Algèbre multilinéaire [Lecture notes]

57 Pages·2009·0.42 MB·French

by  Marc Sage

AlgŁbre multilinØaire
Marc SAGE
Table des matiŁres
1 Produit tensoriel de A-modules 2
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 ProblŁme de factorisation des applications bilinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 PropriØtØs basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Produit direct et somme directe de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 DistributivitØ du produit tensoriel sur les sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Produit tensoriel de modules libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Produit tensoriel de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Dual : le morphisme de Kronecker M N (M;N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
(cid:3)
(cid:10) (cid:0)!L
1.4 Passage des caractŁres injectif et surjectif au produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Produit tensoriel de suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Produit tensoriel de quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Restriction et extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Restriction des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 PropriØtØs de l(cid:146)extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 AlgŁbre tensorielle, symØtrique et extØrieure d(cid:146)un A-module 23
2.1 Produit tensoriel d(cid:146)algŁbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Produit tensoriel d(cid:146)algŁbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Produit tensoriel d(cid:146)algŁbres graduØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 AlgŁbres anticommutatives et alternØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 AlgŁbre tensorielle d(cid:146)un A-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 DØ(cid:133)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Prolongement des applications linØaires en des morphismes d(cid:146)algŁbres . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Tenseurs symØtriques et antisymØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 AlgŁbre symØtrique d(cid:146)un A-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 PrØliminaires sur les idØaux homogŁnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 DØ(cid:133)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.3 Prolongement des applications linØaires en des morphismes d(cid:146)algŁbres commutatives . . . 40
2.3.4 AlgŁbre symØtrique d(cid:146)une somme directe (cid:133)nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.5 Lien avec les applications multinØaires symØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.6 Lien avec les tenseurs symØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 AlgŁbre extØrieure d(cid:146)un A-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 DØ(cid:133)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2 Prolongement des applications linØaires en des morphismes d(cid:146)algŁbres alternØes . . . . . . 45
2.4.3 AlgŁbre extØrieure d(cid:146)une somme directe (cid:133)nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4 Lien avec les applications multilinØaires alternØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.5 DØterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Annexe 51
3.1 Le morphisme ( M ) ( N ) (M N ) n(cid:146)est en gØnØral ni injectif ni surjectif . . . . . 51
i j i j
(cid:10) (cid:0)! (cid:10)
3.2 Le morphisme de Kronecker n(cid:146)est en gØnØral ni injectif ni surjectif . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Q Q Q
3.3 ReprØsentation d(cid:146)un foncteur, problŁme universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1
Sur les notations des classes d(cid:146)Øquivalences.
Sans contexte, une classe d(cid:146)Øquivalence sera notØ avec un symbole chapeautant, par exemple x, a ou (cid:24).
L(cid:146)isomorphisme chinois sera par exemple notØ a;b ab ou plus simplement a;b ab s(cid:146)il n(cid:146)est pas besoin
7! 7!
de distinguer toutes les classes. e b
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
b e
Sur les notations des isomorphismes.
Nous utiliserons systØmatiquement les notations et = pour dØsigner des isomorphismes. La premiŁre ne
’ (cid:24)
signi(cid:133)e rien de particulier, juste qu(cid:146)il existe un isomorphisme, elle est donc trŁs l(cid:226)che. La seconde, plus rigide,
prØcise qu(cid:146)un tel isomorphisme a ØtØ (cid:133)xØ, ce qui permet de voir comment est transformØ un ØlØment (cid:224) travers
cet isomorphisme. Par exemple, tout K-espace vectoriel de dimension n est Kn, mais ne sera =Kn qu(cid:146)aprŁs
’ (cid:24)
le choix d(cid:146)une base. De mŒme, en termes ensemblistes, on Øcrira R’P (N) mais X(cid:2)f0g(cid:24)=X.
Par ailleurs, les isomorphismes seront (cid:224) l(cid:146)occasion donnØes explictement avec leur rØciproque sous la forme
X Y
(cid:0)!
x f(x) .
8 7(cid:0)!
g(y) y
<
(cid:0)
La (cid:135)Łche du bas doit Œtre comprise com:me une (cid:135)Łche renversØe.
(cid:0) 7(cid:0)!
1 Produit tensoriel de A-modules
On se place dans le cadre d(cid:146)un A-module oø A est un anneau commutatif unitaire. Pour les principales
applications, on ne considØrera que des espaces vectoriels.
1.1 Introduction
1.1.1 ProblŁme de factorisation des applications bilinØaires
SoitM;N;R desA-modules.OnregardelesapplicationsA-bilinØaires’deM N versR,i. e.quivØri(cid:133)ent
(cid:2)
’(am;n)=’(m;an)=a’(m;n)
’(m+m;n)=’(m;n)+’(m;n) .
0 0
8
’(n;n+n)=’(m;n)+’(m;n)
< 0 0
On note Bil (M;N;R) ou Bil:(M;N;R) l(cid:146)ensemble des applications A-bilinØaires de M N dans R, et
A
(cid:2)
(M;N) les homomorphismes de A-modules de M dans N, i. e. les applications A-linØaires de M dans N.
L
Nous allons reprØsenter linØairement les applications bilinØaires.
Pour ce faire, Øtant donnØs deux modules M et N, nous allons construire un module1 P (dØpendant de M
et N) de fa(cid:231)on (cid:224) pouvoir identi(cid:133)er Bil(M;N; ) et (P; ) pour tout module but.
(cid:1) L (cid:1) (cid:1)
PlusprØcisØment,ons(cid:146)intØresseauproblŁmesuivant:ØtantdonnnØsM etN,trouverunA-moduleP etune
applicationA-bilinØaire(cid:25) :M N P telleque,pourtoutA-moduleRetpourtouteapplicationA-bilinØaire
(cid:2) (cid:0)!
’:M N R, il existe une unique application A-linØaire ’:P R telle que ’=’ (cid:25).
(cid:2) (cid:0)! (cid:0)! (cid:14)
’
M N R
(cid:2) (cid:0)!
(cid:25)
’
# %
P
Le procØdØ ’ ’ donnera l(cid:146)application linØaire Bil(M;N;R) (P;R) cherchØe.
7! (cid:0)!L
Observons dØj(cid:224) que, si un tel couple (P;(cid:25)) existe, alors P est unique isomorphisme prŁs.
1P comme « produit tensoriel»
2
Soit (P ;(cid:25) ) un autre tel couple. (cid:25) est une application bilinØaire de M N dans P , donc d(cid:146)aprŁs les
0 0 0 0
(cid:2)
propriØtØs de (P;(cid:25)) il existe une application linØaire (cid:25) : P P telle que (cid:25) = (cid:25) (cid:25). De mŒme, (cid:25) est une
0 (cid:0)! 0 0 0(cid:14)
application bilinØaire de M N dans P, donc d(cid:146)aprŁs les propriØtØs de (P ;(cid:25) ) il existe une application linØaire
0 0
(cid:2)
(cid:25) : P P telle que (cid:25) = (cid:25) (cid:25) . Nous reprØsentons les quatre applications (cid:25), (cid:25) , (cid:25) et (cid:25) sur le diagramme
0 (cid:0)! (cid:14) 0 0 0
suivant :
M N
(cid:2)
(cid:25) (cid:25)0
. & .
(cid:25)
0
P (cid:0)! P0
(cid:25)(cid:0)
On y lit les ØgalitØs
(cid:25) =(cid:25) (cid:25) =(cid:25) (cid:25) (cid:25) = (cid:25) (cid:25) (cid:25)
(cid:14) 0 (cid:14) 0(cid:14) (cid:14) 0 (cid:14) .
(cid:25) =(cid:25) (cid:25) =(cid:25) (cid:25) (cid:25) = (cid:25) (cid:25) (cid:25)
(cid:26) 0 0(cid:14) 0(cid:14) (cid:14) 0 (cid:0) 0(cid:14) (cid:1) (cid:14) 0
Or,(cid:25) estuneapplicationbilinØairedeM N dansP,doncd(cid:146)ap(cid:0)rŁsles(cid:1)propriØtØsde(P;(cid:25)),ilexisteuneunique
(cid:2)
application linØaire (cid:25) : P P telle que (cid:25) = (cid:25) (cid:25). Puisque l(cid:146)identitØ convient et que (cid:25) = (cid:25) (cid:25) (cid:25), on en
(cid:0)! (cid:14) (cid:14) 0 (cid:14)
dØduit (cid:25) (cid:25) =Id ; on a de mŒme (cid:25) (cid:25) =Id . On en dØduit que (cid:25) est bijectif, d(cid:146)oø un isomorphisme de P
(cid:14) 0 P 0(cid:14) P0 (cid:0) (cid:1) 0
sur P. e e
L(cid:146)isomorphismeci-dessusestenfaituniquesi2 l(cid:146)onimposequ(cid:146)ilcommuteavec(cid:25)et(cid:25) .Ene⁄et,sif :P P
0 0
(cid:0)!
est un morphisme vØri(cid:133)ant (cid:25) =f(cid:25), alors f est l(cid:146)unique application (cid:25) dØ(cid:133)nie ci-dessus.
0 0
Remarque. Pour les lecteurs connaisseurs des catØgories, on prØsente en annexe une approche plus
gØnØrale du problŁme ci-dessus.
Sachant (cid:224) prØsent qu(cid:146)une solution (P;(cid:25)) (cid:224) notre problŁme est unique (cid:224) unique isomorphisme commutant
aux morphismes (cid:25) prŁs, construisons une telle solution.
1.1.2 Construction
SoitE leA-modulelibredebaseM N,i.e.l(cid:146)ensembledescombinaisonsformelles (cid:21) (m;n)(cid:224)support
m;n
(cid:2)
(cid:133)ni.
P
Soit F le sous-A-module de E engendrØ par les
(m+m;n) (m;n) (m;n)
0 0
(cid:0) (cid:0)
(m;n+n) (m;n) (m;n)
0 0
(cid:0) (cid:0)
(am;n) a(m;n)
(cid:0)
(m;an) a(m;n)
(cid:0)
et considØrons le A-module quotient E(cid:30)F. En notant (cid:24) la classe d(cid:146)un ØlØment (cid:24), on a alors
(am;n) = (am;n) a(m;n)+a(m;n)
(cid:0)
= (am;n) a(m;n)+a(m;n)
(cid:0)
= 0+a(m;n)
= a(m;n),
et
(m+m;n) = (m+m;n) (m;n) (m;n)+(m;n)+(m;n)
0 0 (cid:0) (cid:0) 0 0
= (m+m;n) (m;n) (m;n)+(m;n)+(m;n)
0 (cid:0) (cid:0) 0 0
= 0+(m;n)+(m;n)
0
= (m;n)+(m;n)
0
avec des propriØtØs similaires (cid:224) droite. La projection canonique
(cid:25) : M (cid:2)N (cid:16) E(cid:30)F
(m;n) (m;n)
(cid:26) 7(cid:0)!
2Sinon, c(cid:146)est faux! Sur un corps, notre module P devient un espace vectoriel, lequel admet autant d(cid:146)automorphismes que de
permutation des vecteurs d(cid:146)une base donnØe.
3
est donc une application bilinØaire
Soit ensuite ’:M N R bilinØaire. Elle dØtermine une application linØaire
(cid:2) (cid:0)!
E R
’: (cid:0)!
(cid:21) (m;n) (cid:21) ’(m;n)
(cid:26) (cid:133)nie m;n 7(cid:0)! m;n
vialesimagesdelabaseet,puiseque’PestbilinØaire,’s(cid:146)annulesPurF,i.e.F Ker’,donc’passeauquotient,
(cid:26)
d(cid:146)oø une application linØaire
’: E(cid:30)Fe (cid:0)! R . e e
(m;n) ’(m;n)
(cid:26) 7(cid:0)!
Par construction, on a bien ’ (cid:25)(m;n)=’ (m;n) =’((m;n))=’(m;n), d(cid:146)oø ’=’ (cid:25) comme voulu. De
(cid:14) e (cid:14)
plus, ’ est unique car on conna(cid:238)t les images(cid:16)des (cid:25)(m(cid:17);n) qui engendrent E(cid:30)F.
e
On notera
E(cid:30)F =M N ou M AN,
(cid:10)A (cid:10)
cequel(cid:146)onprononce« M tensoriel N » ou« M tenseur N ».LeAenindiceestjustel(cid:224)pourrappelerl(cid:146)anneau
de base3, mais on l(cid:146)omettra si le contexte est assez explicite. Le module M N est ainsi une solution (cid:224) notre
A
(cid:10)
problŁme universel, et on l(cid:146)appellera le produit tensoriel de M par N (au-dessus de A).
Noter que, en tant que A-module, le produit tensoriel M N =(cid:25)(E)=(cid:25)( M N )= (cid:25)(M N) est
A
(cid:10) h (cid:2) i h (cid:2) i
engendrØ par les (cid:25)(m;n)=(m;n). On notera dØsormais
(m;n)=:m n ou m n
A
(cid:10) (cid:10)
pour ces gØnØrateurs, que l(cid:146)on appellera Øgalement tenseurs purs.
ComplØments.
Iln(cid:146)estpasbiendi¢ ciled(cid:146)adapterlaconstructionci-dessuspourconstruireleproduittensorield(cid:146)unnombre
quelconque ((cid:133)ni) de modules. On dØ(cid:133)nira M M comme le quotient du module libre M M
1 n 1 n
(cid:10)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:10) h (cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) i
par un idØal choisi pour Œtre annulØ par toute application n-linØaire. La propriØtØ universelle subsiste, ce qui
permet de reprØsenter linØairement toutes les applications n-linØaires.
L(cid:146)associativitØ du produit tensoriel dØmontrØe plus bas assure que l(cid:146)on retombe sur nos pieds, au sens oø
l(cid:146)on pourra identi(cid:133)er a b c avec (a b) c ou bien a (b c). Le lecteur notera (cid:224) ce propos l(cid:146)analogie avec
(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10)
les propriØtØs du produit cartØsien.
Le lecteur est Øgalement invitØ (cid:224) vØri(cid:133)er que le produit tensoriel d(cid:146)un seul module est le module lui-mŒme.
Remarque pour les tØtratomistes. Montrons que le produit tensoriel vide vaut l(cid:146)anneau de base (et
non le module nul).
Il s(cid:146)agit de trouver une application (cid:25) partant d(cid:146)une produit direct (vide) de modules (i. e. le module nul),
qui soit 0-linØaire (donc sans condition aucune), vers l(cid:146)anneau A et qui satisfasse aux conditions de la propriØtØ
universelle.
’
0 M
f g (cid:0)!
(cid:25)
’
# %
A
On se donne donc une application 0-linØaire (i. e. sans condition) ’: 0 M vers un module M quelconque
f g(cid:0)!
que l(cid:146)on cherche (cid:224) factoriser par l(cid:146)application (cid:25). En prenant (cid:25) = 1, ’ est linØaire sur une droite, donc est
entiŁrement dØterminØe par l(cid:146)image de 1 = (cid:25)(0). Ceci montre existence et unicitØ du ’ cherchØ (cid:150)lequel sera
dØ(cid:133)ni par a a’(0).
7!
3on pourra parlerdu produit tensorielde M et N au-desssus de A
4
1.1.3 PropriØtØs basiques
M N M N
Puisque (cid:25) : (cid:2) (cid:0)! (cid:10) est bilinØaire, on a immØdiatement les propriØtØs suivantes :
(m;n) m n
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
(m+m) n=(m n)+(m n)
0 0
(cid:10) (cid:10) (cid:10)
m (n+n)=(m n)+(m n) .
0 0
8 (cid:10) (cid:10) (cid:10)
(am) n=m (an)=a(m n)
<
(cid:10) (cid:10) (cid:10)
On en dØduit 0 n=(0 m) n=0 (m n)=0, i. e.
M A : A
(cid:10) (cid:10) (cid:10)
0 n=m 0=0.
(cid:10) (cid:10)
Sil(cid:146)onreprendleproblŁmequel(cid:146)ons(cid:146)ØtaitposØendØbutdechapitre,ØtantdonnØeuneapplicationbilinØaire
M N R
’: (cid:2) (cid:0)! ,
(m;n) ’(m;n)
(cid:26) 7(cid:0)!
on a bien une unique application linØaire
M N R
’: (cid:10) (cid:0)! ,
m n ’(m;n)
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)!
i. e. telle que ’ (cid:25)(m;n)=’(m;n) pout tout (m;n) de M N.
(cid:14) (cid:2)
L(cid:146)unicitØ de ’ vient de sa linØaritØ et de ce que les m n engendrent M N, le point important est surtout
(cid:10) (cid:10)
son existence. En e⁄et, si l(cid:146)on voulait dØ(cid:133)nir ’ « (cid:224) la main », il faudrait vØri(cid:133)er que ’(m;n) ne dØpend pas du
reprØsentant m n choisi, et donc redire (cid:224) chaque fois que ’ passe au quotient par l(cid:146)idØal F, ce qui passe au
(cid:10)
mieux pour une t(cid:226)che rØbarbative.
C(cid:146)est ce que l(cid:146)on appelle la propriØtØ universelle du produit tensoriel. On dit aussi que ’ se factorise
en ’ (cid:25) :
(cid:14)
’
M N R
(cid:2) (cid:0)!
(cid:25) .
’
# %
M N
(cid:10)
On remarquera de plus que le produit tensoriel ne dØpend que de la structure des modules considØrØs, en
cela que :
M M
N ’N00 =) M (cid:10)N (cid:24)=M0(cid:10)N0.
(cid:26) ’
(cid:22):M M
En e⁄et, si (cid:0)! 0 sont des isomorphismes, l(cid:146)application
(cid:23) :N N
0
(cid:26) (cid:0)!
M N M N
0 0
(cid:2) (cid:0)! (cid:10)
(m;n) (cid:22)(m) (cid:23)(n)
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
est bilinØaire, donc la propriØtØ universelle nous donne une application linØaire
M N M N
(cid:8): (cid:10) (cid:0)! 0(cid:10) 0 .
m n (cid:22)(m) (cid:23)(n)
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
De mŒme, l(cid:146)application
M N M N
0 0
(cid:2) (cid:0)! (cid:10)
(m;n) (cid:22) 1(m) (cid:23) 1(n)
0 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
est bilinØaire, donc la propriØtØ universelle nous donne une application linØaire
M N M N
(cid:9): 0(cid:10) 0 (cid:0)! (cid:10) .
m n (cid:22) 1(m) (cid:23) 1(n)
0 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
5
Il est alors clair que (cid:8) et (cid:9) sont rØciproques l(cid:146)une de l(cid:146)autre, donc sont des isomorphismes.
D(cid:146)autre part, l(cid:146)application
(M N;R) Bil(M;N;R)
L (cid:10) (cid:0)!
(cid:8) (m;n) (cid:8)(m n)
(cid:26) 7(cid:0)! 7! (cid:10)
est bien dØ(cid:133)nie, linØaire, injective (la connaissance des images par (cid:8) des ØlØments de la base m n de M N
(cid:10) (cid:10)
dØtermineuniquement(cid:8)),etsurjective(tout’deBil(M;N;R)aunantØcØdent’),doncestunisomorphisme.
En(cid:133)n, l(cid:146)application
(M; (N;R)) Bil(M;N;R)
L L (cid:0)!
(cid:8) (m;n) [(cid:8)(m)](n)
(cid:26) 7(cid:0)! 7!
est bien dØ(cid:133)nie, linØaire, injective, surjective (tout ’ de Bil(M;N;R) a un antØcØdent m ’(m; )), donc est
7! (cid:1)
un isomorphisme.
On en conclut que4
(M N;R)=Bil(M;N;R)= (M; (N;R)).
L (cid:10) (cid:24) (cid:24)L L
Remarque. Les tenseurs purs m n engendrent le module M N, mais tous les ØlØments de M N
(cid:10) (cid:10) (cid:10)
ne sont pas des tenseurs purs : ce sont une somme de tenseurs purs.
D(cid:146)autre part, en gØnØral les tenseurs purs non nuls ne sont pas libres et donc ne forment pas une base.
PrendreparexempleM =N =A,auquelcastouslestenseurspurssontcolinØaires:cd(a b)=abcd(1 1)=
(cid:10) (cid:10)
ab(c d). On montre plus tard que A A A, donc si A est un anneau non nul, mettons A=Z, alors il y a
(cid:10) (cid:10) ’
au moins deux tenseurs purs non nuls colinØaires, ce qui empŒche la libertØ de ces derniers.
Exemple. On considŁre les Z-modules M := Z(cid:30)aZ oø a et b sont des entiers.
(cid:26) N := Z(cid:30)bZ
Puisquex(cid:10)y =xy(1M (cid:10)1N),leproduittensorielZ(cid:30)aZ (cid:10) Z(cid:30)bZ estmonogŁne.Ilestdeplus(cid:133)nicarimage
de l(cid:146)ensemble (cid:133)ni Z(cid:30)aZ (cid:2) Z(cid:30)bZ par la projection canonique. Il est par consØquent cyclique, donc isomorphe (cid:224)
un groupe additif Z(cid:30)kZ.
De plus, BØzout donne
(a b)(1 1 ) = (ua+vb)(1 1)
M N
^ (cid:10) (cid:10)
= ua(1 1)+vb(1 1)
(cid:10) (cid:10)
= u(a1 1)+v(1 b1 )
M N
(cid:10) (cid:10)
= u(0 1)+v(1 0)
(cid:10) (cid:10)
= 0+0=0,
donc k divise a b.
^
Dans le cas particulier oø a et b sont premiers entre eux, on en dØduit
Z(cid:30)aZ (cid:10) Z(cid:30)bZ ’f0g.
On peut montrer plus gØnØralement5 que
Z(cid:30)aZ (cid:10) Z(cid:30)bZ (cid:24)= Z(cid:30)(a^b)Z.
PropriØtØs (commutativitØ, associtativitØ, et ØlØment neutre6 pour le produit tensoriel).
Soient M;N;R des A-modules.
4Bien sßr,on montrerait de mŒme que
L(M1(cid:10):::(cid:10)Mn;R)(cid:24)=Ln(M1;:::;Mn;R).
5Ce sera immØdiat lorsqu(cid:146)on saura calculerdes produits tensoriels de quotients.
6On comprend icid(cid:146)une autre maniŁre pourquoile produit tensorielvide doit valoirl(cid:146)anneau de base.
6
1. Les A-modules M N et N M sont canoniquement identi(cid:133)ables7 via l(cid:146)isomorphisme
(cid:10) (cid:10)
M N N M
(cid:10) (cid:0)! (cid:10) .
m n n m
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
g
2. Les A-modules (M N) R et M (N R) sont canoniquement identi(cid:133)Øs via l(cid:146)isomorphisme
(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10)
(M N) R M (N R)
(cid:10) (cid:10) (cid:0)! (cid:10) (cid:10) .
(m n) p m (n p)
(cid:26) (cid:10) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10) (cid:10)
g
3. Les A-modules M, M A et A M sont canoniquement identi(cid:133)Øs via les isomorphismes
(cid:10) (cid:10)
M M A M A M
(cid:0)! (cid:10) et (cid:0)! (cid:10) .
m m 1 m 1 m
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10) (cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
g g
DØmonstration.
1. On considŁre l(cid:146)application bilinØaire
M N N M
’: (cid:2) (cid:0)! (cid:10) .
(m;n) n m
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
Par la propriØtØ universelle, il existe une application linØaire
M N N M
’: (cid:10) (cid:0)! (cid:10) .
m n ’(m;n)=n m
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
Un tel ’ est bijectif car involutif et est unique car les images des m n dØterminent entiŁrement une
(cid:10)
application linØaire sur M N.
(cid:10)
2. (cid:192) r (cid:133)xØ on considŁre l(cid:146)application bilinØaire
M N M (N R)
’ : (cid:2) (cid:0)! (cid:10) (cid:10) .
r (m;n) m (n r)
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10) (cid:10)
Par la propriØtØ universelle, il existe une application linØaire
M N M (N R)
’ : (cid:10) (cid:0)! (cid:10) (cid:10) .
r m n m (n r)
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10) (cid:10)
On remarque alors que r ’ est linØaire, donc l(cid:146)application
7! r
(M N) R M (N R)
(cid:8): (cid:10) (cid:10) (cid:0)! (cid:10) (cid:10)
(cid:24) r ’ ((cid:24))
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! r
estØgalementlinØaire,avec(cid:8)((m n) r)=m (n r).Defa(cid:231)onanalogue,ense(cid:133)xantm,l(cid:146)application
(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10)
bilinØaire
N R (M N) R
: (cid:2) (cid:0)! (cid:10) (cid:10)
m (n;r) (m n) r
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10) (cid:10)
se factorise en
N R (M N) R
: (cid:10) (cid:0)! (cid:10) (cid:10) ,
m n r (m n) r
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10) (cid:10)
puis m est linØaire, donc
7! m
M (N R) (M N) R
(cid:9): (cid:10) (cid:10) (cid:0)! (cid:10) (cid:10)
m (cid:24) ((cid:24))
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! m
est Øgalement linØaire, avec (cid:9)(m (n r)) = (m n) r. On voit alors facilement que (cid:9) et (cid:8) sont
(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10)
rØciproques l(cid:146)une de l(cid:146)autre, donc sont des isomorphismes. Concernant l(cid:146)unicitØ, il su¢ t de dire que les
images des tenseurs purs dØterminent entiŁrement une application linØaire.
7mais l(cid:146)on s(cid:146)abstiendra de faire cette identi(cid:133)cation sans raison
7
A M M
3. On considŁre d(cid:146)une part l(cid:146)application (cid:2) (cid:0)! bilinØaire qui se factorise en
(a;m) am
(cid:26) 7(cid:0)!
A M M
(cid:10) (cid:0)! ,
a m am
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)!
d(cid:146)autre part l(cid:146)application linØaire
M A M
(cid:0)! (cid:10) ,
m 1 m
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
lesquelles sont clairement linØaires et rØciproques l(cid:146)une de l(cid:146)autre. Pour montrer l(cid:146)unicitØ, quitte (cid:224) se
rØpØter,onn(cid:146)oubliepasquelesimagesdestenseurspursdØterminententiŁrementuneapplicationlinØaire...
Unefa(cid:231)ondevoirleproduittensorielM N estdel(cid:146)identi(cid:133)er(cid:224)N entantqueM-module:dansleA-module
(cid:10)
N, on remplace les scalaires de A par des ØlØments de M. Puisque le produit tensoriel est commutatif, on peut
aussi voir M N N M comme le A-module M oø l(cid:146)on a remplacØ les scalaires par des ØlØments de N.
(cid:10) ’ (cid:10)
Par exemple, si E est un R-espace vectoriel, on peut le voir comme un C-espace vectoriel en considØrant le
produit8 C E. Ce point sera plus largement ØtudiØ au paragraphe Restriction et extension des scalaires.
(cid:10)
DØ(cid:133)nition.
f :M M
Soient M;N;M0;N0 des modules, et g :N (cid:0)!N 0 des applications linØaires.
0
(cid:26) (cid:0)!
On appelle produit tensoriel de f et g l(cid:146)unique application linØaire
M N M N
f g : (cid:10) (cid:0)! 0(cid:10) 0 .
(cid:10) m n f(m) g(n)
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
e
DØmonstration de l(cid:146)existence et de l(cid:146)unicitØ de f g.
(cid:10)
M N M N
L(cid:146)application (cid:2) (cid:0)! 0(cid:10) 0 se factorise en
(m;n) f(m) g(n) e
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
M N M N
(cid:10) (cid:0)! 0(cid:10) 0 ,
m n f(m) g(n)
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
d(cid:146)oø l(cid:146)existence de f g. L(cid:146)unicitØ vient (comme toujours) de ce que les m n engendrent M N.
(cid:10) (cid:10) (cid:10)
e
La notation f g n(cid:146)est pas anodine. En e⁄et, l(cid:146)application
(cid:10)
(M;M ) M M
e L 0 0
;
8 (cid:2) (cid:0)! L0 (cid:10) (cid:10) 1
(N;N ) N N
>>>>< L 0 @ 0 A
(f;g) f g
estbilinØaire(ilsu¢ td(cid:146)utiliserles>>>>:propriØtØsdebilin7(cid:0)Ø!aritØdem (cid:10)nsurM N enØvaluantf g enunm n),
e
(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:10)
donc se factorise en un morphisme
(M;M ) M M
0 0
L
;
8 (cid:10) (cid:0)! L0 (cid:10) (cid:10) 1
(N;N ) N N ,
>>>>< L 0 @ 0 A
f g f g
appelØ morphisme de Kronecker. O>>>>:n noter(cid:10)a alors pa7(cid:0)r!commoditØ(cid:10)ef g au lieu de f g; on prendra garde (cid:224) ne
(cid:10) (cid:10)
pas confondre les deux notions, mais le contexte nous guidera dans la plupart des cas.
e
8CØtant bien sßrvu comme R-espace vectoriel
8
Remarque. Le morphisme de Kronecker n(cid:146)est ni injectif, ni surjectif dans le cas gØnØral9. Cependant,
on a l(cid:146)injectivitØ si les modules considØrØs sont libres sur un anneau n(cid:156)thØrien10, ce qui est le cas des espaces
vectoriels.
PropriØtØs.
f Id f Id f
M M
0
= = ,
0 (cid:10) 1(cid:14)0 (cid:10) 1 0 (cid:10) 1 0 (cid:10) 1(cid:14)0 (cid:10) 1
Id g g g Id
N 0 N
0
@ A @f f A @ f A @f A @ A
0 0
(cid:14)
= .
0 (cid:10) 1 0 (cid:10) 1(cid:14)0 (cid:10) 1
g g g g
0 0
(cid:14)
@ A @ A @ A
DØmonstration.
On vØri(cid:133)e les ØgalitØs sur les tenseurs purs.
Remarque. Nous avons utilisØ les deux dimensions de la feuille pour distinguer deux opØrations : le
produit tensoriel (vertical) et la composition (horizontale). Le lecteur notera l(cid:146)avantage commun avec l(cid:146)Øcriture
des lois d(cid:146)un produit cartØsien sous la forme
a+a a a
0 = + 0 .
b+b b b
0 0
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1.2 Produit direct et somme directe de modules
1.2.1 DistributivitØ du produit tensoriel sur les sommes directes
M := M
Soient (M ) et (N ) deux familles de A-modules. On pose i I i . On peut former le
i i I j j J N := 2 N
produit cartØsien2 (M 2N ). On dispose via la propriØtØ universell(cid:26)e d(cid:146)une aQppj2liJcatijon A-linØaire
i;j i(cid:10) j Q
Q
M N M N
(cid:5): (cid:10) (cid:0)! i;j i(cid:10) j .
(x ) (y ) (x y )
i j i j
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! Q (cid:10)
Remarque. (cid:5) n(cid:146)est en gØnØral ni injectif, ni surjectif. La non-surjectivitØ est montrØe via un argument
de dualitØ et la non-injectivitØ (cid:224) l(cid:146)aide de calculs de produits tensoriels de quotients. Pour les dØtails, voir
l(cid:146)annexe.
(cid:5) n(cid:146)est donc sßrement pas bijectif, ce qui s(cid:146)Øcrit aussi
Mi Nj (cid:29) (Mi Nj).
(cid:10) (cid:10)
(cid:16)Y (cid:17) (cid:16)Y (cid:17) Y
Par consØquent, le produit tensoriel ne se distribue pas sur le produit cartØsien.
Enrevanche,sil(cid:146)onneregardedanslesproduitscartØsiensquelesfamilles(cid:224)support(cid:133)ni,i.e.sil(cid:146)onremplace
les par des , on va obtenir un isomorphisme
Q L
M N = (M N ).
i (cid:10) j (cid:24) i(cid:10) j
(cid:16)M (cid:17) (cid:16)M (cid:17) M
C(cid:146)est l(cid:146)objet de la proposition suivante.
Proposition (distributivitØ de sur ).
(cid:10) (cid:8)
9voirl(cid:146)annexe pourdes contre-exemples
10cf.AlgŁbre et thØories galoisiennes de R.& A.Douady,pages 174-175
9
Il y a un isomorphisme canonique de A-modules
M N (M N )
i I i (cid:10) j J j (cid:0)! i;j i(cid:10) j
2 2
(cid:0)L ( xi(cid:1))(cid:10)(cid:16)(Lyj) (cid:17) 7(cid:0)! L i;j(xi(cid:10)yj)
g
P P P
DØmonstration.
M := M
Notons 0 i I i les sous-modules de M et N des familles (cid:224) support (cid:133)ni.
N := 2 N
On disp(cid:26)ose d0(cid:146)uneLinjj2ecJtiojn canonique (linØaire)
L
M N , M N
0(cid:10) 0 ! (cid:10) ,
(x ) (y ) (x ) (y )
i j i j
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
qui, composØe avec
M N M N
(cid:5): (cid:10) (cid:0)! i;j i(cid:10) j ,
(x ) (y ) (x y )
i j i j
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! Q (cid:10)
donne une application linØaire
M N (M N )
(cid:8): 0(cid:10) 0 (cid:0)! i;j i(cid:10) j
(x ) (y ) (x y )
(cid:26) i i(cid:10) j j 7(cid:0)! L i(cid:10) j i;j
biendØ(cid:133)niepuisquel(cid:146)imaged(cid:146)unØlØment(x ) (y )deM N par(cid:8)estunefamille(cid:224)support(cid:133)nidansI J.
i j 0 0
(cid:10) (cid:10) (cid:2)
On construit une rØciproque (cid:224) (cid:8) sur chacune des composantes de (M N ). (cid:192) (i;j) (cid:133)xØ, on a (par la
i;j i(cid:10) j
propriØtØ universelle) une application linØaire
L
M N M N
: i(cid:10) j (cid:0)! 0(cid:10) 0 .
i;j x y x y
(cid:26) (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
En recollant les , on obtient une application linØaire
i;j
(M N ) M N
(cid:9): i;j i(cid:10) j (cid:0)! 0(cid:10) 0 .
(x y ) (x y )
(cid:26) L i;j i(cid:10) j 7(cid:0)! i;j i;j i(cid:10) j
Le terme (x y ) ci-dessusPse simpli(cid:133)e en utilisantPla bilinØaritØ de dans M N :
i;j i;j i(cid:10) j (cid:10) 0(cid:10) 0
P
(x y )= x y = x y = x y = x y .
i;j i(cid:10) j i(cid:10) j i(cid:10) j i!(cid:10) j i!(cid:10) j!
i;j i;j j i j i i i
X X XX X X X X
M N (M N )
En se rappelant (cid:8): 0(cid:10) 0 (cid:0)! i;j i(cid:10) j , on voit clairement que (cid:9) est la rØciproque de
( x ) ( y ) (x y )
(cid:26) i (cid:10) j 7(cid:0)! L i;j i(cid:10) j
(cid:8), ce qui conclut.
P P P
Remarque. Une rØcurrence immØdiate couplØe (cid:224) l(cid:146)associativitØ du produit tensoriel permet de gØnØra-
liser la distributivitØ (cid:224) un nombre quelconque ((cid:133)ni) de sommes directes. On pourra donc calculer comme dans
les anneaux, en regroupant les termes comme souhaitØ.
1.2.2 Produit tensoriel de modules libres
Corollaire.
Soient M et N deux A-modules.
1. Si N est libre de base (f ) , alors tout ØlØment de M N s(cid:146)Øcrit de fa(cid:231)on unique
j j J (cid:10)
2
(cid:133)nie
m f .
j j
(cid:10)
j J
X2
M N se comporte ainsi comme un M-espace vectoriel.
(cid:10)
10