Algèbre supérieure / par L.

252 Pages·2016·8.86 MB·French

Algèbre supérieure / par L.-B.
Francoeur,...
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Francoeur, Louis-Benjamin (1773-1849). Auteur du texte. Algèbre
supérieure / par L.-B. Francoeur,.... 1838.
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ALGÈBRE
SUPÉRIEURE.
ALGÈBRE
SUPÉRIEURE,
PAR
L.-B. FRANCOEUR,
DES
SOCIETES FHttO»ATHlQUB
PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES De PARIS}
d'hHCOURACBMENTPOUR L INDUSTRIE ET DE PLUSIEURS AUTRRS ASSOCIATIONS
ETRANGERES;
FRANÇAISES ET
ACADEMIES PÊTERSBOïIRC EDIMBOURG, RTC.
MEMBREHONORAIABDES DB
Profères, dans l'enseignement,les méthodes généra les
i^ttûchez-voua à les présenter de la manière la plus
simple, et vous verrez on même temps qu'elles dont
toujours les plus faciles.
Lapiack École, nom* tome IV,p. 49.
BRUXELLES.
MELINE, CANS ET COMPAGNIE.
MBRAIR1B IMPR1B1ERIB RT FOÏ1DSR1K.
1838
MATIÈRES.
TABLE DES
CHAPITRE PREMIER.
formule du binôme de Newton, dévelop-
Combinaisons ET PERMUTATIONS page 1
pement des puissances.des polynômes, 10; racines de degrés supérieurs, 17
nombres figurés 20 combinaisonsde choses qui ne sont pas toutes inégales, 21;
notions sur les probabilités, 29.
CHAPITRE II.
RÉSOLUTIONdes équations. Compositiondes coefficients, 36 transformations,40;
limites des racines, 45 racines commensurables,50; racines égales, 55; éli-
mination, 39; sur l'existence des racines, 67; racines incommensurables
méthode de Newton, 77; de D. Bernoulli, 80; de Lagrange, 82 règle de Des-
cartes, 86 et 94; méthode de Fourier, 89; de M. Sturm,107;de M. Budan, 110
racines imaginaires-, 114.
CHAPITRE III.
Équations particulières. Abaissement-du degré, équations réciproques, 121;
équations à deux termes, racines de l'unité, 124; théorèmes de Côtes et de
Moivre, 129, 152; équations à trois termes, 132; cdlcul. des radicaux, 135;
équations du degré, 137 du 4e degré, 143>
5<>
CHAPITRE IV.
Fonctions symétriques. Sommes des puissances des racines 147 résolution nu-
mérique des équations 151 équations du 2e degré, 154; du 3e degré, 154
du 4e degré, 156; élimination, 158. W'
CHAPITRE V.
indéterminées du 1er degré, 168; équations déterminées du 2e degré, 169;
équations indéterminées du 2o degré 185; équations indéterminées de degré
supérieur, 194 résolution des équations numériques de tous les degrés, 196.
CHAPITRE
VI.
Méthode des jttDÉTERmNÉs 202, décomposition des fractions ration-
COEFFICIENTS
nelles, 202; convergencedes séries, 210; séries récurrentes, 213; exponen-
tiellcs,221 logarithmiques 222; circulaires, 227 retour des suites, 239;
équations de condition, 242.
NÉCESSAIRES,
OBSERVATIONS
Les numéros mis commencement des paragraphes marquent
au
l'ordre des articles dans le mathématiques
COURS COMPLET DE
PURES.
En général, les numéros placés entre deux parenthèses, dans
le corps des alinéas, indiquent le numéro de l'article du cours
sur lequel s'appuie le passage où ce numéro est cité.
COMPLET
Les chiffres et les lettres entre parenthèses placés à la marge
droite, à la suite des formules, servent de de renvoi
marques
formules qu'ils précèdent.
aux
ALGÈBRE
SUPÉRIEURE.
CHAPITRE le'.
DES COMBINAISONS ET DES PUISSANCES.
Permutations
et Combinaisons.
475. Lorsque des termes sont composés de lettres semblables
oit
différentes, placées dans divers ordres,
nous nommeronsces assem-
blages des Arrangements, ou des Permutations; mais si l'une de
ces
lettres au moins est différente dans chaque terme, et qu'on n'ait
point égard aux rangs des lettres, ces termes seront des Combinai-
sons Ainsi abe, bac, cba, bca, sont 4 permutations, et abc, abd,
bcd, aed, A combinaisons S à 3.
Pour désigner le nombre des permutations qu'on peut faire
avec
Les combinaisonssont aussi appelées Produits différents rejetons cette
nous ex-
pression défectueuse carab et cd, qui sont les combinaisonsdifférentes de deux lettres,
peuvent cependant former des produits égaux, comme 3X8 = 6X4 2- X 3-On
a distingué aussi les permutations des arrangements, réservant le i« nom aux arran-
gements de p lettres entre elles, ou p à y mais cette distinction n'a aucun but utile, et
nous n'en ferons pas usage, non plus que de plusieurs autre? dénominations.
m lettres, en les prenant p à p, nous écrirons [niPp] le nombre
des combinaisons indiqué
sera par [jm<7jo].
Proposons-nous de troxcver le nombre de toutes les permutations
y
=
de lettres prises à [mPp], Considérons d'abord les
m p p, ou y
arrangements qui commencent par une lettre telle que a, mais qui
diffèrent, soit par quelque autre lettre à droite de a, soit seulement
par l'ordre suivant lequel elles sont rangées. Si l'on supprime cette
initiale égal nombre d'assemblagesde p lettres;
a, on aura un 1
seront visiblement tous les arrangements possibles des
ce 1
M
autres lettres b, d, prises p ensemble; désignons-en le
e, 1
!)].
nombre par y = [(»» 1) P (p Donc si l'on prend ces m 1
lettres b, c, d, qu'on forme avec elles toutes les permutations
p 1 à p 1, qu'enfin on place a en tête de chaque terme, on
aura toutes celles des permutations p à p qui ont a pour initiale. En
effet, l'une de celles-ci fût omise répétée plusicurs fois,
pour que ou
iPfaudrait qu'après y avoir supprimé a, qui est en tête, les assem-
blages restants présentassent la même erreur, et que quelque per-
hp
mutation p des lettres b, c, d, fût elle-même omise
1 1
répétée; qui est contre la supposition.
ou ce
Il donc autant d'arrangements de lettres prises p
y a m 1 1
à p 1, que d'arrangements de lettres P à p, où a est initial
m,
soit ce nombre. Or, si l'on raisonne pour b comme on a fait pour
V
trouvera de même permutations qui commencent par b; il
a, on etc.
tête,
y en a y qui ont c en et comme chaque lettre doit être
initiale à son tour, le nombre cherché y est composé d'autant de
fois '/1 qu'il y a de lettres,
=
[mPp] [(»» P (p 1)].
1)
y nif, ou
m
Il suit de là que, 1° pour obtenir le nombre y" d'arrangements de
est
lettres, 2. à 2, alors le nombre d'arrangements de let-
m 1
= =
tres prises 1 à 1, ou f m 1 donc y" in (in 1).
2° Si l'on veut le nombre y"' d'M'rangements de 111 lettres 3 à 8,
p, est 3, et désigne la quotité d'arrangements de m 1 lettres 2
p
à 2, quotité qu'on tire de y" changeant
en m en m 1
f = (m 1) (m 2) d'où y" = m (in 1) (m 2).
8° On trouve de même pour le nombre des arrangements 4 à 4,
y" =
(m 1) (m 2) {m 3), et ainsi de suite.
m
Il est visible que pour passer de l'une de ces équ. la suivante,
il faut y changer m en m 1, puis multiplier par fin; ce qui re-
visent à joindre aux facteurs 1, l'entier qui suit'ié def-
m, m
lîiër de" ces nombres; ainsi, pour p lettres, ce dernier niultiplica-
(
teur p 1), d'où
sera
m
(1)
le nombre des facteurs est p. C'est ainsi que 9 choses peuvent
se
permuter 4 à 4 d'autant de façons différentes qu'il est marqué par
9.8.7.6 = =
le produit des 4 facteurs [9i>4] 8024 c'est le
nombre de manières dont 9 personnes peuvent occuper 4 placés.
Les arrangements de in choses 1 à 1 et 2 à 2 réunis, sont en nombre
=
-j- 1)
m m (M m".
=
En faisant m p, on obtient le nombre z d'arrangements de p
lettres p à p, toutes les p lettres entrant dans chaque terme,
(2)
Le nombre d'arrangements des 7 notes de la gamme musicale est
1.2.8
7 = S040 comptant les derni-tons,on a 479001 600.
en
476. Cherchonsle
nombre des combinaisons différentesde lettres
x m
p =
prises [tnCp'j. Supposons combinaisons effec-
p, ou x ces x
tuées, et écrites successivement ügne horizontale: inscri-
sur une
vons au-dessous de la lre toutes les permutations des p lettres: qui
s'y
trouvent, et nous aurons une colontre verticale formée de s
termes (équ. 2). Le second terme de la ligne horizontale donnera
de même, une colonne verticale de z ternies composant toutes les
permutations des p lettres qui sont comprises, et dont lettre
y une
au moins est différerrte de celles qui entrent dans la combinaison
déjà traitée. La Se combinaison donnera aussi termes différents des
z
autres, On
etc. formera donc ainsi tableau composé de x colon-
un
nes, ayant chacune z termes; en tout résultats, qui constituent
.Ta
-visiblement tous les arrangements possibles de àosnt lettres prises
p&p, sans qu'aucun soit omis ni répété.- Le nombre de ceux-ci
-p e^J
= =
=
étant y (équ. 1), d'où savoir;
on a xz y, x
(S)
Les équ. et 2 étant composées chacune de p facteurs, l'équ. (3)
1
en a aussi p, qui sont des fractions dont les termes sont entiers e't
1*
suivent l'ordre naturel, décroissants partir de le numéra-
à «t pour
teur, et croissants jusqu'à p pour le dénominateur. Comme, par sa
nature, x doit être nombre entier, la formule (1) doit être
un exac-
tenaent divisible par (2) au reste, c'est ce qu'on pourrait prouver
directement.
477. On
a
Soit/) ]> q, tous les facteurs de cette équ. entrent dans l'équ. (3),
-qu'on peut conséquent écrire
pnr
=
I-. Cherchons d'abord s'il se peut que x x' il est clair qu'il
faut que le produit de toutes ces fractions se réduise à 1, ou que les
numérateurs forment le même produit que les dénominateurs si
l'on prend ceux-ci ordre inverse,
en ou a
1)
(m q
q){m–
= p (p 1) (g- -f- 1).
Or, deux membres admettent égal nombre de facteurs
ces un con-
tinus et décroissants si chaque facteur d'une part n'était égal à
pas
celui qui a même rang de l'autre part, l'égalité serait impossible,
puisque, suppression faite des facteurs il resterait des
communs,
facteurs tous plus grands d'un côté que de l'autre et en pareil nom-
bre. Ainsi, cette équ. exige = x';
que m q ==p, pour que x
de là théorème
ce
m
= =
[wCp] [w(7g] quand p
q.
100 lettres prises 88 à 88, et prises 12 à 12, donnent égal
un nom-
bre de combinaisons; et, en effet, [100 ,C 88] a pour numérateur
13.88;
100 99 89 88 18,et .2.3
pourdénom. 1 12
..88,
1S.1-4.1S
supprimant les facteurs
communs il reste
ciles les calculs de la formule (3), quand p > i «t. On plutôt
a
=
trouvé 100 C 4 que 100 C 96 8 921 225.
Concluons de là que si l'otn ,écrit successivement les nombres de
combinaisons de m leltres 1 2 à 2, 8 à 3, les mêmes valeurs