Algèbre linéaire II (MAT 3541)

239 Pages·2011·1.07 MB·French

AlgŁbre linØaire II (MAT 3541)
Notes de cours rØalisØes par Damien Roy
avec l’assistance de Pierre Bel
et l’appui (cid:28)nancier du fonds de l’UniversitØ d’Ottawa
pour le dØveloppement de matØriel pØdagogique en fran(cid:231)ais
Automne 2009
DØpartement de mathØmatiques et de statistique
UniversitØ d’Ottawa
Table des matiŁres
PrØface v
1 Retour sur les espaces vectoriels 1
1.1 La notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Retour sur les applications linØaires 13
2.1 La notion d’application linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
L (V,W)
2.2 L’espace vectoriel K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Matrices des applications linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Changements de coordonnØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Endomorphismes et sous-espaces invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Retour sur la diagonalisation 33
3.1 DØterminants et matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Diagonalisation des opØrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Polyn(cid:244)mes, opØrateurs linØaires et matrices 47
4.1 L’anneau des opØrateurs linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 L’anneau des polyn(cid:244)mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 (cid:201)valuation en un opØrateur linØaire ou en une matrice . . . . . . . . . . . . . 54
5 Factorisation unique dans les anneaux euclidiens 59
5.1 DivisibilitØ dans les anneaux intŁgres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 DivisibilitØ en termes d’idØaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Division euclidienne pour les polyn(cid:244)mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Le thØorŁme de factorisation unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 Le thØorŁme fondamental de l’algŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
i
ii TABLE DES MATI¨RES
6 Modules 75
6.1 La notion de module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Sous-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Modules libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Homomorphismes de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Le thØorŁme de structure 91
7.1 Annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Modules sur un anneau euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 DØcomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Forme canonique de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8 Le thØorŁme des diviseurs ØlØmentaires 119
8.1 Preuve du thØorŁme de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2 Le thØorŁme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
An
8.3 Les sous-modules de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4 Le module-colonne d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5 Forme normale de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.6 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9 DualitØ et produit tensoriel 155
9.1 DualitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2 Applications bilinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.4 Produit de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.5 Produits tensoriels multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10 Espaces euclidiens 179
10.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2 OpØrateurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.3 OpØrateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 ThØorŁmes spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5 DØcomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Appendices 205
A Rappels : groupes, anneaux et corps 207
A.1 Mono(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.4 Homorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.5 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
A.6 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.7 Homomorphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.8 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
TABLE DES MATI¨RES iii
B Le dØterminant 223
B.1 Applications multilinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.2 Le dØterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
B.3 L’adjointe d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
iv TABLE DES MATI¨RES
PrØface
CesnotesdecoursontØtØrØdigØes(cid:224)l’intentiondesØtudiantsducoursd’algŁbrelinØaireII
(MAT 3541) (cid:224) l’UniversitØ d’Ottawa. Les trois premiers chapitres de ces notes prØsentent
une rØvision de notions de base ØtudiØes au cours prØalable d’algŁbre linØaire I (MAT 2541) :
espaces vectoriels, applications linØaires et diagonalisation. Le reste du cours est divisØ en
trois parties. Les chapitres 4 (cid:224) 8 constituent le coeur du cours. Ils culminent avec le thØorŁme
de structure pour les modules de type (cid:28)ni sur un anneau euclidien, un rØsultat gØnØral qui
conduit (cid:224) la fois (cid:224) la forme canonique de Jordan des opØrateurs sur un espace vectoriel
complexe de dimension (cid:28)nie et aussi au thØorŁme de structure pour les groupes abØliens de
type (cid:28)ni. Le chapitre 9 concerne la dualitØ et le produit tensoriel. Tandis que le chapitre 10
traite des thØorŁmes spectraux pour les opØrateurs sur un espace euclidien (aprŁs un rappel
des notions vues au cours prØalable MAT 2541). Par rapport au plan initial, il manque
encore un onziŁme chapitre sur les espaces hermitiens qui sera ajoutØ plus tard. Les notes
sont complØtØes par deux appendices. L’appendice A fournit un rappel des structures de base
de l’algŁbre qui sont utilisØes dans le cours : groupes, anneaux et corps (et les morphismes
entre ces objets). L’appendice B Øtudie quant (cid:224) lui le dØterminant des matrices (cid:224) coe(cid:30)cients
dans un anneau commutatif quelconque avec ses propriØtØs. En gØnØral, le dØterminant est
simplement dØ(cid:28)ni sur un corps et le but de cet appendice est de faire voir que cette notion
se gØnØralise facilement (cid:224) un anneau commutatif quelconque.
Ce cours fournit aux Øtudiants l’occasion d’apprendre la thØorie des modules qui n’est
pas couverte, faute de temps, dans les autres cours d’algŁbre sous-graduØs. Pour simpli(cid:28)er
et rendre le cours plus facilement digestible, j’ai ØvitØ d’introduire les modules quotients.
Cela pourrait Œtre ajoutØ ultØrieurement en exercice (comme dØ(cid:28) pour les Øtudiants les plus
motivØs). D’aprŁs les commentaires que j’ai re(cid:231)us, les Øtudiants apprØcient la richesse des
concepts qui sont prØsentØs dans ce cours et qui leur ouvrent de nouveaux horizons.
Je remercie Pierre Bel qui m’a beaucoup aidØ dans la dactylographie et la mise au point
de ces notes de cours. Je remercie aussi le Rectorat aux (cid:201)tudes de l’UniversitØ d’Ottawa pour
son appui (cid:28)nacier (cid:224) ce projet via le fonds pour le dØveloppement de matØriel pØdagogique
en fran(cid:231)ais. Ce projet n’aurait pas pu voir le jour sans leur appui. En(cid:28)n, je remercie mon
Øpouse Laura Dutto pour son aide dans la rØvision des versions prØliminaires de ces notes
et les Øtudiants qui ont suivi ce cours avec moi (cid:224) l’hiver et (cid:224) l’automne 2009 pour leur
participation et leur commentaires.
Damien Roy Ottawa, janvier 2010.
v
Chapitre 1
Retour sur les espaces vectoriels
Ce chapitre, comme les deux suivants, est consacrØ (cid:224) un rappel des notions fondamentales
d’algŁbre linØaire apprises au cours prØcØdent (MAT 2541). Ce premier chapitre concerne
l’objet d’Øtude privilØgiØ de l’algŁbre linØaire, c’est-(cid:224)-dire les espaces vectoriels. On rappelle
ici les notions d’espace vectoriel, de sous-espace vectoriel, de base, de dimension, de coor-
donnØes, et de somme directe. Le lecteur devra prŒter une attention spØciale (cid:224) la notion de
somme directe puisqu’elle joue un r(cid:244)le fondamental dans la suite.
1.1 La notion d’espace vectoriel
K V
DØ(cid:28)nition 1.1.1. Un espace vectoriel sur un corps est un ensemble muni d’une addition
K
et d’une multiplication par les ØlØments de :
V ×V −→ V K ×V −→ V
et
(u,v) (cid:55)−→ u+v (a,v) (cid:55)−→ av
qui satisfont les axiomes suivants :
(cid:190)
EV1. u+(v+w) = (u+v)+w
u,v,w ∈ V.
pour tout choix de
EV2. u+v = v+u
EV3. 0 ∈ V v+0 = v v ∈ V
Il existe tel que pour tout .
EV4. v ∈ V −v ∈ V v+(−v) = 0
Pour tout , il existe tel que .

EV5. 1v = v 


EV6. a(bv) = (ab)v
a,b ∈ K u,v ∈ V
pour tout choix de et de .
EV7. (a+b)v = av+bv 


EV8. a(u+v) = au+av
(V,+)
Ces huit axiomes s’interprŁtent aisØment. Les quatre premiers signi(cid:28)ent que est un
groupe abØlien (cf. Appendice A). En particulier EV1 et EV2 impliquent que l’ordre dans
1
2 CHAPITRE 1. RETOUR SUR LES ESPACES VECTORIELS
v ,...,v V
lequel on additionne les ØlØments 1 n de n’a(cid:27)ecte par leur somme notØe
(cid:88)n
v +···+v v .
1 n ou i
i=1
0 V
La condition EV3 dØtermine uniquement l’ØlØment de . On l’appelle le vecteur nul de
V
, le terme (cid:16)vecteur(cid:17) Øtant le nom gØnØrique employØ pour dØsigner un ØlØment d’un espace
v ∈ V −v ∈ V
vectoriel. De mŒme, pour chaque , il existe un et un seul vecteur qui satisfait
v
EV4. On l’appelle l’inverse additif de . L’existence de l’inverse additif permet de dØ(cid:28)nir
V
la soustraction dans par
u−v := u+(−v).
Les axiomes EV5 et EV6 ne concernent que la multiplication par un scalaire tandis
que les axiomes EV7 et EV8 lient les deux opØrations. Ces derniers demandent que la
multiplication par un scalaire soit distributive sur l’addition (cid:224) gauche comme (cid:224) droite (c’est-
K V
(cid:224)-dire sur l’addition dans , comme dans ). Ils impliquent les formules de distributivitØ
gØnØrales : (cid:195) (cid:33)
(cid:88)n (cid:88)n (cid:88)n (cid:88)n
a v = a v a v = av
i i et i i
i=1 i=1 i=1 i=1
a,a ,...,a ∈ K v,v ,...,v ∈ V.
quels que soient 1 n et 1 n
On reviendra sur ces axiomes quand on Øtudiera plus loin la notion de module sur un
anneau commutatif qui gØnØralise celle d’espace vectoriel sur un corps.
n ∈ N∗
Exemple 1.1.2. Soit . L’ensemble
 
a
1
(cid:110)  (cid:111)
a
 2 
Kn =   ; a ,a ,...,a ∈ K
. 1 2 n
 . 
.
a
n
n K K
des -uplets d’ØlØments de est un espace vectoriel sur pour les opØrations :
         
a b a +b a ca
1 1 1 1 1 1
         
a b a +b a ca
 2   2   2 2   2   2 
 . + .  =  .  et c .  =  . 
 .   .   .   .   . 
. . . . .
a b a +b a ca
n n n n n n
K1 = K K
En particulier, est un espace vectoriel sur .
m,n ∈ N∗
Exemple 1.1.3. Plus gØnØralement, soient . L’ensemble
 
a ··· a
(cid:110) 11 1n (cid:111)
 
Mat (K) =  .. ..  ; a ,...,a ∈ K
m×n . . 11 mn
a ... a
m1 mn
1.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS 3
m×n K K
des matrices (cid:224) coe(cid:30)cients dans est un espace vectoriel sur pour les opØrations
usuelles :
     
a ··· a b ··· b a +b ··· a +b
11 1n 11 1n 11 11 1n 1n
     
 .. .. + .. ..  =  .. .. 
. . . . . .
a ... a b ... b a +b ... a +b
m1 mn m1 mn m1 m1 mn mn
   
a ··· a ca ··· ca
11 1n 11 1n
   
et c ... ...  =  ... ... .
a ... a ca ... ca
m1 mn m1 mn
X F(X,K) X
Exemple 1.1.4. Soit unensemblequelconque.L’ensemble desfonctionsde dans
K K f: X → K
est un espace vectoriel sur lorsqu’on dØ(cid:28)nit la somme de deux fonctions et
g: X → K f +g: X → K
comme Øtant la fonction donnØe par
(f +g)(x) = f(x)+g(x) x ∈ X
pour tout ,
f: X → K c ∈ K cf: X → K
et le produit de par un scalaire comme Øtant la fonction
donnØe par
(cf)(x) = cf(x) x ∈ X
pour tout .
V ,...,V K
Exemple 1.1.5. En(cid:28)n, si 1 n sont des espaces vectoriels sur , leur produit cartØsien
V ×···×V = {(v ,...,v ); v ∈ V ,...,v ∈ V }
1 n 1 n 1 1 n n
K
est un espace vectoriel sur pour les opØrations
(v ,...,v )+(w ,...,w ) = (v +w ,...,v +w ),
1 n 1 n 1 1 n n
c(v ,...,v ) = (cv ,...,cv ).
1 n 1 n
1.2 Sous-espaces vectoriels
V K
Fixons un espace vectoriel sur un corps .
V U V
DØ(cid:28)nition 1.2.1. Un sous-espace vectoriel de est un sous-ensemble de qui remplit les
conditions suivantes :
0 ∈ U.
SE1.
u,v ∈ U, u+v ∈ U.
SE2. Si alors
u ∈ U c ∈ K, cu ∈ U.
SE3. Si et alors
U V
Les conditions SE2 et SE3 signi(cid:28)ent que est stable sous l’addition dans et stable
K
sous la multiplication par les ØlØments de . On obtient ainsi des opØrations
U ×U −→ U K ×U −→ U
et
(u,v) (cid:55)−→ u+v (a,v) (cid:55)−→ av
U U
sur etonmontreque,pourcesopØrations, estlui-mŒmeunespacevectoriel.Lacondition
U (cid:54)= ∅ U u
SE1 peut Œtre remplacØe par car, si contient un ØlØment , alors SE3 implique que
0u = 0 ∈ U
. NØanmoins, il est gØnØralement tout aussi simple de vØri(cid:28)er SE1. On a donc
4 CHAPITRE 1. RETOUR SUR LES ESPACES VECTORIELS
U V K
Proposition 1.2.2. Un sous-espace vectoriel de est un espace vectoriel sur pour
V U
l’addition et la multiplication par un scalaire restreintes de (cid:224) .
V
Ainsi tous les sous-espaces vectoriels de fournissent de nouveaux exemples d’espaces
U V
vectoriels. De plus, si est un sous-espace de , on peut aussi considØrer les sous-espaces
U V
de . Par contre, on montre que ceux-ci sont simplement les sous-espaces de contenus
U
dans . Cela ne fournit pas de nouveaux exemples. En particulier la notion de sous-espace
est transitive.
U V W U
Proposition 1.2.3. Si est un sous-espace de et si est un sous-espace de , alors
W V
est un sous-espace de .
V
On peut aussi former la somme et l’intersection de sous-espaces de :
U ,...,U V
Proposition 1.2.4. Soient 1 n des sous-espaces de . Les ensembles
U +···+U = {u +···+u ; u ∈ U ,...,u ∈ U }
1 n 1 n 1 1 n n
U ∩···∩U = {u; u ∈ U ,...,u ∈ U }
1 n 1 n
U ,...,U V
appelØs respectivement la somme et l’intersection de 1 n sont des sous-espaces de .
V V K
Exemple 1.2.5. Soient 1 et 2 des espaces vectoriels sur . Alors
U = V ×{0} = {(v ,0); v ∈ V } U = {0}×V = {(0,v ); v ∈ V }
1 1 1 1 1 et 2 2 2 2 2
V ×V
sont deux sous-espaces de 1 2. On trouve que
U +U = V ×V U ∩U = {(0,0)}.
1 2 1 2 et 1 2
1.3 Bases
V K v ,...,v
Danscettesection,on(cid:28)xeunespacevectoriel suruncorps etdesØlØments 1 n
V
de .
v V v ,...,v
DØ(cid:28)nition 1.3.1. On dit qu’un ØlØment de est une combinaison linØaire de 1 n
a ,...,a ∈ K
s’il existe 1 n tels que
v = a v +···+a v .
1 1 n n
On dØsigne par
(cid:104)v ,...,v (cid:105) = {a v +···+a v ; a ,...,a ∈ K}
1 n K 1 1 n n 1 n
v ,...,v
l’ensemble des combinaisons linØaires de 1 n.