Algèbres de Hopf combinatoires

46 Pages·2005·0.38 MB·French

by  Maxime Rey

Alge`bres de Hopf combinatoires
Maxime Rey
Laboratoire d’Informatique de l’Institut Gaspard Monge
Universit´e de Marne-la-Vall´ee
Rapport de stage du MPRI
2 Septembre 2005
2 Alg`ebres de Hopf combinatoires
Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Organisation du rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Alg`ebres de Hopf combinatoires 7
2.1 D´efinition formelle des alg`ebres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Cog`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Big`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 La combinatoire et les alg`ebres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Combinatoire sous-jacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 L’algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 L’alg`ebre «m`ere» : les fonctions sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 FQSym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 L’alg`ebre de Hopf Catalane : CQSym 20
3.1 PQSym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 L’algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 L’alg`ebre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 CQSym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 L’alg`ebre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 PBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Les bases de PBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 Isomorphisme d’alg`ebre entre CQSym et PBT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 L’alg`ebre de Hopf de Grossman-Larson 33
4.1 L’alg`ebre de Hopf des arbres ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 L’alg`ebre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Correspondance avec CQSym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Notions suppl´ementaires sur les alg`ebres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Isomorphisme de OT avec CQSym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Conclusion 43
3
4 Alg`ebres de Hopf combinatoires
A Les alg`ebres tensorielle et sym´etrique 44
A.1 Alg`ebre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2 Alg`ebre sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
R´ef´erences 45
Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte
Ce rapport pr´esente mon travail effectu´e durant le stage de recherche du MPRI (Master Parisien
de Recherche en Informatique), supervis´e par Jean-Christophe Novelli et effectu´e au sein de l’´equipe
de combinatoire de l’IGM (Institut Gaspard Monge) dirig´ee par Jean-Yves Thibon. Il traite de com-
binatoire, domaine enseign´e au MPRI, notamment par Jean-Christophe Novelli lui-mˆeme.
Undomainederechercheactifencombinatoireestl’´etudedesalg`ebresdeHopfcombinatoires.Cette
recherche a de multiples justifications. Au sein de l’´equipe de combinatoire de l’IGM, cette ´etude
est motiv´ee par la recherche de g´en´eralisations des fonctions sym´etriques. Il s’agit la` d’une th´eorie
bien ´etablie, tr`es active au niveau de la recherche, qui poss`ede une structure riche et qui trouve
des applications dans de nombreux domaines comme par exemple les math´ematiques, l’informatique
th´eorique, la physique ou encore la chimie (voir [23]).
A ce jour, on dipose d’un nombre cons´equent d’alg`ebres de Hopf combinatoires qui g´en´eralisent
l’alg`ebre des fonctions sym´etriques. Chacune d’elles est ind´ex´ee par un objet combinatoire qui lui
est propre et qui permet de d´ecrire sa structure alg´ebrique. L’enjeu majeur de ce cadre d’´etude
consiste d´esormais `a une classification structuration de ce type d’alg`ebres. Plus pr´ecisemment, les
membres de l’´equipe de c{ombinatoire de|l’IGM ont dre}ss´e une «cartographie» des alg`ebres de Hopf
combinatoires ob´eissant toutes `a un principe analogue de construction via des algorithmes classiques
comme l’insertion dans les arbres binaires de recherche, le tri par bulle, l’algorithme de Schensted,
etc. (voir [1] notamment).
Enparall`ele,denombreusesalg`ebresdeHopfsontpubli´eespourleurint´erˆetpropredanslalitt´erature.
Certainessetrouventˆetreisomorphes`acellesd´efiniesparleformalismedel’´equipedeMarne-la-Vall´ee.
Parcons´equent, uned´emarcheutileconsisteapr`eschaquecr´eation d’unenouvellealg`ebredeHopfvia
ce formalisme, `a v´erifier dans la litt´erature d’´eventuels isomorphismes.
1.2 Sujet
R´ecemment [6], Jean-Christophe Novelli et Jean-Yves Thibon ont introduit une alg`ebre de Hopf
combinatoire, CQSym, dont les dimensions des composantes homog`enes correspondent aux nombres
deCatalan.Unepremi`ere´etapedustageaconsist´e`ad´etaillerlastructurealg´ebriquedecettealg`ebre
5
6 Alg`ebres de Hopf combinatoires
de Hopf combinatoire. Pour cela, on a utilis´e une autre alg`ebre de Hopf, PBT, dont les dimensions
des composantes homog`enes sont ´egalement les nombres de Catalan et poss´edant d´eja` une structure
riche (voir [20]).
D’autrepart,commeexpliqu´epr´ec´edemment,ilestsouhaitableded´etecterd’´eventuelscandidats`a
l’isomorphismedanslalitt´erature.Apr`es´etude,unealg`ebredeHopfintroduiteparRobertGrossmann
et Don Larson afin d’optimiser des calculs de d´eriv´ees partielles dans des champs de vecteurs s’est
r´ev´el´ee ˆetre isomorphe `a CQSym.
1.3 Organisation du rapport
Au chapitre 2, on introduit la d´efinition formelle d’une alg`ebre de Hopf suivie d’exemples des
principales alg`ebres de Hopf combinatoires de la litt´erature.
Onpr´esenteauchapitre3CQSym,l’alg`ebreCatalane,introduiteen[6].Pourcelaonintroduitau
pr´ealable PQSym, une alg`ebre de Hopf qui contient CQSym comme sous-alg`ebre de Hopf, `a partir
de laquelle on d´efinit CQSym. Enfin, afin de munir CQSym d’un plus grand nombre de bases, on
introduit l’alg`ebre de Hopf des arbres binaires introduite dans [20] qui dispose d’une structure plus
riche, et qui se trouve ˆetre isomorphe en tant qu’alg`ebre associative `a CQSym.
Lechapitre4pr´esentel’alg`ebre deHopfdeGrossman-Larsondesarbresordonn´es,introduitedans
[16]. On donne une preuve abstraite du fait que cette alg`ebre est isomorphe en tant qu’alg`ebre de
Hopf `a CQSym.
Chapitre 2
Alg`ebres de Hopf combinatoires
Ce chapitre est destin´e `a fournir le mat´eriel n´ecessaire pour les chapitres `a suivre, avec pour but
final d’introduire la notion d’alg`ebres de Hopf combinatoires. Pour cela, on expose tout d’abord la
d´efinition formelle d’une alg`ebre de Hopf en toute g´en´eralit´e. La lecture de cette section peut ˆetre
ignor´ee, elle est purement formelle, son roˆle consistant `a fournir des d´efinitions et notations pr´ecises
pour la suite du rapport afin de le rendre auto-suffisant. Dans les sections suivantes, on fournit les
pr´eliminaires combinatoires et algorithmiques pour le reste du rapport et plus pr´ecis´ement pour les
exemples d’alg`ebres de Hopf combinatoires que l’on donne `a la fin de ce chapitre.
2.1 D´efinition formelle des alg`ebres de Hopf
Onnoteraklecorpsdebase.Dansunpremiertemps,ondonneuned´efinitionpossibledesalg`ebres.
Ce formalisme permettra d’introduire les cog`ebres.
2.1.1 Alg`ebre
Une alg`ebre sur k peut se d´efinir comme un triplet (A,m,µ), avec :
A un k espace vectoriel,
•
m une application A A A appel´ee multiplication,
• ⊗ →
µ une application de k dans A appel´ee application unitaire.
•
Enoutrelamultiplicationv´erifielapropri´et´ed’associativit´eetl’applicationunitairev´erifie(a`gauche)
que
m(µ(a),x)=f(a,x),
aveca k,x Aetf l’isomorphismenatureldek AdansA.Ellev´erifielamˆemepropri´et´e`adroite.
∈ ∈ ⊗
Ces deux propri´et´es peuvent se formuler, de mani`ere´equivalente, `a l’aide de diagrammes qui nous
serons utiles par la suite. On peut donc dire qu’une alg`ebre se d´efinit par un triplet (A,m,µ) tel que
les 2 diagrammes suivants commutent :
id m µ id
⊗ ⊗
A A A A A k A A A
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
m id m m
⊗ f
A A A A
⊗ m
7
8 Alg`ebres de Hopf combinatoires
Onarepr´esent´e uniquement lediagramme dela propri´et´e `a gauchedel’application unitaire. Elle doit
´egalement satisfaire la propri´et´e `a droite qui se repr´esente par le diagramme sym´etrique.
L’int´erˆet de cette d´efinition d’une alg`ebre est qu’elle permet de d´efinir ais´ement et intuitivement
ce qu’est une cog`ebre.
2.1.2 Cog`ebre
On peut d´efinir une cog`ebre comme ´etant un triplet (C,∆,ǫ) avec
A un k espace vectoriel,
•
m une application C C C appel´ee coproduit,
• → ⊗
µ une application de C dans k appel´ee application co-unitaire.
•
De plus ce triplet doit v´erifier les diagrammes commutatifs suivants :
id ∆ ǫ id
⊗ ⊗
C C C C C k C C C
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
∆ id ∆ ∆
⊗ f
C C C C
⊗ ∆
Ces diagrammes sont «duaux» de ceux intervenant dans la d´efinition d’une alg`ebre.
On notera donc que le coproduit d’une cog`ebre doit satisfaire notamment une propri´et´e de co-
associtivit´e dont la formulation ´equationnelle s’exprime de la mani`ere suivante :
(id ∆) ∆ = (∆ id) ∆.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
Nous ne donnerons pas d’exemples dans cette section. Ils viendront `a la fin de ce chapitre apr`es avoir
introduit du mat´eriel combinatoire.
2.1.3 Big`ebre
On introduit `a pr´esent la notion de big`ebre. De mani`ere informelle, une big`ebre est un k espace
vectoriel dot´e `a la fois d’une structure d’alg`ebre et d’une structure cog`ebre, ainsi que des r`egles de
compatibilit´es requises entre ces deux structures.
D´efinition [big`ebre] : Soit (H,m,µ) une alg`ebre et (H,∆,ǫ) une cog`ebre (avec H un k espace vec-
toriel). Si ∆ et ǫ sont des morphismes d’alg`ebre alors le quintuplet (H,m,µ,∆,ǫ) forme une big`ebre.
Il faut donc que le coproduit ∆ de la big`ebre satisfasse en plus des axiomes habituels l’´equation
suivante :
∆(a b)=∆(a) ∆(b),
× ×
aveca,b H eten´ecrivantleproduitdemani`ereinfixeaveccommesymbole ,aulieudel’application
∈ ×
m.
Maxime Rey 9
Sur toute big`ebre on peut d´efinir une graduation de la mani`ere suivante. Rappelons qu’une gradua-
tion, qu’on notera γ, est une application de H dans N. Une alg`ebre (H,m,µ) est dite gradu´ee si il
existe une graduation telle que :
γ(a b)=γ(a)+γ(b)
×
avec a,b H.
∈
De mˆeme une cog`ebre (H,∆,ǫ) est dite gradu´ee si il existe une graduation telle que, avec a H :
∈
∆(a)= b c ,
i i
⊗
i I
M∈
on ait :
γ(a)=γ(b )+γ(c ),
i i
pour tout i I.
∈
On donne en suivant la d´efinition d’une big`ebre gradu´ee.
D´efinition [big`ebre gradu´ee] : Soit (H,m,µ,∆,ǫ) une big`ebre, si il existe une graduation γ telle
quelastructured’alg`ebre(H,m,µ)soitgradu´eepourcettegraduationansiquesastructuredecog`ebre
(H,∆,ǫ) pour cette mˆeme graduation γ, alors (H,m,µ,∆,ǫ) est une big`ebre gradu´ee.
Pouraborderlesalg`ebresdeHopf,onabesoinnormalementd’introduireunenotionsuppl´ementaire,
celle d’antipode. Toutefois en combinatoire toutes les alg`ebres de Hopf sont gradu´ees. Le Th´eor`eme
suivant (voir [22] pour la d´emonstration) permet de travailler directement sur des big`ebres gradu´ees.
On rappelle au pr´ealable qu’une alg`ebre (de Hopf) gradu´ee est connexe si l’ensemble des ´el´ements de
graduation nulle est le corps de base k.
Th´eor`eme 2.1.1 Soit (H,m,µ,∆,ǫ) une big`ebre gradu´ee et connexe. Alors c’est une alg`ebre
de Hopf (gradu´ee).
Par la suite on notera Hi l’ensemble des ´el´ements de l’alg`ebre de Hopf de degr´e i. On peut ainsi
´ecrire :
∞
H = Hi.
i=0
M
2.2 La combinatoire et les alg`ebres de Hopf
On va d´esormais se pr´eocupper exclusivement des alg`ebres de Hopf combinatoires. Ce type
d’alg`ebre n’admet pas encore de d´efinition commun´ement admise, de nombreuses questions ´etant
ouvertes. Toutefois une d´efinition suffisament g´en´erique possible que l’on adoptera pour la suite de ce
rapport est la suivante :
D´efinition [alg`ebre de Hopf combinatoire] : Une alg`ebre de Hopf combinatoire est une
alg`ebre de Hopf gradu´ee connexe.
10 Alg`ebres de Hopf combinatoires
Concr`etement, les graduations des alg`ebres de Hopf combinatoires comptent des objets combina-
toires qui permettent de d´ecrire cette alg`ebre.
On commence par introduire le mat´eriel combinatoire et algorithmique n´ecessaire pour la suite.
Puis on pr´esente l’alg`ebre associative des fonctions sym´etriques qui est la justification de tout un
panel d’alg`ebres de Hopf combinatoires visant `a g´en´eraliser cette alg`ebre associative et on explique
partiellement pourquoi. Enfin on donne un exemple d’alg`ebre de Hopf combinatoire qui rentre dans
ce cadre : les fonctions quasi-sym´etriques libres.
2.2.1 Combinatoire sous-jacente
Pour le reste de cette section 2.2, on consid`ere n N. On introduit tout d’abord les permutations.
∈
D´efinition [permutation] : Soit σ =(σ ,σ ,...,σ ). Alors σ est une permutation de taille n si :
1 2 n
i [1..n], σ [1..n],
i
• ∀ ∈ ∈
i,j [1..n], σ =σ .
i j
• ∀ ∈ 6
Il est bien bien connu qu’il y a n! permutations de taille n. Muni de la composition, l’ensemble
des permutations de longueur n forme un groupe appel´e le groupe sym´etrique que l’on notera S . On
n
note S l’ensemble d´efini comme suit :
S:= S .
n
n 0
[≥
On peut consulter [23], notamment, pour un ´etat de l’art sur le groupe sym´etrique.
D´efinition [descentes] : Soit σ = (σ ,...,σ ) S . On appelle ensemble de descentes de σ
1 n n
∈
l’ensemble
D(σ):= i σ >σ , i [1,n 1] .
i i+1
{ | ∀ ∈ − }
Par exemple l’ensemble des descentes de σ =(4,2,1,3,7,6,5,8) est D(σ)= 1,2,5,6 .
{ }
D´efinition [composition] : Soit I = (i ,i ,...,i ), avec k [1..m],i > 0. On dit que I est une
1 2 m k
∀ ∈
composition de n si :
m
i =n.
k
k=1
X
Par exemple (2,2,1) est une composition de 5 au mˆeme titre que (1,2,2) ou encore (3,2). On liste
ci-dessous toutes les compositions pour n=4 :
(4),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2),(1,1,1,1).
On note qu’il y a 8=24 1 compositions pour n=4. De mani`ere g´en´erale le nombre de compositions
−
de n est ´egal `a 2n 1. Il existe de nombreuses m´ethodes pour s’en convaincre, on en propose une qui
−
nous permet d’introduire la notion de repr´esentation graphique d’une composition dont nous aurons
besoin par la suite.