Algèbres de Hopf dans les Théories de champs scalaires

22 Pages·2009·0.45 MB·French

by  Nicolas Marie

Institut Camille Jordan
Rapport de stage de M2
Responsable du Stage: Alessandra FRABETTI
Universit´e Claude Bernard - Lyon 1
Alg`ebres de Hopf
dans les
Th´eories de champs scalaires
Nicolas MARIE
Version 1.0, 15 Aouˆt 2009.

R´esum´e
On´etudielarenormalisation dansleformalisme desalg`ebres deHopf.Ons’int´eresseenparticulieraux
constructionsalg´ebriquessurlesgraphesdeFeynmanet`aunereformulation del’algorithmeBPHZ.Apr`es
avoir´etablit certaines propri´et´es desop´erateurs d’insertions sur les graphes de Feynman on´etudie plus
particuli`erement la renormalisation de la th´eorie en𝜙44 dans le sch´ema de r´egularisation dimensionelle et
desoustraction minimale en donnant unepreuvedela localit´e des contretermes. Finalement on introduit
le probl`eme dela gravit´e en tant queth´eorie quantiquedeschamps ainsi quedesoutils pourson´etude.
Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 Alg`ebre de Hopf des graphes de Feynman 2
2.1 Alg`ebre de Hopf de la renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Structure des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Caract`eresde l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Op´erations d’insertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Renormalisation de la th´eorie en 𝜙4 9
4
3.1 L’algorithme BPHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Utilisation du groupe des caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Localit´e des contretermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Alg`ebre de Hopf des graphes 1PI 12
4.1 Powercountingde la relativit´e g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Core Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Conclusion 15
A Alg`ebres de Hopf et sch´emas en groupes affines 16
A.1 Alg`ebres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A.2 Sch´emas en groupes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bibliographie 19
1 INTRODUCTION
1 Introduction
Partantd’une th´eoriequantique des champsles r`eglesde Feynman nous permettentd’associeraux graphesde
la th´eorie qui d´ecrivent les processus physiques des int´egralesappell´ees amplitudes de Feynman. Le probl`eme
du physicien est que ces int´egrales, fonctions des moments conserv´es lors du processus, sont souvent diver-
gentes. L’objectif de la renormalisation est alors de donner un sens `a ces amplitudes en les transformant en
des fonctions des moments bien d´efinies, tout en pr´eservantleur sens physique.
Unem´ethodepermetd’op´erercettetransformationentravaillantunparunsurchaquegraphedonnantune
amplitude divergente.C’est l’algorithme de Bogoliubov–Parasiuk–Hepp–Zimmermannqui nous permet, apr´es
avoir r´egularis´e l’int´egrale, c’est-`a-dire lui avoir donn´e un sens math´ematique, de construire ces amplitudes
physiques. Ces op´erationentrainent une modification des constantes de couplage de la th´eorie qui deviennent
ainsi des s´eries en puissance des constantes de couplages nues. Un th´eor`eme de Zimmermann montre que la
proc´edure BPHZ converge.
Dirk Kreimer et Alain Connes ont mis en´evidence le fait que des structures d’alg`ebres de Hopf sont sous-
jacentes `a l’algorithme BPHZ. Ces structures sont construites directement sur les graphes de Feynman de la
th´eorie et sont sp´ecifi´ees par l’alg`ebre de Hopf de renormalisation qui exploite la d´ecomposition d’un graphe
de Feynman divergent en ses sous-graphes divergents. On va s’attacher `a d´ecrire cette construction dans le
cas simple des th´eories de champs scalaires et plus particuli`erement pour la th´eorie en 𝜙4 sur l’espace-temps
4
euclidien (R4,𝛿) dont la densit´e lagrangienne est donn´ee par :
1 𝑚2 𝑔
= (∂𝜙)2 𝜙2 𝜙4
ℒ 2 − 2 − 4!
On va ensuite ´etudier en d´etail les propri´et´es de l’op´erateur d’insertion 𝐵 qui permet de d´ecomposer
+
les graphes une particule irr´eductible. On montre ici en particulier ses propri´et´es li´ees `a la cohomologie de
Hochschild de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation.Ceci nous permet de reformuler la proc´edure BPHZ pour
calculer les facteurs de renormalisationde la th´eorie en 𝜙4 not´e 𝑍 ,𝑍 et 𝑍 tels que la densit´e lagrangienne
4 𝑔 𝑚 𝜙
renormalis´ee soit :
𝑍 𝑍 𝑚2 𝑍 𝑔
= 𝜙(∂𝜙)2 𝑚 𝜙2 𝑔 𝜙4
𝑟
ℒ 2 − 2 − 4!
On termine en prouvant que les facteurs de renormalisationsont bien des constantes,c’est ce qu’on appelle la
localit´e des contretermes.
Finalement,onexplorelecasdelath´eoriedugravitonpourlequelonmontrequetous lesgraphesdonnent
des amplitudes divergentes. Ceci nous am`ene `a consid´erer l’introduction d’une autre alg`ebre de Hopf dont
l’objectif sera de traiter la renormalisationde la gravit´e d’un point de vue non perturbatif.
1
2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN
2 Alg`ebre de Hopf des graphes de Feynman
2.1 Alg`ebre de Hopf de la renormalisation
Les graphes de Feynman sont un outil extraordinairementpuissant pour organiserles op´erationsde la th´eorie
quantique des champs. Onprend ici le partid’explorer les structures sous-jacentes `a ces graphes.Parsouci de
clart´e nous allons nous concentrer sur les th´eories de champs scalaires dans l’espace des impulsions. L’espace-
temps estl’espace euclidien de dimension4.Du point de vu graphiquenous ne consid´eronsqu’unseul type de
ligne, c’est-`a-dire qu’un seul champ scalaire se propage. Tout nos exemples concernent la th´eorie en 𝜙4.
4
Avanttoutechoseilnousfautd´efinircequesontlesgraphesdeFeynmand’uneth´eorie.Pourcel`aon´etablit
unecorrespondanceentrelesmonˆomesdeladensit´elagrangienned’uneth´eorieetunensembledetypesdever-
tex appell´es vertex d’interaction.Soit une th´eoriedes champs,on note Mon( ) l’ensemble des monˆomes de
𝒯 𝒯
ladensit´elagrangienneassoci´eeet ( )l’ensembledesvertexd’interaction.Ond´efinit𝔉: Mon( )l’ap-
ℐ 𝒯 ℐ −→ 𝒯
plication qui `a un vertex d’interaction associe son monˆome correspondant.On associe´egalement `a l’ensemble
deschampsde l’ensemble ( )deslignesdepropagation.𝔉correspondauxr`eglesdeFeynmandelath´eorie.
𝒯 𝒫 𝒯
Pour la th´eorie en 𝜙4 on veut ´etudier la dynamique d’un champ 𝜙 (R4) associ´e `a l’unique ´el´ement de
4 ∈ 𝒮
(𝜙4)= .Ladensit´elagrangienneestcompos´eedes´el´ementsdeMon(𝜙4)= 1(∂𝜙)2, 𝑚2𝜙2, 𝑔𝜙4
𝒫 4 { } 4 2 − 2 −4!
{ }
auxquels correspondent les vertex d’interaction de (𝜙4)= , , par :
ℐ 4
{ (1) (0) }
1 𝑚2 𝑔
𝔉( )= (∂𝜙)2 , 𝔉( )= 𝜙2 , 𝔉 = 𝜙4
2 − 2 −4!
(1) (0) ( )
D´efinition - Graphes de Feynman. Un graphe de Feynman associ´e `a une th´eorie est un graphe fini
𝒯
construit `a partir des lignes de ( ) avec les vertex de type ( ).
𝒫 𝒯 ℐ 𝒯
Par exemple pour la th´eorie en 𝜙4 : .
4
D´efinition-Graphes1PI. Ungrapheestdituneparticuleirr´eductible,not´e1PI,siilresteconnexelorsqu’on
lui enl`eve une ligne interne quelconque.
Par exemple : .
L’essentielde nos constructions utilise la notionde graphe une particule irr´eductible.Pourune th´eorie des
champs donn´ee,onnotera 1PI( ) l’ensemble des graphesde Feynman 1PIde la th´eorie.On notera´egalement
𝒯
1PI( ( ))l’ensembledesgraphesuneparticuleirr´eductibleconstruitavecles´el´ementsde ( )sanscontrainte
𝒫 𝒯 𝒫 𝒯
sur les types de vertex autoris´es.Cet ensemble nous permet de construire la core Hopf algebra (cf. 4 ).
§
Ondoitconsid´ererdeuxop´erationssurungraphe1PI,prendresonr´esiduetcontractersastructureinterne.
Soit Γ un graphe 1PI et 𝛾 un sous graphe 1PI propre de Γ. La quantit´e Res(Γ) d´esigne le graphe obtenu par
contractionde l’ensemblede lastructureinternede Γ etΓ/𝛾 d´esignele grapheobtenuparcontractiondusous
graphe 𝛾 de Γ. Illustrons cel`a avec des ´el´ements de 1PI(𝜙4) :
4
Res = Res =
𝑖
( ) (𝑖) ( )
(1) (0)
/ = + / =
Un graphe Γ 1PI( ) est caract´eris´e par par son nombre de boucles 𝑛 (Γ), son nombre de lignes internes
𝑏
∈ 𝒯
𝑛 (Γ), son nombre de lignes externes 𝑛 (Γ) et son nombre de vertex de type 𝜄 ( ) not´e 𝑛 (Γ).
𝑙𝑖 𝑙𝑒 𝑣𝜄
∈ℐ 𝒯
On associe un poids `a chaque type de ligne et `a chaque type de vertex par une application Ω : ( )
𝒫 𝒯 ∪
( ) Q. Ces poids correspondent,pour chaque type de lignes et de vertex,`a leur contributions en termes
ℐ 𝒯 −→
de variables dans les intgrales de Feynman. Pour la th´eorie en 𝜙4 on trouve Ω( ) = 2, Ω( ) =
4
(1)
2
2.1 Alg`ebre de Hopf de la renormalisation 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN
0, Ω( )=0 et Ω( )=0.
(0)
On d´efinit le degr´e de divergence superficiel associ´e `a Γ.
D´efinition - Degr´e de divergence superficiel. Le degr´e de divergence superficiel de Γ 1PI( ) est :
∈ 𝒯
𝜔(Γ)=4𝑛 (Γ) 𝑛 (Γ)Ω(li) 𝑛 (Γ)Ω(𝜄)
𝑏 𝑙𝑖 𝑣𝜄
− −
𝜄∈∑ℐ(𝒯)
Quand 𝜔(Γ) 0 on dit que Γ est un graphe divergent. Identifions les graphes divergents de 𝜙4. Pour cel`a
≥ 4
on peut r´e´ecrirele degr´e de divergence superficiel.
Proposition. Le degr´e de divergence superficiel de Γ 1PI(𝜙4) s’´ecrit 𝜔(Γ)=4 𝑛 (Γ).
∈ 4 − 𝑙𝑒
Preuve. Pard´efinition𝜔(Γ)=4𝑛 (Γ) 2𝑛 (Γ).Orpourlesgraphesdelath´eorieen𝜙4lesvertexd’interaction
𝑏 − 𝑙𝑖 4
`a quatres lignes nous donnes 4𝑛 (Γ) = 𝑛 (Γ)+2𝑛 (Γ). De plus la conservation des impulsions aux vertex
𝑣4 𝑙𝑒 𝑙𝑖
se traduit par la relation 𝑛 (Γ) = 𝑛 (Γ) (𝑛 (Γ) 1). En substituant dans la d´efinition on trouve 𝜔(Γ) =
𝑏 𝑙𝑖 𝑣4
− −
4 𝑛 (Γ).
𝑙𝑒
−
Le degr´e superficiel de divergence ne d´epend dans ce cas que du nombre de lignes externes du graphe. Les
´el´ements divergents de 1PI(𝜙4) sont donc ceux poss´edant 𝑛 (Γ) 2,4 donc ceux dont le r´esidu est dans
4 𝑙𝑒 ∈ { }
( ). En les classant par nombre de boucles on peut en exhiber quelques-uns :
ℐ 𝒯
On peut munir l’ensemble des graphes de Feynman une particule irr´eductible d’une structure d’alg`ebre de
Hopf qui organise l’aspect combinatoire de la renormalisation[CK1, CK2].
Th´eor`eme - Alg`ebre de Hopf de renormalisation. Soit 𝐻𝒯 l’alg`ebre unitale commutative libre sur C
𝑟
engendr´ee par les ´el´ements de 1PI( ) dont le r´esidu appartient `a ( ). Son produit est l’union disjointe des
𝒯 ℐ 𝒯
graphes not´e et son unit´e est le graphe vide not´e . Alors le coproduit, la co-unit´e et l’antipode d´efinis
∐
ci-dessous sur les g´en´erateurs font de 𝐻𝒯 une alg`ebre de Hopf :
𝑟
Δ Γ=Γ + Γ+ 𝛾 Γ/𝛾 ,
𝑟
⊗ ⊗ ⊗
Γ∕=∑𝛾∈𝐷𝑟
𝜖 (Γ)=1 si Γ= et 0 sinon,
𝑟
𝑆 (Γ)= Γ 𝑆 (𝛾)Γ/𝛾 ,
𝑟 𝑟
− −
Γ∕=∑𝛾∈𝐷𝑟
Ou` 𝐷 = 𝛾 = 𝛾 𝛾 = 𝛾 sous graphe de Γ et 𝜔(𝛾 ) 0 . On appelle 𝐻𝒯 alg`ebre de Hopf de renormalisa-
𝑟 ∐𝑖 𝑖 ∕ 𝑖 𝑖 ≥ 𝑟
tion de la th´eorie .
{ 𝒯) }
)
3
2.2 Structure des moments 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN
L’alg`ebredeHopfderenormalisationestgradu´eeparlenombredebouclesdesgraphes.Parmisles´el´ements
de𝐻𝒯 ondistinguel’ensembledes´el´ementsprimitifs Prim 𝐻𝒯 c’est-`a-diretelsqueΔ Γ=Γ + Γ.Les
𝑟 𝑟 𝑟 ⊗ ⊗
g´en´erateurs primitifs de 𝐻𝑟𝜙44 correspondent aux divergenc(es pr)imitives de 𝜙44 car par d´efinition du coproduit
ce sont ceux qui ne poss`edent pas de sous-divergences.Donnons quelques calculs de coproduits :
Δ = +
𝑟
⊗ ⊗
( )
(1) (0)
Δ = + + +
𝑟
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
( )
Δ = + +2
𝑟
( ) ⊗ ⊗ ⊗
Δ = + +
𝑟⎛ ⎞
⊗ ⊗ ⊗
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2.2 Structure des moments
Pourquelesgraphesuneparticuleirr´eductiblerepr´esententeffectivementdesprocessusphysiques´el´ementaires
ondoitleurassocierlesnombresquantiquesconserv´esaucoursdelar´eactionainsid´ecrite.Onajoutedoncdes
labels aux lignes externes des graphes 1PI. Ceux-ci forment ce qu’on appelle la structure externe du graphe.
Le cas particulier des th´eories de champs scalaire est tr`es simple, les seuls nombres quantiques conserv´es au
cours d’un processus sont les moments externes. Attachons nous donc `a d´ecrire cette structure des moments.
A chaque ligne externe d’un graphe 1PI on associe un moment dans R4 tel que ces moments soient glo-
balement conserv´es. Avec pour convention que les moments sont entrant au graphe, la conservation´equivaut
`a imposer que leur somme est nulle. La structure externe de Γ 1PI( ) est donc l’ensemble des moments
∈ 𝒯
conserv´es qui n’est autre que l’hyperplan :
𝑛𝑙𝑒(Γ)
𝐸 = 𝜇 =(𝑝 ,...,𝑝 ) R4𝑛𝑙𝑒(Γ) 𝑝 =0 .
Γ ⎧ Γ 1 𝑛𝑙𝑒(Γ) ∈ ∣ 𝑖 ⎫
⎨ ∑𝑖=0 ⎬
Un processus ´el´ementaire est don⎩c sp´ecifi´e par le choix d’un couple (Γ,𝜇 ). O⎭n aimerait pouvoir parler de
Γ
l’espace total des (Γ,𝜇 ) form´es par un ´el´ement de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation et de ses moments
Γ
associ´es. Pour ce faire, consid´erons 𝐸 = 𝐸 et la projection 𝜋 : 𝐸 𝐻𝒯, 𝜇 Γ qui envoie un
∐Γ∈1PI(𝒯) Γ −→ 𝑟 Γ 2→
multipletdemomentsverslegrapheauquelilestassoci´e.Pourrendre𝐸 compatibleaveclastructured’alg`ebre
de𝐻𝒯 onlemunitd’unproduit𝑚˜ :𝐸 𝐸 𝐸,𝜇 𝜇 𝜇 =𝜇 𝜇 telquelediagrammeci-dessous
𝑟 × −→ Γ1× Γ2 2→ Γ1Γ2 Γ1 Γ2
commute :
𝑚˜
𝐸×2 !! 𝐸
𝜋×𝜋 𝜋
"" ""
𝐻𝒯⊗2 !!𝐻𝒯
𝑟 ∐ 𝑟
L’ensemble des fonctions ind´efiniment d´erivables sur 𝐸 est not´e 𝐶∞(𝐸), c’est une alg`ebre sur C pour le
produit usuel des fonctions (𝑓𝑔)(𝜇 )=𝑓(𝜇 )𝑔(𝜇 ).
Γ Γ Γ
2.3 Caract`eres de l’alg`ebre
Lesr`eglesde Feynmansontunensemblede prescriptionsquinouspermettentd’associer`aungraphede Feyn-
man une fonction de ses moments externes. Elles correspondent a` l’application 𝔉 exprim´ee dans l’espace des
4
2.3 Caract`eres de l’alg`ebre 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN
moments. Pour un graphe de la th´eorie en 𝜙4 ces prescriptions sont les suivantes :
4
i) `a chaque ligne on associe rien si c’est une ligne externe et 1/(𝑝2 +𝑚2) si c’est une ligne in-
terne.
ii) `a chaque vertex on associe une constante de couplage 𝑔 et une loi de conservation 𝛿( 4 𝑞 ).
𝑖=1 𝑖
iii) `a chaque vertex on associe une masse 𝑚2. ∑
(0)
iv) `a chaque vertex on associe une impulsion 𝑝2.
(1)
v) on int`egre sur les impulsions et on divise par le facteur de sym´etrie du graphe qui est le cardinal du
groupe des automorphismes de ce dernier.
L’amplitude associ´ee `a Γ 1PI s’´ecrit donc de mani`ere g´en´erale:
∈
𝑔𝑛𝑣(Γ) 𝑛𝑙𝑖(Γ) 𝑑4𝑞𝑖 𝑛𝑣(Γ) 𝑛𝑙𝑖(Γ) 1
𝜑 (𝜇 )= 𝛿 𝑞
Γ Γ Sym(Γ)∫R4𝑛𝑙𝑖(Γ) 𝑖∏=1 (2𝜋)4 𝑗∏=1 ⎛𝑞∈V∑al(𝑣𝑗) ⎞ ∏𝑙=1 𝑞𝑙2+𝑚2
⎝ ⎠
On a par exemple :
𝑑4𝑞 1
𝜑 =𝑔
∫R4 (2𝜋)4𝑞2+𝑚2
𝑔2 𝑑4𝑞 1
𝜑 (𝑝)=
2 ∫R4 (2𝜋)4(𝑞2+𝑚2)((𝑞+𝑝)2+𝑚2)
C’est ici que se pose le probl`eme de la renormalisation. Le degr´e de divergence superficiel nous indique
quand les r`eglesde Feynman associent`a un graphe 1PIune int´egraledivergente.Le but de la renormalisation
est d’extraire une partie finie de ces amplitudes qui ait un sens physique ind´ependamment de la proc´edure
utilis´ee. Cette proc´edure ce d´eroule essentiellement en deux ´etapes : la r´egularisationet la renormalisation.
L’´etapeder´egularisationconsiste`adonnerunsens`al’int´egraledivergenteleplussouventparl’introduction
d’unparam`etrequivacaract´eriserletypededivergencedansunecertainelimite.Cefaisantl’amplitudedevient
unefonctiondesmomentsexternesetd´epend´egalementd’unparam`etre.Icinousfaisonslechoixparticulierde
lar´egularisationdimensionnelle.Elleconsiste`aprolongerladimensiondel’espace-tempsdansleplancomplexe
en posant𝐷 =4 𝜖, les int´egrales´etant divergentesdans la limite 𝜖 0. Les amplitudes sont alorsdes s´eries
− →
en 𝜖 et des polynˆomes 𝜖−1 comme on peut le constater sur les versions r´egularis´eesdes exemples ci-dessous :
2𝜋2−𝜖/2
𝜑𝜖 =𝑔𝜇−𝜖𝑚2−𝜖 +partie finie(𝜖)
𝜖(2𝜋)4−𝜖
2(𝑔𝜇−𝜖)2 1 1
𝜑𝜖 (𝑝)= 𝑑𝑥 +partie finie(𝜖)
𝜖Γ(2)(4𝜋)2−𝜖/2 (𝑚2+𝑥(1 𝑥)𝑝2)𝜖/2
∫0 −
On peut formaliser cette proc´edure en regardant l’´etape de r´egularisation comme le fait d’associer `a un
´el´ementdel’alg`ebrede Hopfderenormalisationune fonctiondesmomentsexternes`avaleurdansunecertaine
alg`ebre associative que l’on notera 𝑟𝑒𝑔. Pour la th´eorie en 𝜙4 avec le choix de la r´egularisation dimension-
𝒜 4
nelle les amplitudes r´egularis´eesappartiennent`a𝐶∞(𝐸) C[[𝜖,𝜖−1]ou` l’alg`ebrede r´egularisationestcelle des
⊗
polynˆomes de Laurent ayant un nombre fini de pˆoles.
Les amplitudes de Feynman ont la propri´et´e suppl´ementaire d’ˆetre mutliplicatives pour l’union disjointe
des graphes 𝜑(Γ Γ ) = 𝜑(Γ )𝜑(Γ ) ce qui revient `a dire que l’application qui `a un graphe de Feyn-
1 2 1 2
∐
man associe son amplitude r´egularis´ee est un caract`ere de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation. Notons
𝒢 =HomC−Alg(𝐻𝑟𝒯,𝐶∞(𝐸)⊗𝒜𝑟𝑒𝑔)l’ensemble de ces caract`eres.Cetensemble `ala particularit´edeformerun
groupe pour une loi reli´ee au coproduit de la renormalisation.
Proposition - Groupe des caract`eres. L’ensemble forme un groupe pour :
𝒢
i) Le produit de convolution ★ d´efinit pour 𝜑 ,𝜑 par 𝜑 ★𝜑 =𝑚 (𝜑 𝜑 )Δ .
1 2 1 2 𝒜 1 2 𝑟
∈𝒢 ⊗
ii) Le neutre est la co-unit´e.
iii) L’inverse de 𝜑 est 𝜑−1 =𝜑 𝑆 .
𝑟
∘
5
2.4 Op´erations d’insertions 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN
Preuve. Le fait que 𝐻𝒯 soit une alg`ebre de Hopf commutative nous assure qu’elle repr´esente un sch´ema en
𝑟
groupeaffine (cf.App.A) etque parcons´equent poss`edeune structurede groupe.V´erifionsparexemple que
𝒢
est stable pour la loi de groupe propos´ee.
𝒢
Cette propri´et´e est une cons´equence essentiellement du fait que le coproduit Δ est un morphisme d’alg´ebre.
𝑟
En effet, par hypoth`ese 𝜑 ,𝜑 et Δ sont des morphismes de C-alg`ebre,c’est-`a-dire que :
1 2 𝑟
Δ 𝑚 =𝑚 (Δ Δ )
𝑟 𝐻 𝐻⊗𝐻 𝑟 𝑟
∘ ∘ ⊗
𝜑 𝑚 =𝑚 (𝜑 𝜑 )
𝑖 𝐻 𝒜 𝑖 𝑖
∘ ∘ ⊗
On peut donc ´ecrire :
𝜑 ★𝜑 𝑚 =𝑚 (𝜑 𝜑 )Δ 𝑚 =𝑚 (𝜑 𝜑 ) 𝑚 (Δ Δ )
1 2 𝐻 𝒜 1 2 𝑟 𝐻 𝒜 1 2 𝐻⊗𝐻 𝑟 𝑟
∘ ⊗ ∘ ⊗ ∘ ∘ ⊗
=𝑚 [(𝑚 (𝜑 𝜑 )) (𝑚 (𝜑 𝜑 ))] (Δ Δ )
𝒜 𝒜 1 2 𝒜 1 2 𝑟 𝑟
∘ ⊗ ⊗ ∘ ⊗ ∘ ⊗
=𝑚 [(𝑚 (𝜑 𝜑 ) Δ ) (𝑚 (𝜑 𝜑 ) Δ )]
𝒜 𝒜 1 2 𝑟 𝒜 1 2 𝑟
∘ ⊗ ∘ ⊗ ∘ ⊗ ∘
=𝑚 [𝜑 ★𝜑 𝜑 ★𝜑 ]
𝒜 1 2 1 2
∘ ⊗
L’´el´ement 𝜑 ★𝜑 est donc encore un morphisme d’alg´ebre d’ou` la stabilit´e.
1 2
Il est ais´e de v´erifier les autres propri´et´es de groupe. Celles-ci d´ecoulent imm´ediatement des propri´et´es de
l’antipode pour l’inverse et de la co-unit´e pour le neutre.
Pour 𝜑 le caract`ere qui `a un graphe Γ associe son amplitude de Feynman, on note 𝜑(Γ)=𝜑 (𝜇 ) .
Γ Γ
∈𝒢
2.4 Op´erations d’insertions et cohomologie de Hochschild
Chaque graphe de Feynman d’une th´eorie se d´ecompose par un processus d’insertion de graphes simples les
uns dans les autres de mani`ere `a obtenir n’importe quel ´el´ement de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation. Le
maillonessentielde cette constructionestl’op´erateurd’insertiond´efinitci-dessousdontnousallons donnerles
principales propri´et´es.
D´efinition - Op´erateur d’insertion. Pour tout 𝛾 Prim(𝐻𝒯) on d´efinit 𝐵𝛾 :𝐻𝒯 𝐻𝒯 par :
∈ 𝑟 + 𝑟 −→ 𝑟
𝐵𝛾(𝑋)= 𝑛 (𝛾 ↶𝑋 𝑌)𝑌 ,
+ + ∣
𝑌∈Sp∑an(𝐻𝑟𝒯)
et 𝑛 (𝛾 ↶ 𝑋 𝑌) est le nombre de mani`eres d’obtenir le graphe 𝑌 par insertion de 𝑋 dans 𝛾. Quand 𝑋
+
∣
s’exprime comme l’union disjointe de plusieurs graphes le nombre d’insertion est calcul´ee en distribuant ces
insertions de toutes les mani`eres possibles sur l’ensemble des graphes de l’union.
Pour la th´eorie en 𝜙4 on a par exemple :
4
𝐵 ( )=2 𝐵 ( )=
+ +
𝐵 ( )=2
+
Proposition. Pour tout Γ g´en´erateur de 𝐻𝒯 il existe 𝛾 Prim(𝐻𝒯) et 𝑋 𝐻𝒯 tels que Γ=𝐵𝛾(𝑋).
𝑟 ∈ 𝑟 ∈ 𝑟 +
Preuve. Prenons un graphe 1PI quelconque Γ, puisqu’il est dans l’alg`ebre de Hopf de renormalisation son
r´esiduestdans ( )etilexistedoncun´el´elementprimitif𝛾 telque𝑅𝑒𝑠(𝛾)=𝑅𝑒𝑠(Γ).L’op´erateurd’insertion
s’´ecritdonc 𝐵𝛾ℐ. R𝒯este `a trouver un´el´ementde l’alg`ebrede Hopf de renormalisationqui ins´er´edans le graphe
+
primitif nous donne Γ. Or il existe toujours un 𝑋 tel que 𝑛 (𝛾 ↶𝑋 Γ)=0. On obtient donc Γ en ins´erantle
+
∣ ∕
𝑋 correspondant multipli´e si n´ec´essairepar un facteur combinatoire.
Ce r´esultat nous permet de d´ecomposer n’importe quel graphe g´en´erateur de l’alg`ebre de Hopf de renor-
malisation en les ´el´ements primitifs qui le composent. En effet Γ = 𝐵𝛾1(𝑋 ) mais comme 𝑋 𝐻𝒯 il s’´ecrit
luimˆeme𝑋 =𝐵𝛾2(𝑋 )etcommenosgraphessontfinisilexisteunm+ultip1let 𝛾 ,...,𝛾 d’´el1´em∈ent𝑟sprimitifs
1 + 2 { 1 𝑛}
tel que :
Γ=𝐵𝛾1 𝐵𝛾2 ... 𝐵𝛾𝑛( )
+ ∘ + ∘ ∘ +
6
2.4 Op´erations d’insertions 2 ALGE`BRE DE HOPF DES GRAPHES DE FEYNMAN
Etudions maintenant la cohomologie de Hochschild de l’alg`ebre de Hopf de renormalisation. Celle-ci nous
renseignesurl’invariancedejaugedanslecasdesth´eoriesdejaugeetdemani`ereg´en´eralenouspermetd’´etablir
certaines propri´et´esdes op´erateurs d’insertion utile `a la renormalisation.
On d´efinit l’ensemble des 𝑛-cochaines 𝐶𝑛 = 𝐿:𝐻𝒯 𝐻𝒯 𝐿 application lin´eaire . On pose
𝑟 −→ 𝑟 ∣
{ }
𝐶∙ = 𝐶𝑛 avec 𝐶0 =𝐻𝒯
𝑟
𝑛∈N
⊕
On d´efinit l’op´erationde cobord 𝑏:𝐶𝑛 𝐶𝑛+1 pour 𝐿(Γ)=Γ ... Γ 𝐻𝒯 par :
−→ 1⊗ ⊗ 𝑛 ∈ 𝑟
𝑛
𝑏𝐿(Γ)=(𝑖𝑑 𝐿)Δ Γ+ ( 1)𝑖Γ ... Δ Γ ... Γ +( 1)𝑛+1𝐿(Γ)
𝑟 1 𝑟 𝑖 𝑛
⊗ − ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ − ⊗
𝑖=1
∑
Proposition. L’op´erateur de cobord 𝑏:𝐶∙ 𝐶∙ est une codiff´erentielle i.e. 𝑏2 =0.
−→
Preuve. On se place sur une portion du complexe diff´erentiel :
... 𝐶𝑛 𝑏𝑛 𝐶𝑛+1 𝑏𝑛+1 ...
−→ −→ −→
Soit 𝐿 𝐶𝑛, on pose la notation :
∈
𝑛
𝑏 𝐿=(𝑖𝑑 𝐿)Δ + ( 1)𝑖Δ 𝐿+( 1)𝑛+1(𝐿 )
𝑛 𝑟 𝑟𝑖
⊗ − − ⊗
𝑖=1
∑
Par d´efinition on peut alors´ecrire :
𝑛+1
(𝑏 𝑏 )𝐿=(𝑖𝑑 𝑏 𝐿)Δ + ( 1)𝑖Δ 𝑏 𝐿+( 1)𝑛+2(𝑏 𝐿 )
𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑟 𝑟𝑗 𝑛 𝑛
∘ ⊗ − − ⊗
𝑗=1
∑
𝑛
=[𝑖𝑑 (𝑖𝑑 𝐿)Δ ]Δ + 𝑖𝑑 ( 1)𝑖Δ 𝐿 Δ +( 1)𝑛+1[𝑖𝑑 (𝐿 )]Δ
𝑟 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟
⊗ ⊗ [ ⊗ − ] − ⊗ ⊗
𝑖=1
∑
𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛+1
+ ( 1)𝑗Δ (𝑖𝑑 𝐿)Δ + ( 1)𝑖+𝑗Δ Δ 𝐿+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )
𝑟𝑗 𝑟 𝑟𝑗 𝑟𝑖 𝑟𝑗
− ⊗ − − ⊗
𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1
∑ ∑∑ ∑
𝑛
+( 1)𝑛+2[(𝑖𝑑 𝐿)Δ ]+ ( 1)𝑖+𝑛+2Δ 𝐿 +( 1)2𝑛+3[(𝐿 ) ]
𝑟 𝑟𝑖
− ⊗ ⊗ ( − )⊗ − ⊗ ⊗
𝑖=1
∑
Or
𝑛+1 𝑛
[(𝐿 ) ]+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )= [(𝐿 ) ]+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )+𝐿 Δ
𝑟𝑗 𝑟𝑗 𝑟
− ⊗ ⊗ − ⊗ − ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗
𝑗=1 𝑗=1
∑ ∑
𝑛
= ( 1)𝑗+𝑛+1Δ 𝐿
𝑟𝑗
⎛ − ⎞⊗
𝑗=1
∑
⎝ ⎠
Donc
𝑛+1 𝑛
[(𝐿 ) ]+ ( 1)𝑗+𝑛+1Δ (𝐿 )+ ( 1)𝑖+𝑛+2Δ 𝐿 =0
𝑟𝑗 𝑟𝑖
− ⊗ ⊗ − ⊗ ( − )⊗
𝑗=1 𝑖=1
∑ ∑
De plus
( 1)𝑛+2[(𝑖𝑑 𝐿)Δ ]+( 1)𝑛+1[𝑖𝑑 (𝐿 )]Δ =( 1)𝑛+1[(𝑖𝑑 𝐿)Δ (𝑖𝑑 𝐿)Δ ]=0
𝑟⊗ 𝑟 𝑟 𝑟
− ⊗ − ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗
Tout ceci nous permet de r´e´ecrireune premi`ere fois :
𝑛 𝑛+1 𝑛+1 𝑛
(𝑏 𝑏 )𝐿=[𝑖𝑑 (𝑖𝑑 𝐿)Δ ]Δ + 𝑖𝑑 ( 1)𝑖Δ 𝐿 Δ + ( 1)𝑗Δ (𝑖𝑑 𝐿)Δ + ( 1)𝑖+𝑗Δ Δ 𝐿
𝑛+1 𝑛 𝑟 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟𝑗 𝑟 𝑟𝑗 𝑟𝑖
∘ ⊗ ⊗ [ ⊗ − ] − ⊗ −
𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1
∑ ∑ ∑∑
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