algebres de banach bilaterales

18 Pages·2016·0.14 MB·French

ALGEBRES DE BANACH
BILATERALES
A. El Kinani, A. Najmi, M. Oudadess.
Abstract
Manyalgebraicpropertiesofcommutativealgebrasremainvalidin
the so called two-sided algebras by Hille and Philips. In the Banach
case, these algebras are commutative modulo the Jacobson radical.
We also give a full description of some two-sided algebras.
Introduction. Dans [6], Hille et Philips mentionnent le cas d(cid:146)une classe
d(cid:146)algŁbres dites bilatØrales; elles possŁdent certaines propriØtØs des algŁbres
commutatives. Dans le cas Banach, ils ont en particulier montrØ que le quo-
tient d(cid:146)une algŁbre bilatØrale par un idØal maximal rØgulier est isomorphe au
corps des nombres complexes. Nous procØdons ici (cid:224) une Øtude plus poussØe.
La premiŁre partie consiste en une Øtude algØbrique. Nous montrons
que beaucoup de propriØtØs concernant les algŁbres commutatives restent
encore vraies dans les algŁbres bilatØrales. Ainsi, par exemple le quotient et
l(cid:146)unitisation conservent la bilatØralitØ. Nous donnons ensuite une caractØri-
sation des algŁbres bilatØrales simples et une autre des algŁbres bilatØrales
semi-simples artiniennes.
Dans la deuxiŁme partie, nous considØrons les algŁbres de Banach bi-
latØrales. On donne un exemple oø la complØtØe d(cid:146)une algŁbre normØe bi-
latØrale n(cid:146)est pas bilatØrale; ce qui dØnote une di⁄Ørence fondamentale avec
la commutativitØ. Le mŒme exemple montre que la bilatØralitØ n(cid:146)est pas
nØcØssairement hØritØe par une sous-algŁbre. On dØgage ensuite, des condi-
tions pour que la complØtØe d(cid:146)une algŁbre bilatØrale reste bilatØrale. Nous
montrons aussi qu(cid:146)une algŁbre de Banach complexe bilatØrale est commuta-
tive modulo son radical de Jacobson; et c(cid:146)est l(cid:224) probablement le lien le plus
fort entre la bilatØralitØ et la commutativitØ. Des conditions pour que la
rØciproque reste vraie sont Øgalement dØgagØes. Par ailleurs, nous montrons
1
quetoutealgŁbreAbilatØraleetdedimension(cid:133)nieestdelaformeRadA Cn.
(cid:8)
Elle est donc commutative si, et seulement si, RadA est commutatif. Puis,
nous donnons un thØorŁme de structure dans le cas d(cid:146)une algŁbre de Banach
bilatØrale A telle que A=RadA soit de dimension (cid:133)nie.
Les auteurs sont en train de (cid:133)naliser un travail sur le mŒme sujet dans le
cadre des algŁbres multiplicativement convexes.
I-PropriØtØs algØbriques.
Dans la suite, toutes les algŁbres A considØrØes sont complexes. On pose
A2 = xy : x;y A . Une zØro-algŁbre est une algŁbre A telle que A2 = 0 .
f 2 g f g
Pour tout x (cid:133)xØ dans A, soit Ann (x) (resp. Ann (x)) l(cid:146)annulateur (cid:224) gauche
g d
(resp. (cid:224) droite) de x.
On rappelle la dØ(cid:133)nition suivante.
DØ(cid:133)nition I-1. ([6], p. 703). Une algŁbre A est dite bilatØrale si
( x;y A)( v A) : xy = vx (B1)
8 2 9 2
( x;y A)( u A) : xy = yu (B2)
8 2 9 2
Nous procØdons d(cid:146)abord (cid:224) une Øtude purement algØbrique, oø la notion
d(cid:146)idØal joue un r(cid:244)le fondamental. De la dØ(cid:133)nition mŒme, on obtient ce qui
suit.
Proposition I-2. Dans une algŁbre A, les assertions suivantes sont
Øquivalentes.
1. A est bilatØrale.
2. xA = Ax, pour tout x A.
2
3. Il existe deux applications f et g, de A A dans A, telles que
(cid:2)
xy = f(x;y)x;pour tous x;y A (B3)
2
xy = yg(x;y);pour tous x;y A (B4)
2
Comme consØquence de cette proposition, on obtient le rØsultat suivant.
2
Corollaire I-3. Dans une algŁbre bilatØrale, on a IA = AI pour tout
idØal I de A; et donc tout idØal (cid:224) gauche ou (cid:224) droite est bilatŁre.
Examinant la rØciproque, on obtient le rØsultat de Putnam ØnoncØ dans
[6].
Proposition I-4. Soit A une algŁbre unitaire. Si tout idØal est bilatŁre,
alors A est bilatØrale.
Preuve. Pourtoutx A,onaxA (Ax)A AxetAx A(xA) xA.
2 (cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26)
On conclut par la proposition I-2.
Remarque I-5. On ne sait pas si la proposition prØcØdente reste vraie
dans le cas non unitaire.
Voici quelques exemples d(cid:146)algŁbres bilatØrales.
1. Toute algŁbre commutative est Øvidemment bilatØrale.
2. Tout corps est une algŁbre bilatØrale.
3. Soient x et y deux symboles tels que x2 = 0;y2 = 0 et xy = yx. Soit
(cid:0)
A = [x;y] l(cid:146)algŁbre engendrØe par les deux symboles x et y. Elle est
bilatØrale comme algŁbre vØri(cid:133)ant ab = ba, pour tous a et b dans A.
(cid:0)
4. Soit K un corps non commutatif.
a b
(a) On pose A = : a;b K . C(cid:146)est une algŁbre bi-
0 a 2
(cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27)
latØrale unitaire non semi-simple et non commutative.
0 a b
(b) On pose B = 0 0 a : a;b K
80 1 2 9
0 0 0
< =
C(cid:146)est une algŁbr@e bilatØraleAradicale et non commutative.
: ;
(a) Soit A est une algŁbre semi-premiŁre et vØri(cid:133)ant la propriØtØ (P)
suivante (cid:148)Ax2 = Ax, pour tout x A(cid:148). En combinant i) du
2
corollaire III.2 de [3] et 1) de la proposition III de [3], on montre
que A est bilatØrale.
3
(b) Si une algŁbre A vØri(cid:133)e (P), il en est de mŒme de A=RadA. Donc,
d(cid:146)aprŁs i), l(cid:146)algŁbre A=RadA est bilatØrale.
5. Comme cas particulier de l(cid:146)algŁbre de l(cid:146)exemple a. de 5., l(cid:146)algŁbre KN
des suites (cid:224) valeurs dans un corps quelconque K est bilatØrale. Il en
est de mŒme de la sous-algŁbre A des suites nulles (cid:224) partir d(cid:146)un certain
rang.
Remarque I-6. On pose
Bil (A) = y A= x A; v = v(x;y) A : xy = vx :
1
f 2 8 2 9 2 g
Bil (A) = x A= y A; u = u(x;y) A : xy = yu :
2
f 2 8 2 9 2 g
Bil(A) = (x;y) A A= u;v A : xy = vx = yu :
f 2 (cid:2) 9 2 g
On vØri(cid:133)e que Bil (A) et Bil (A) sont des sous-algŁbres de A et que Bil(A)
1 2
est une sous algŁbre de Bil (A) Bil (A). De mŒme A est bilatØrale si, et
2 1
(cid:2)
seulement si, Bil(A) = A A:
(cid:2)
Proposition I-7. Soit A une algŁbre telle que AI = IA, pour tout idØal
I deA. Alors A2 A2 Bil(A) i.e., A2x = xA2, pour tout x A. Donc A
(cid:2) (cid:26) 2
est bilatØrale dŁs que A2 = A.
Preuve. Soient x A, I = Ax et J = xA. Par hypothŁse IA = AI.
2
Donc on a AJ = A2x. Et comme JA = AJ, on a A2x = xA2.
Les propriØtØs de stabilitØ suivantes permettent d(cid:146)enrichir la classe des
algŁbres bilatØrales.
Proposition I-8.
1. Soient A et B deux algŁbres et h un morphisme d(cid:146)algŁbres de A dans
B. Si A est bilatØrale, alors h(A) est une sous algŁbre bilatØrale de
B. En particulier, si I est un idØal de A, l(cid:146)algŁbre quotient A=I est
bilatØrale.
2. Tout produit d(cid:146)algŁbres est bilatØral si, et seulement si, chacun des fac-
teurs est bilatØral.
4
3. Toute limite inductive et tout produit tensoriel d(cid:146)algŁbres bilatØrales est
bilatØrale.
4. L(cid:146)unitisØe d(cid:146)une algŁbre bilatØrale est bilatØrale.
Preuve. Les preuves de 1., 2. et 3. sont standards. Montrons 4..
Pour cel(cid:224), on suppose d(cid:146)abord que A est radicale. Soient les deux Øquations
suivantes
(x;(cid:11))(y;(cid:12)) = (y ;(cid:12) )(x;(cid:11)) (1)
0 0
(x;(cid:11))(y;(cid:12)) = (y;(cid:12))(x;(cid:11)) (2)
0 0
oø les inconnues sont x0;y0 A et (cid:11)0;(cid:12)0 C. Par hypothŁse, on sait qu(cid:146)il
2 2
existe u;v A tel que xy = vx = yu. Si (cid:11) = 0 dans (1), alors l(cid:146)Øquation
2
xy + (cid:12)x = y x + (cid:12) x, admet pour solution (cid:12) = (cid:12) et y = v. Si (cid:11) = 0
0 0 0 0
6
dans (1), alors (x;(cid:11)) est inversible vu que l(cid:146)algŁbre A est radicale. Et alors
(y ;(cid:12) ) = (x;(cid:11))(y;(cid:12))(x;(cid:11)) 1. On traiterait de maniŁre identique l(cid:146)Øquation
0 0 (cid:0)
(2) dans les cas (cid:12) = 0 et (cid:12) = 0. Si maintenant l(cid:146)algŁbre est non radicale,
6
alors elle contient des idØaux rØguliers. Pour un idØal (cid:224) droite propre I1 de
d
A1, on a I1A1 A1. En posant I = I1 A on obtient les deux rØsultats
d (cid:26) d d \
suivants
i) A1(y;0) (y;0)A1, pour tout y I .
d
(cid:26) 2
ii) A1(u; 1) (u; 1)A1, pour toute unitØ (cid:224) gauche u de A modulo I .
d
(cid:0) (cid:26) (cid:0)
Donc A1I1 I1A1. On ferait de mŒme pour un idØal (cid:224) gauche propre.
d (cid:26) d
Remarque I-9. D(cid:146)aprŁs la proposition prØcØdente, si A est bilatØrale, il
en est de mŒme de l(cid:146)algŁbre A=RadA. La rØciproque est en gØnØral fausse
comme le montre les deux contre-exemples suivants.
1. Soient x et y deux symboles tels que x2 = 0; y2 = 0 et xyx = yxy = 0.
Soit A = [x;y] l(cid:146)algŁbre engendrØe par les deux symboles x et y. C(cid:146)est
une algŁbre radicale de dimension 4 dont une base est x;y;xy;yx .
f g
Elle n(cid:146)est pas bilatØrale, vu que Ax = [yx] = [xy] = xA.
6
a 0
2. Soit A = : a;b K . C(cid:146)est une algŁbre non bilatØrale et
b 0 2
(cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27)
non unitaire vØri(cid:133)ant A2 = A, et A=RadA est bilatØrale. Par ailleurs,
5
on voit aisØment que l(cid:146)algŁbre A vØri(cid:133)e la propriØtØ (P) introduite dans
(a) l(cid:146)exemple 5.. D(cid:146)oø, par (b) de l(cid:146)exemple 5., l(cid:146)algŁbre A=RadA est
bilatØrale, alors que A ne l(cid:146)est pas vu que ARadA = 0 = RadAA =
f g 6
RadA.
Soit A une algŁbre vØri(cid:133)ant (P) ou la propriØtØ (P ) suivante (cid:148)x2A = xA;
0
pourtoutx A(cid:148). Pari)ducorollaireIII.2([3], p. 5), l(cid:146)ØgalitØaA+RadA =
2
Aa+RadA est vraie pour tout a dans A. Ceci va nous servir pour donner
une sorte de rØciproque (cid:224) la proposition I-4, comme suit.
Proposition I-10. Soit A une algŁbre non unitaire vØri(cid:133)ant A2 = A et
dont tout idØal est bilatŁre. Si A vØri(cid:133)e (P) et (P ), alors elle est bilatØrale.
0
Preuve . D(cid:146)aprŁs la proposition I-3 ([3], p. 3), on a
aA+RadA = Aa+RadA; pour touta A (3)
2
(RadA)A = ARadA = 0 (4)
f g
Les relations (3) et (4) entrainent que AaA = aA2 = A2a, pour tout
a A. Donc A2 A2 Bil(A). Par ailleurs A2 = A. D(cid:146)oø, d(cid:146)aprŁs la
2 (cid:2) (cid:26)
proposition I-7, la bilatØralitØ de A.
On regarde maintenant quelques conditions qui entrainent la commuta-
tivitØ d(cid:146)une algŁbre bilatØrale.
Proposition I-11. Soient A une algŁbre bilatØrale, f et g respectivement
telles que dans (B3) et (B4) de la proposition I-2. Les assertions suivantes
sont Øquivalentes.
1. A est commutative.
2. f(x;y) (y +Ann (x)), pour tous x;y A.
g
2 2
3. g(x;y) (x+Ann (y)), pour tous x;y A.
d
2 2
6
Preuve. Si A est bilatØrale, l(cid:146)Øquivalence entre 1. et 2. dØcoule de
l(cid:146)ØgalitØ xy = f(x;y)x, pour tous x;y A. De maniŁre analogue, on montre
2
l(cid:146)Øquivalence entre 1. et 3..
Remarque I-12. Soit A une algŁbre et B(A) = a A : aA = Aa . Si
f 2 g
B(A) = A, alors A est bilatØrale. Par ailleurs B(A) est toujours un semi-
groupe multiplicatif bilatØral contenant le centre C(A) et le groupe G(A) des
ØlØments inversibles de A. Si B(A) est une sous algŁbre unitaire, de A , telle
que G(A) C(A) = , alors B(A) est bilatØrale non commutative.
n 6 ;
Remarque I-13.
1. DansunealgŁbrebilatØraletoutidØalmaximal(cid:224)gauche(resp. (cid:224)droite)
est aussi maximal (cid:224) droite (resp. (cid:224) gauche).
2. Soient A une algŁbre commutative unitaire et a A. On sait que a
2
est inversible si, et seulement si, a n(cid:146)appartient (cid:224) aucun idØal maximal.
Ce rØsultat ne reste plus valable dans une algŁbre quelconque. En e⁄et
dans l(cid:146)algŁbre (H) des opØrateurs bornØs sur un espace de Hilbert
L
H sØparable et de dimension in(cid:133)nie, il existe des opØrateurs non in-
versibles qui n(cid:146)appartiennent pas au seul idØal maximal formØ par
I
les opØrateurs compacts . Si maintenant A est une algŁbre bilatØrale et
a A, alors par 1. a est inversible si, et seulement si, a n(cid:146)appartient (cid:224)
2
aucun idØal maximal.
Nous dØcrivons maintenant la structure de certaines algŁbres bilatØrales.
Proposition I-14. Toute algŁbre A bilatØrale simple est, soit un corps,
soit une zØro-algŁbre de dimension 1.
Preuve. Comme A est bilatØrale, tous ses idØaux sont bilatŁres. Elle
n(cid:146)admet aucun idØal propre (cid:224) gauche vu quelle est simple. Et on applique le
thØorŁme 24.6.1 ([6], p. 694).
Proposition I-15. Toute algŁbre A bilatØrale semi-simple et artinienne
est la somme directe A = A ::: A d(cid:146)un nombre (cid:133)ni d(cid:146)algŁbres A telles
1 n i
(cid:8) (cid:8)
7
que, pour tout i = 1;:::;n, A est soit un corps, soit une zØro-algŁbre de di-
i
mension 1.
Preuve. D(cid:146)aprŁs le thØorŁme 27 ([7], p. 315), l(cid:146)algŁbre A est isomorphe
(cid:224) un produit i=nA oø A est simple pour tout i. Par 2. de la proposition
i=1 i i
I-8, A est bilatØrale pour tout i. On conclut par la proposition I-14.
i
Q
Soient A une algŁbre commutative et M un idØal maximal de A. Alors
on a A2 M avec dim(A=M) = 1, ou bien M est rØgulier avec A=M un
(cid:26)
corps. CerØsultatnerestepasvalabledansunealgŁbrequelconquecommele
montre l(cid:146)algŁbre A = (H) et l(cid:146)idØal maximal M = de 2. de la remarque
L I
I-13. Cependant dans le cas bilatØral, on a ce qui suit.
Proposition I-16. Si A est une algŁbre bilatØrale et M un idØal maximal
de A, alors A2 M avec dim(A=M) = 1, ou bien M est rØgulier avec A=M
(cid:26)
un corps.
Preuve. Comme A est bilatØrale, M est maximal (cid:224) gauche. Donc, par
1) de la proposition I-8, A=M est bilatØrale. De plus elle n(cid:146)admet pas d(cid:146)idØal
propre (cid:224) gauche. Posons B = A=M. Comme, dans la proposition I-14, on a
B2 = 0 avec dim(B) = 1, ou bien B est un corps. Si l(cid:146)idØal M est rØgulier,
f g
alors B est unitaire. Donc B2 = 0 . Par consØquent B est un corps.
6 f g
Plus gØnØralement, on a le rØsultat suivant.
Proposition I-17. Soit A une algŁbre telle que A2 = A. Si M est un
idØal bilatŁre maximal en tant qu(cid:146)idØal (cid:224) gauche (resp. en tant qu(cid:146)idØal (cid:224)
droite), alors M est aussi maximal en tant qu(cid:146)idØal (cid:224) droite ( resp. en tant
qu(cid:146)idØal (cid:224) gauche) et A=M est un corps.
Preuve. Soit M un idØal bilatŁre maximal en tant qu(cid:146)idØal (cid:224) gauche.
Posons B = A=M. Si B2 = 0 , alors A2 M; ce qui est impossible. Par
f g (cid:26)
consØquent B est un corps et M est alors rØgulier (cid:224) gauche et (cid:224) droite. Par
ailleurs, M est aussi maximal (cid:224) droite. En e⁄et, si I est un idØal (cid:224) droite
contenant M et inclus strictement dans A et si s est la surjection canonique
de A sur B, alors s(I) est un idØal du corps B, qui est di⁄Ørent de B. Donc
s(I) = 0 . D(cid:146)oø M = I.
f g
8
Les deux lemmes suivants nous seront utiles par la suite.
Lemme I-18. Soit A une algŁbre bilatØrale sur un corps commutatif K
et soit f la fonction telle que dans (B3) de la proposition I-2. Pour tout x
(cid:133)xØ dans A, nous imposons en plus -sans perte de gØnØralitØ- (cid:224) la fonction
partielle y f (y) = f(x;y) de A dans A, de s(cid:146)annuler sur Anng(x). Soit
x
7(cid:0)!
B un supplØmentaire de Ann (x) dans A. Alors
x g
1. Pour tout x (cid:133)xØ dans A, l(cid:146)application f est linØaire de A dans B .
x x
2. Pour tout x (cid:133)xØ dans A, l(cid:146)application y f (y)x est linØaire con-
x
7(cid:0)!
tinue.
3. Pour tout y (cid:133)xØ dans A on a
f(x+(cid:21)x0;y)(x+(cid:21)x0) = f(x;y)x+(cid:21)f(x0;y)x0;x;x0 A;(cid:21) C
2 2
Preuve: 1. On a xy = fx(y)x, pour tout x (cid:133)xØ dans A 0 . Si y,
nf g
y A et (cid:21) K, alors x(y + (cid:21)y ) = f (y + (cid:21)y )x. Comme xy + (cid:21)xy =
0 0 x 0 0
2 2
f (y)x+(cid:21)f (y )x, on obtient
x x 0
(f (y +(cid:21)y ) f (y) (cid:21)f (y ))x = 0 (5)
x 0 x x 0
(cid:0) (cid:0)
Comme l(cid:146)ØlØment f (y + (cid:21)y ) f (y) (cid:21)f (y ) Ann (x) B = 0 ,
x 0 x x 0 g x
(cid:0) (cid:0) 2 \ f g
l(cid:146)application f est linØaire de A dans B .
x x
2. Par (5), l(cid:146)application y f (y)x est linØaire. De plus, elle est
x
7(cid:0)!
continue. Car si (y ) est une suite tendant vers 0, on a f (y )x = xy qui
n n x n n
tend vers 0.
3. Il est Øvident que
(x+(cid:21)x)y = f(x+(cid:21)x;y)(x+x) = xy +(cid:21)xy = f(x;y)x+(cid:21)f(x;y)x:
0 0 0 0 0 0
Lemme I-19. Soit A une algŁbre unitaire telle que A = RadA C",
(cid:8)
avec " un symbole vØri(cid:133)ant "2 = ". Si A est bilatØrale, alors " est l(cid:146)unitØ de
A et RadA est bilatØrale.
Preuve. Montrons d(cid:146)abord que " = e, oø e est l(cid:146)unitØ de A. Il existe
r1 RadA et "1 Ce tel que e = "1 + r1. En considØrant les ØgalitØs
2 2
e2 = e;"2 = " et "e = e" = ", on obtient "r = r " = " " . Cette
1 1 1
(cid:0)
dØrniŁre ØgalitØ montre que " "1 RadA Ce, donc r1" = 0et " = "1. Ceci
(cid:0) 2 \
9
prouve que r = r2. D(cid:146)oø r = 0 et donc " = e. Montrons maintenant que
1 1 1
RadA est bilatØrale. Pour r;s RadA, il existe t RadA et (cid:21) C tels
2 2 2
que rs = (t + (cid:21)e)r. Si r = 0, on prend (cid:21) = 0. Pour r = 0, montrons que
6
(cid:21) = 0 et RadA sera alors bilatØrale. Si (cid:21) = 0, alors (t + (cid:21)e) est inversible
6
et d(cid:146)inverse (z +(e=(cid:21))), oø z RadA. Donc (z +(e=(cid:21)))rs = r. Or il existe
2
(z +(cid:21)e) A tel que (z +(e=(cid:21)))r = r(z +(cid:21)e), donc r(z s+(cid:21)s e) = 0
0 0 0 0 0 0
2 (cid:0)
avec z s+(cid:21)s RadA. D(cid:146)oø r = 0; contradiction.
0 0
2
II - AlgŁbres de Banach bilatØrales.
OnvamaintenantexaminerlabilatØralitØavecl(cid:146)interventiond(cid:146)unenorme.
Signalons tout d(cid:146)abord que la complØtØe d(cid:146)une algŁbre normØe bilatØrale,
n(cid:146)est pas en gØnØral bilatØrale, comme le montre l(cid:146)exemple suivant.
Soit A = [x;y] l(cid:146)algŁbre de Banach engendrØe par les deux symboles x et
y tels que x2 = 0;y2 = 0 et xy = yx . Elle est bilatØrale vu que ts = st,
(cid:0) (cid:0)
pour tous s et t dans A. Par 4. de la proposition I-8, l(cid:146)algŁbre A1 = A Ce,
(cid:8)
obtenueparadjonctiond(cid:146)uneunitØ(cid:224)A,estunealgŁbredeBanachbilatØrale.
SoitB l(cid:146)algŁbredessuitesd(cid:146)ØlØmentsdeA stationnaires(cid:224)partird(cid:146)uncertain
1
rang dØpendant de la suite. L(cid:146)algŁbre B munie des opØrations usuelles et de
la norme x = sup x , est une algŁbre normØe bilatØrale, alors que sa
n n
k k k k
complØtØe ne l(cid:146)est pas. En e⁄et soient
X = (x+e;x+(1=2)e;:::;x+(1=n)e;x+(1=n+1)e;:::)
Y = (y +e;y +e;:::)
(cid:26)
Comme xy = 0, l(cid:146)equation XY = ZX n(cid:146)admet pas de solution Z dans la
6
complØtØe B de B.
Signalons ensuite qu(cid:146)une sous algŁbre d(cid:146)une algŁbre bilatØrale n(cid:146)est pas
forcØment bbilatØrale. La complØtØe B de B, de l(cid:146)exemple prØcØdent, est une
sous algŁbre non bilatØrale de l(cid:146)algŁbre bilatØrale (A Ce)N.
(cid:8)
b
DØgageons maintenant des conditions pour que la complØtØe d(cid:146)une al-
gŁbre normØe bilatØrale soit encore bilatØrale.
Proposition II-1. Soient A une algŁbre normØe bilatØrale, A sa com-
plØtØe et f et g les fonctions telles que dans le lemme I-18. Alors
e
1. (a) xy = f(x;y)x, pour tous x A;y A.
2 2
(b) xy = yg(x;y), pour tous x A;y A.
2 2 e
e
10