Algèbre Linéaire (S2 Mathématiques-Informatique)

48 Pages·2013·0.409 MB·French

by  Rachel Taillefer

Algèbre Linéaire
S2 Mathématiques-Informatique
R.Taillefer
4novembre2013

Table des matières
Corps 1
I Matrices 2
A Définitionsetrèglesdecalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1 Opérationssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
B Opérationsélémentairessurleslignesd’unematrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C Matriceséchelonnées,méthodedeGaussetapplications. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C.1 Application:systèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
C.2 Application:calculdel’inversed’unematricecarrée . . . . . . . . . . . . . . . 14
II Espacesvectoriels 16
A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B Sous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C Indépendancelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D Basesetdimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
D.1 Rangd’unematrice;calculdurangd’unefamilledevecteurs . . . . . . . . . . 26
D.2 Sous-espacesvectorielsd’unespacevectorieldedimensionfinie . . . . . . . . 27
III Applicationslinéaires 29
A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
B Applicationslinéairesetsous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C Matriced’uneapplicationlinéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C.1 Changementdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
C.2 Rangd’uneapplicationlinéaireetrangd’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . 36
IV Déterminantd’unematrice 38
V Application:équationsdifférentielleslinéaireshomogènesàcoefficientsconstants 41

Corps
Danscecours,Kestuncorps;engénéralils’agiradeR,CouQ,maisnousallonsenredonnerla
définitiongénéralepourquevousayiezprécisémentlesaxiomes.
Définition. Un corps est un ensemble non vide K, muni de deux applications, dites lois : la somme ou
addition+ : K×K → Ketlamultiplication· : K×K → K,quivérifient:
(1) pourtous a,b,cdansK,ona(a+b)+c = a+(b+c)(associativité),
(2) ilexisteunélément0 ∈ Ktelquepourtout a ∈ Konait0+a = a = a+0;cetélément0estuniqueet
ilestappeléélémentneutreounul(pourl’addition)deK,
(3) pourtout a ∈ K,ilexisteunélément a(cid:48) ∈ Ktelque a+a(cid:48) = 0 = a(cid:48)+a;pourchaque a,l’élément a(cid:48) est
unique,ilestappeléopposéde aetilestnoté−a.
(4) pourtous a,bdansK,ona a+b = b+a.Onditquel’additionestcommutative.
(5) pourtous a,b,cdansKona a·(b·c) = (a·b)a·c(associativité),
(6) ilexisteunélément1 ∈ Ktelquepourtout a ∈ Konait1·a = a = a·1;cetélément1estuniqueetil
estappeléélémentunitédeK,
(7) pourtous a,b,cdansKona(a+b)·c = a·c+b·cet a·(b+c) = a·b+a·c(distributivité),
(8) pourtous a,bdansK,ona a·b = b·a.
(9) pourtout a ∈ Kavec a (cid:54)= 0,ilexiste a(cid:48)(cid:48) ∈ Ktelque a·a(cid:48)(cid:48) = 1 = a(cid:48)(cid:48)·a;pourchaque a,l’élément a(cid:48)(cid:48) est
unique,ilestappeléinversede aetilestnoté a−1 ou 1,
a
Exemple. Les exemples avec lesquels nous travaillerons sont R, C et Q. Mais nous pouvons citer
d’autres exemples de corps : si p est un nombre premier, alors Z/pZ est un corps; l’ensemble de
toutes les fractions rationnelles (quotients de fonctions polynômes) à coefficients réels R(X) est un
corps.
1
I Matrices
A Définitions et règles de calcul
DéfinitionA.1. Soientn,pdansN∗.Unematricen×pàcoefficientsdansKestuntableauànligneset
pcolonnesd’élémentsdeK,quel’onnote
 
a a ··· a
11 12 1p
 ... ... ... ... 
a a ··· a
n1 n2 np
ou (aij) en abrégé (ou encore (aij)1(cid:54)i(cid:54)n,1(cid:54)j(cid:54)p). Les aij ∈ K sont les coefficients de la matrice : le premier
indice est celui de la ligne et le deuxième est celui de la colonne. On dit que a est le coefficient (i,j) de la
ij
matrice.
Danslecasoùn = p,onditquelamatriceestcarrée.
Si A = (aij)1(cid:54)i(cid:54)n,1(cid:54)j(cid:54)p est une matrice n× p et si B = (bij)1(cid:54)i(cid:54)r,1(cid:54)j(cid:54)s est une matrice r×s, alors
A = Bsietseulementsin = r, p = set a = b pourtousiet j.
ij ij
(cid:18) (cid:19)
1 0 −2
Exemple. A = .Danslesnotationsci-dessus, a = 1 = a = a , a = 0, a = −2et
2 1 1 11 22 23 12 13
a = 2.
21
(cid:18) (cid:19)
3 5
Lamatrice2×2 B = (b )définieparb = i+2jpourtousiet jestlamatrice .
ij ij 4 6
NotationA.2. L’ensembledesmatricesn×pàcoefficientsdansKestnotéM (K)ouplussimple-
n,p
mentM (K)sin = p.
n
DéfinitionA.3. Soit A ∈ M (K) unematricecarrée.Lescoefficientsdiagonauxde A sontlescoefficients
n
(cid:54) (cid:54)
a pour1 i n.
ii
Unematricecarrée A ∈ M (K)estdite
n
(cid:226) diagonalesiseulslescoefficientsdiagonauxde A sontéventuellementnonnuls,c’est-à-dire a = 0
ij
 
a 0 0
11
dèsquei (cid:54)= j.Lamatrice Aestdelaforme 0 ... 0 .
0 0 a
nn
(cid:226) triangulaire supérieure si les coefficients en-dessous de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire a = 0
ij
 
a ··· a
11 1n
dèsquei > j.Lamatrice Aestdelaforme 0 ... ... .
0 0 a
nn
(cid:226) triangulaireinférieuresilescoefficientsau-dessusdeladiagonalesontnuls,c’est-à-dire a = 0dès
ij
 
a 0 0
11
quei < j.Lamatrice Aestdelaforme ... ... 0 .
a ··· a
n1 nn
Exemple. LesmatricesdeM (R)quisont
2
(cid:18) (cid:19)
a 0
(cid:226)
diagonalessontles ,
0 b
(cid:18) (cid:19)
a b
(cid:226)
triangulairessupérieuressontles ,
0 c
2
(cid:18) (cid:19)
a 0
(cid:226)
triangulairesinférieuressontles
b c
avec a,b,cdansR.
DéfinitionA.4. LesmatricesdeM (K)sontappeléesmatricesligne.Ellesontuneseuleligne.
1,n
LesmatricesdeM (K)sontappeléesmatricescolonne.Ellesontuneseulecolonne.
n,1
Notation A.5. La matrice identité de M (K), notée I , est la matrice dont tous les coefficients sont
n n
nulsàl’exceptiondeceuxplacéssurladiagonale,quivalent1.
 
(cid:18) (cid:19) 1 0 0
1 0
Parexemple I2 = 0 1 , I3 =  0 1 0 ,etc.
0 0 1
LamatricenulledeM (K),notée0,estlamatricedonttouslescoefficientssontnuls.
n,p
A.1 Opérationssurlesmatrices
DéfinitionA.6.
(cid:226) Additionousommedematrices.
Soient A = (a ) et B = (b ) dans M (K). La somme des matrices A et B, notée A+ B ∈
ij ij n,p
M (K),estlamatricedontlecoefficient(i,j)esta +b .[Attention:pourpouvoiradditionnerdeux
n,p ij ij
matricesilfautqu’ellesaientmêmetaille!]
(cid:226) Multiplicationd’unematriceparunélémentdeK.
Soientλ ∈ Ket A = (a ) ∈ M (K).LamatriceλAestlamatricedontlecoefficient(i,j)estλa .
ij n,p ij
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0 −2 −1 3 5 0 3 3
Exemple. Soient A = et B = . Alors A+ B = , 2A =
2 1 1 2 7 −4 4 8 −3
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
2 0 −4 1 −3 −5
et−B = .
4 2 2 −2 −7 4
Propriétés A.7. Soient A,B,C trois matrices dans M (K) et soient λ et µ deux éléments de K.
n,p
Alors:
(i) (A+ B)+C = A+(B+C) et on note cette matrice A+ B+C. On dit que la somme est
associative.
(ii) A+B = B+A.Onditquelasommeestcommutative.
(iii) λ(A+B) = λA+λB. On dit que la multiplication par les éléments de K est distributive par
rapportàlasommedematrices.
(iv) (λ+µ)A = λA+µA.
(v) (λµ)A = λ(µA)etonnotecettematriceλµA.
Démonstration. Nousallonsdémontrer(i),lesautressontsimilairesetsontlaisséesenexercice.
Posons donc A = (a ), B = (b ) et C = (c ) avec 1 (cid:54) i (cid:54) n et 1 (cid:54) j (cid:54) p. Alors le coefficient
ij ij ij
(i,j) de A+B est a +b donc le coefficient (i,j) de (A+B)+C est (a +b )+c . Le coefficient
ij ij ij ij ij
(i,j) de B+C est b +c donc le coefficient (i,j) de A+(B+C) est a +(b +c ). Mais l’addition
ij ij ij ij ij
dans K est associative, donc (a +b )+c = a +(b +c ). C’est vrai pour tous les (i,j), donc
ij ij ij ij ij ij
(A+B)+C = A+(B+C).
Nousallonsmaintenantdéfinirleproduitdedeuxmatrices.Nouscommenceronsparleproduit
d’unematriceligneparunematricecolonne(danscetordre!).
3
 
b
1
Définition A.8. Soit A = (a1···ap) ∈ M1,p(K) une matrice ligne et soit B =  ...  ∈ Mp,1(K) une
b
p
matricecolonne.LeproduitdeAparB,notéAB,estlamatrice1×1dontlecoefficientesta b +···+a b =
1 1 p p
∑p a b .[Attention.C’estlemême pdanslesdeuxmatrices.]
j=1 j j
 
1
(cid:0) (cid:1)
Exemple. 2 −1 0 −3 = (2×1+(−1)×(−3)+0×7) = (5).
7
Onfaitunepremièregénéralisation,quiinterviendraaussidanslasuite.
 
b
1
DéfinitionA.9. Soit A = (aij) ∈ Mn,p(K)etsoitB =  ...  ∈ Mp,1(K)unematricecolonne.Leproduit
b
p
de A par B,noté AB,estlamatricecolonne n×1dontla ième ligneestleproduitdela ième lignede A par B,
commedéfiniprécédemment.[Attention.Iciaussi,c’estlemême pdanslesdeuxmatrices.]
Remarque. Lecoefficientdelaième lignede ABestdonc a b +a b +···+a b = ∑p a b .
i1 1 i2 2 ip p j=1 ij j
 
(cid:18) (cid:19) 6
2 3 −1
Exemple. (cid:226) Soit A = etsoit B = 9.
1 −4 5
7
(cid:18) (cid:19)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 32
Alors 2 3 −1 B = (32)et 1 −4 5 B = (5)donc AB = .
5
   
a b (cid:18) (cid:19) ax+by
x
(cid:226) c d = cx+dy.
y
e f ex+ fy
Venons-enàladéfinitiongénéraleduproduitdematrices.
Définition A.10. Soient A ∈ M (K) et B ∈ M (K). Le produit des matrices A et B, noté AB ∈
n,p p,q
M (K),estlamatricen×qdontla jème colonneestleproduitde Aparla jème colonnede B.
n,q
Attention.Ceproduitn’estdéfiniquesilenombre pdecolonnesde Aestégalaunombre pdelignesde B.
Remarque A.11. Si on note A = (aij)1(cid:54)i(cid:54)n,1(cid:54)j(cid:54)p et B = (bjk)1(cid:54)j(cid:54)p,1(cid:54)k(cid:54)q, alors le coefficient (i,k),
1 (cid:54) i (cid:54) n,1 (cid:54) k (cid:54) q,est∑p a b .
l=1 il lk
   
(cid:18) (cid:19) 6 −5 6 (cid:18) (cid:19)
2 3 −1 32
Exemple. Soit A = et soit B = 9 8 . On a déjà A9 = . On calcule
1 −4 5 5
7 −3 7
 
−5 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
17 32 17
A 8  = .Onadonc AB = .
−52 5 −52
−3
Remarque. Si A,B ∈ M (K)sontdesmatricesdiagonales,alorslecalculduproduitestfacile:
n
    
a 0 0 b 0 0 a b 0 0
1 1 1 1
0 ... 00 ... 0 =  0 ... 0 
0 0 a 0 0 b 0 0 a b
n n n n
4
LemmeA.12. Soit A ∈ M (K).Pour1 (cid:54) k (cid:54) p,onnote E ∈ M (K) lamatricecolonnedont
n,p k p,1
le kème coefficient est 1 et les autres sont nuls. Pour 1 (cid:54) (cid:96) (cid:54) n, on note F ∈ M (K) la matrice
(cid:96) 1,n
lignedontle(cid:96)ème coefficientest1etlesautressontnuls.
Alors AE estlakème colonnede Aet F Aestla(cid:96)ème lignede A.
k (cid:96)
(cid:0) (cid:1)
Démonstration. Posons A = (a ) et F = f ··· f . On a donc f = 1 et f = 0 pour r (cid:54)= (cid:96).
ij (cid:96) 1 n (cid:96) r
Par définition du produit de matrices, F A ∈ M (K) est une matrice ligne à p colonnes, dont le
(cid:96) 1,p
coefficientdela jème colonneest ∑n f a = f a = a .C’estbienle jème coefficientdela (cid:96)ème ligne
i=1 i ij (cid:96) (cid:96)j (cid:96)j
de A.
 
e
1
PosonsEk =  ... .Onadoncek = 1eter = 0pourr (cid:54)= k.Pardéfinitionduproduitdematrices,
e
p
AE estunematricecolonneà n lignes,dontlecoefficientdelaième ligneest ∑p a e = a e = a .
k j=1 ij j ik k ik
C’estbienleième coefficientdelakème colonnede A.
PropriétésA.13. Soient A,A(cid:48) ∈ M (K), B,B(cid:48) ∈ M (K),C ∈ M (K)etsoitλ ∈ K.Alors
n,p p,q q,r
(i) (A+A(cid:48))B = AB+A(cid:48)Bet A(B+B(cid:48)) = AB+AB(cid:48).Onditqueleproduitdematricesestdistri-
butifparrapportàlasommedematrices.
(ii) λ(AB) = (λA)B = A(λB)etonnotecettematriceλAB.
(iii) I A = Aet AI = A.
n p
(iv) (AB)C = A(BC)etonnotecettematrice ABC.Onditqueleproduitdematricesestassociatif.
Démonstration. Lespremièrespropriétésrésultentdespropriétéscorrespondantespourleséléments
deK.Démontrons(ii)et(iv).
 
F
1
(iii) Avec les notations du lemme A.12), on peut écrire In =  ...  (ligne par ligne). La ième ligne
F
n
de I A est alors le produit de la ième ligne de I par A, c’est-à-dire FA. Mais d’après le lemme
n n i
A.12),c’estlaième lignede A.Onendéduitque I A = A.
n
(cid:0) (cid:1)
Pour l’autre égalité, on procède de manière similaire, en notant I = E ··· E (colonne
p 1 p
parcolonne).
(iv) NotonsC la jème colonnedelamatriceC,avec1 (cid:54) j (cid:54) r.
j
Par définition du produit de matrices, la jème colonne de (AB)C est (AB)C . Toujours par dé-
j
finition du produit de matrices, la jème colonne de A(BC) est AD où D est la jème colonne de
j j
BC. Or celle-ci est D = BC . Donc la jème colonne de A(BC) est A(BC ). Pour démontrer que
j j j
(AB)C = A(BC), il suffit donc de démontrer que (AB)C = A(BC ) pour tout j. Il suffit donc
j j
de démontrer la propriété lorsque C est une matrice colonne q×1. On suppose donc dans la
suitequeCestunematricecolonne(ie.r = 1).
 
c
1
Notons C =  ... . Alors C = c1E1 +···+cqEq (notations du lemme A.12). On veut donc
c
q
comparer
(AB)C = (AB)(c E +···+c E ) = c (AB)E +···+c (AB)E
1 1 q q 1 1 q q
et
A(BC) = A(B(c E +···+c E )) = A(c BE +···+c BE ) = c A(BE )+···+c A(BE ).
1 1 q q 1 1 q q 1 1 q q
Soit1 (cid:54) j (cid:54) q.Alors(AB)E estla jème colonnede ABd’aprèslelemmeA.12.Demême,BE est
j j
la jème colonne de B donc par définition du produit de matrices, A(BE ) est la jème colonne de
j
AB.Donc(AB)E = A(BE ).Onendéduitlerésultat.
j j
5
Remarque. Attention.Leproduitdematricesn’estpascommutatif.
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 2 1 −1 1 3 1 −1 1 2 −2 −2
Exemple. = et = .
3 4 0 2 3 5 0 2 3 4 6 8
NotationA.14. Soit Aunematricecarréen×n.Onpose A0 = I , A1 = A, A2 = AApuis,pourtout
n
entierk ∈ N∗,onpose Ak = AAk−1.
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 2 7 2 13 14
Exemple. Soit A = .Alors A0 = I , A1 = A, A2 = , A3 = AA2 = A2A =
3 0 2 3 6 21 6
(c’estl’associativitéduproduitquipermetdecalculer A3parl’unequelconquedecesformules.Pour
calculer A4 on peut calculer l’une quelconque des expressions suivantes : AA3 = A3A = AA2A =
(cid:18) (cid:19)
55 26
(A2)2 etonobtient A4 = ).
39 42
(cid:18) (cid:19)
0 18
Autreexemple, B = .Ona B2 = 0etdonc Bk = Bk−2B2 = 0pourtoutk (cid:62) 2.
0 0
Définition-Proposition A.15. On dit qu’une matrice carrée A ∈ M (K) est inversible s’il existe
n
B ∈ M (K) telle que AB = I et BA = I . Une telle matrice B est alors unique, on dit que c’est
n n n
l’inversede Aetonlanote A−1.
OnnoteGL (K)l’ensembledesmatricesinversiblesdeM (K).Ona:
n n
(i) I ∈ GL (K).
n n
(ii) Pourtoutes A,B ∈ GL (K),ona AB ∈ GL (K)et(AB)−1 = B−1A−1.Plusgénéralement,un
n n
produit A ···A dematricesinversiblesestinversibleet(A ···A )−1 = A−1···A−1.
1 k 1 k k 1
(iii) Pourtoute A ∈ GL (K)ona A−1 ∈ GL (K),avec(A−1)−1 = A.
n n
Nousverronsuneméthodepratiquepourdéterminerl’inversed’unematriceinversibleplusloin.
Démonstration. Supposons qu’il existe deux matrices B et C telle que AB = I = BA et AC = I =
n n
CA.Alors
BAC = B(AC) = BI = B
n
et BAC = (BA)C = I C = C
n
donc B = C.Lamatrice B,sielleexiste,estdoncbienunique.
(i) I I = I donc I estinversibled’inverse I .
n n n n n
(ii) Supposons A et B inversibles. On a (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AI A−1 = AA−1 = I
n n
en utilisant l’associativité du produit, et de même (B−1A−1)(AB) = I donc AB est inversible
n
d’inverse B−1A−1.
(iii) Pardéfinitionde A−1,ona AA−1 = I = A−1A.Cesidentitésnousdonnentaussique A−1 est
n
inversibled’inverse A.
Définition A.16. Soit A = (a ) ∈ M (R). La matrice transposée de A est la matrice tA ∈ M (R)
ij n,p p,n
dontlecoefficient(j,i),1 (cid:54) j (cid:54) p,1 (cid:54) i (cid:54) n,est a .[Onéchangelignesetcolonnes.]
ij
Exemple.
t   
t(cid:18)a b(cid:19) (cid:18)a c(cid:19) a11 a12 a13 a11 a21 a31
c d = b d , a21 a22 a23 = a12 a22 a32
a a a a a a
31 32 33 13 23 33
 
a  
t(cid:18) (cid:19) a e
b t(cid:0) (cid:1) a b c
  = a b c d , = b f
c e f g
c g
d
6