe(i)g de g et g respectivement, c’est-(cid:224)-dire telles que (e(i);e(i)) =(cid:14) (i;j = 1;:::;mult((cid:11))). Pour
(cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:11) i;j
x2g et y 2g , on a
(cid:11) (cid:0)(cid:11)
mult((cid:11))
(28) (x;y)= (x;e(i))(y;e(i)):
(cid:0)(cid:11) (cid:11)
i=1
X
Le lemme suivant est crucial pour de nombreux calculs :
Lemme 2.4. (cid:22) Si (cid:11), (cid:12) 2(cid:1) et z 2g , alors nous avons dans g(A)(cid:10)g(A) l’ØgalitØ
(cid:12)(cid:0)(cid:11)
(29) e(s) (cid:10)[z;e(s)]= [e(s);z](cid:10)e(s):
(cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:12) (cid:11)
s s
X X
DØmonstration. (cid:22) DØ(cid:28)nissonsune forme((cid:1); (cid:1)) surg(A)(cid:10)g(A) par (x (cid:10)y ;x (cid:10)y )=(x ;x )(y ;y ).
1 1 2 2 1 2 1 2
Choisissons e2 g et f 2 g . Il su(cid:30)t de vØri(cid:28)er que le couplage des deux membres de (29) avec e(cid:10)f
(cid:11) (cid:0)(cid:12)
donne le mŒme rØsultat. Nous avons
(e(s) (cid:10)[z;e(s)];e(cid:10)f)= (e(s);e)([z;e(s)];f)= (e(s);e)(e(s);[f;z])=(e;[f;z])
(cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:12) (cid:11) (cid:0)(cid:12) (cid:11)
s s s
X X X
ALG¨BRES DE KAC-MOODY 9
d’aprŁs le thØorŁme 2.2 (1) et la formule (29). De fa(cid:231)on similaire, on a
([e(s);z](cid:10)e(s);e(cid:10)f)= (e(s);[z;e])(e(s);f)=([z;e];f):
(cid:0)(cid:12) (cid:12) (cid:0)(cid:12) (cid:12)
s s
X X
En appliquant encore le thØorŁme 2.2 (1), on obtient le rØsultat.
Corollaire 2.5. (cid:22) En conservant les notations du lemme 2.4, nous avons
(30) [e(s);[z;e(s)]] = (cid:0) [[z;e(s)];e(s)] dans g(A);
(cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:12) (cid:12)
s s
X X
(31) e(s)[z;e(s)]] = (cid:0) [z;e(s)]e(s)] dans U(g(A)):
(cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:12) (cid:12)
s s
X X
DØmonstration. (cid:22) Il su(cid:30)t d’appliquer la formule (29) aux applications linØaires g(A)(cid:10)g(A) (cid:0)! g(A)
et g(A)(cid:10)g(A)(cid:0)!U(g(A)) dØ(cid:28)nies respectivement par x(cid:10)y (cid:0)![x;y] et x(cid:10)y (cid:0)!xy.
2.5. OpØrateur de Casimir gØnØralisØ. (cid:22) Soient g(A) une algŁbrede Lie associØe(cid:224) une matrice A
et h la sous-algŁbrede Cartan provenantd’une rØalisationde A. ConsidØronsla dØcomposition radicielle
g(A) = g de g(A) selon h. Un g(A)-module (resp. g0(A)-module) V est dit restreint si pour tout
(cid:11) (cid:11)
v 2V on a g (v)=0 pour toutes les racines positives (cid:11) sauf un nombre (cid:28)ni.
(cid:11)
L
Exemple 2.6. (cid:22) (1) LareprØsentationadjointedeg(A)estrestreintesietseulementsidim(g(A))<
+1.
(2) Le~g(A)-moduleT(V)deladØmonstrationduthØorŁme1.2admetununiquesous-modulemaximal
J(V); en outre T(V)=J(V) est un g(A)-module restreint irrØductible.
Un sous-module ou un quotient d’un module restreint est encore restreint. On verra plus loin des
exemples de tels modules. Supposons que A est symØtrisable et que ((cid:1); (cid:1)) est la forme fournie par le
thØorŁme 2.2.
Pour un g(A)-module V donnØ, introduisons un opØrateur linØaire (cid:10) sur V, appelØ opØrateur de Ca-
simir. Commen(cid:231)ons par dØ(cid:28)nir une forme (cid:26)2h(cid:3) par les Øquations
1
h(cid:26);(cid:11)_i= a (i=1;:::;n):
i 2 i;i
Sidet(A)=0,alors(cid:26)n’estpasdØ(cid:28)niedefa(cid:231)onuniqueetl’onprendunequelconquedessolutions.D’aprŁs
les formules (21(cid:21)22),on a
1
(32) ((cid:26);(cid:11) )= ((cid:11) ;(cid:11) ) (i=1;:::;n):
i i i
2
De plus, pour toute racine positive (cid:11) nous pouvons choisir une base fe(i)g de l’espace g ; notons fe(i)g
(cid:11) (cid:11) (cid:0)(cid:11)
la base duale de g . DØ(cid:28)nissons un opØrateur (cid:10) sur V par
(cid:0)(cid:11) 0
(cid:10) =2 e(i)e(i):
0 (cid:0)(cid:11) (cid:11)
(cid:11)X2(cid:1)+Xi
On vØri(cid:28)e aisØment que cette dØ(cid:28)nition est indØpendante des bases choisies. Puisque pour tout v 2 V il
n’yaqu’unnombre(cid:28)nidee(i)e(i)v nonnuls,l’opØrateur(cid:10) estbiendØ(cid:28)ni.Soientu ;u ;:::etu1;u2;:::
(cid:0)(cid:11) (cid:11) 0 1 2
des bases duales de h. L’opØrateur de Casimir gØnØralisØ est dØ(cid:28)ni par
(cid:10)=2(cid:23)(cid:0)1((cid:26))+ uiu +(cid:10) :
i 0
i
X
L’ØlØgante formule
(33) h(cid:21);uiih(cid:22);u i=((cid:21);(cid:22))
i
i
X
dØcoule de
(34) (cid:21)= h(cid:21);uii(cid:23)(u )= h(cid:21);u i(cid:23)(ui):
i i
i i
X X
10 CHARLES COCHET
Ces formules impliquent que pour tout x2g on a
(cid:11)
uiu ;x = h(cid:11);uiixu + uih(cid:11);u ix
i i i
hXi i Xi Xi
= h(cid:11);uiih(cid:11);u ix+x uih(cid:11);u i+u h(cid:11);uii :
i i i
Xi (cid:16)Xi (cid:17)
Ainsi
(35) uiu ;x =x(((cid:11);(cid:11))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:11))) pour tout x2g :
i (cid:11)
hXi i
Cette formule nous serviraau paragraphesuivant.
2.6. PropriØtØs de l’opØrateur de Casimir gØnØralisØ. (cid:22) ConsidØronsladØcompositionradicielle
de l’algŁbre enveloppante U(g(A)) selon h, (cid:224) savoir
U(g(A))= U ; avec U =fx2U(g(A)); [h;x]=h(cid:12);hix pour tout h2hg:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)2Q
M
Posons U0 =U(g0(A))\U , de sorte que U(g0(A))= U0. Nous avons alors le
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
ThØorŁme 2.7. (cid:22) Soit g(A) une algŁbre de Lie symØLtrisable.
(1) Si V est un g0(A)-module restreint et u2U0, alors
(cid:11)
(36) [(cid:10) ;u]=(cid:0)u 2((cid:26);(cid:11))+((cid:11);(cid:11))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:11)) :
0
(2) Si V est un g(A)-module restreint, alo(cid:0)rs (cid:10) commute avec l’action(cid:1) de g(A) sur V.
DØmonstration. (cid:22) Le second point dØcoule du premier ainsi que de (35). Si (1) est vØri(cid:28)Øe pour u2U0
(cid:11)
et u 2U0, alors elle est vØri(cid:28)Øe pour uu 2U0 . En e(cid:27)et
1 (cid:12) 1 (cid:11)+(cid:12)
[(cid:10) ;uu ] = [(cid:10) ;u]u +u[(cid:10) ;u ]
0 1 0 1 0 1
= (cid:0)u(2((cid:26);(cid:11))+((cid:11);(cid:11))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:11)))u (cid:0)uu (2((cid:26);(cid:12))+((cid:12);(cid:12))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:12)))
1 1
= (cid:0)uu (2((cid:26);(cid:11))+((cid:11);(cid:11))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:11))+2((cid:11);(cid:12))+2((cid:26);(cid:12))+((cid:12);(cid:12))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:12)))
1
= (cid:0)uu (2((cid:26);(cid:11)+(cid:12))+((cid:11)+(cid:12);(cid:11)+(cid:12))+2(cid:23)(cid:0)1((cid:11)+(cid:12))):
1
Ainsi, puisque les e et les e engendrent g0(A) il su(cid:30)t de vØri(cid:28)er (36) pour u = e ou e . En
(cid:11)i (cid:0)(cid:11)i (cid:11)i (cid:11)i
appliquant (30) (cid:224) z =e et en utilisant le lemme 1.3, nous obtenons
(cid:11)i
[(cid:10) ;e ] = 2 ([e(s);e ]e(s)+e(s)[e(s);e ])
0 (cid:11)i (cid:0)(cid:11) (cid:11)i (cid:11) (cid:0)(cid:11) (cid:11) (cid:11)i
(cid:11)X2(cid:1)+Xs
= 2[e ;e ]e +2 [e(s);e ]e(s)+ e [e(s) ;e ]
(cid:0)(cid:11)i (cid:11)i (cid:11)i (cid:0)(cid:11) (cid:11)i (cid:11) (cid:0)(cid:11)+(cid:11)i (cid:11)(cid:0)(cid:11)i (cid:11)i
(cid:11)2(cid:1)Xnf(cid:11)ig(cid:16)Xs Xs (cid:17)
= (cid:0)2(cid:23)(cid:0)1((cid:11) )e =(cid:0)2((cid:11) ;(cid:11) )e (cid:0)2e (cid:23)(cid:0)1((cid:11) ):
i (cid:11)i i i (cid:11)i (cid:11)i i
Gr(cid:226)ce (cid:224) (32), ceci est Øgal (cid:224) (36) pour u = e . De fa(cid:231)on analogue [(cid:10) ;e ] = 2e [e ;e ] =
(cid:11)i 0 (cid:0)(cid:11)i (cid:0)(cid:11)i (cid:11)i (cid:0)(cid:11)i
2e (cid:23)(cid:0)1((cid:11) ), ce qui est Øgal (cid:224) (36) pour u=e encore d’aprŁs (32).
(cid:0)(cid:11)i i (cid:0)(cid:11)i
Corollaire 2.8. (cid:22) Sous les hypothŁses du thØorŁme 2.7(2), s’il existe v 2V tel que e (v)=0 pour tout
i
i et h(v)=h(cid:3);hiv pour un (cid:3)2h(cid:3) et pour tout h2h, alors
(37) (cid:10)(v)=((cid:3)+2(cid:26);(cid:3))v:
Si de plus U(g(A))v =V alors
(38) (cid:10)=((cid:3)+2(cid:26);(cid:3))I :
V
DØmonstration. (cid:22) Laformule(37) estune consØquencede la dØ(cid:28)nition de (cid:10) et de (33). Laformule (38)
dØcoule quant (cid:224) elle de (37) et du thØorŁme 2.7.