Algèbre linéaire I

20 Pages·2017·0.29 MB·French

Exo7
Algèbre linéaire I
ExercicesdeJean-LouisRouget.Retrouveraussicettefichesurwww.maths-france.fr
*trèsfacile **facile ***difficultémoyenne ****difficile *****trèsdifficile
I:Incontournable
Exercice1 **I
SoientF etGdeuxsous-espacesvectorielsd’unespacevectorielE.
Montrerque:[(F∪Gsous-espacedeE)⇔(F ⊂GouG⊂F)].
Correction(cid:72) [005563]
Exercice2 ****
Généralisationdel’exercice1.Soientnunentiersupérieurouégalà2puisF ,...,F nsous-espacesdeE oùE
1 n
(cid:34) (cid:35)
estunespacevectorielsurunsous-corpsKdeC.Montrerque (F ∪...∪F sous-espacedeE)⇔(ilexistei∈[[1,n]]/ (cid:91)F ⊂F) .
1 n j i
j(cid:54)=i
Correction(cid:72) [005564]
Exercice3 **I
E =Kn oùKestunsous-corpsdeC.
Soient F = {(x ,...,x ) ∈ E/ x +...+x = 0} et G = Vect((1,...,1)). Montrer que F est un sous-espace
1 n 1 n
vectorieldeE.MontrerqueF etGsontsupplémentairesdansE.Préciserleprojetéd’unvecteurxdeE surF
parallèlementàGetsurGparallèlementàF.
Correction(cid:72) [005565]
Exercice4 **
LesfamillessuivantesdeR4 sont-elleslibresouliées?Fournirdesrelationsdedépendancelinéairequandces
relationsexistent.
1. (e ,e ,e )oùe =(3,0,1,−2),e =(1,5,0,−1)ete =(7,5,2,1).
1 2 3 1 2 3
2. (e ,e ,e ,e )oùe =(1,1,1,1),e =(1,1,1,−1),e =(1,1,−1,1)ete =(1,−1,1,1).
1 2 3 4 1 2 3 4
3. (e ,e ,e ,e )oùe =(0,0,1,0),e =(0,0,0,1),e =(1,0,0,0)ete =(0,1,0,0).
1 2 3 4 1 2 3 4
4. (e ,e ,e ,e )oùe =(2,−1,3,1),e =(1,1,1,1),e =(4,1,5,3)ete =(1,−2,2,0).
1 2 3 4 1 2 3 4
Correction(cid:72) [005566]
Exercice5 ***
√ √
Montrerque(1, 2, 3)estunefamillelibreduQ-espacevectorielR.
Correction(cid:72) [005567]
Exercice6 **
Soit f(x)=ln(1+x)pourxréelpositif.Soient f = f, f = f◦f et f = f◦f◦f.Etudierlalibertéde(f ,f ,f )
1 2 3 1 2 3
dans[0,+∞[[0,+∞[.
Correction(cid:72) [005568]
Exercice7 **
1
Soit fa(x)=|x−a|pouraetxréels.Etudierlalibertédelafamille(fa)a∈R.
Correction(cid:72) [005569]
Exercice8 **I
Onpose fa(x)=eax pouraetxréels.Etudierlalibertédelafamilledefonctions(fa)a∈R.
Correction(cid:72) [005570]
Exercice9 **
Montrerquetoutesuitedepolynômesnonnulsdedegrésdeuxàdeuxdistinctsestlibre.
Montrerquetoutesuitedepolynômesnonnulsdevaluationsdeuxàdeuxdistinctesestlibre.
Correction(cid:72) [005571]
Exercice10 **I
E =Rn[X].Pour0(cid:54)k(cid:54)n,onposePk =Xk(1−X)n−k.Montrerquelafamille(Pk)0(cid:54)k(cid:54)n estunebasedeE.
Correction(cid:72) [005572]
Exercice11 **IPolynômesd’interpolationde LAGRANGE
Soienta ,...,a n+1nombrescomplexesdeuxàdeuxdistinctsetb ,...,b n+1nombrescomplexes.
0 n 0 n
Montrer qu’il existe une unique famille de n+1 polynômes à coefficients complexes de degré n exactement
vérifiant∀(i,j)∈[[0,n]],L(a )=1sii= jet0sinon.
i j
Montrerquelafamille(Li)0(cid:54)i(cid:54)n estunebasedeCn[X].
Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀i ∈ [[0,n]], P(a) = b.
i i
ExpliciterPpuisdéterminertouslespolynômesvérifiantleségalitésprécédentes.
Correction(cid:72) [005573]
Exercice12 **
1. Calculerpour petqentiersnaturelsdonnéslesintégralessuivantes:
J(p,q)=(cid:82)2πcos(px)cos(qx)dx,K(p,q)=(cid:82)2πcos(px)sin(qx)dxetL(p,q)=(cid:82)2πsin(px)sin(qx)dx.
0 0 0
2. Montrerquelafamilledefonctions(cos(px))p∈N∪(sin(qx))q∈N∗ estlibre.
Correction(cid:72) [005574]
Exercice13 ***I
SoientF etGdeuxsous-espacesvectorielsd’unespacevectorieldedimensionfiniesurK.
Démontrerquedim(F+G)=dimF+dimG−dim(F∩G).
Correction(cid:72) [005575]
Exercice14 **
SoientF,GetH troissous-espacesd’unespacevectorielE dedimensionfiniesurK.
Montrerque:dim(F+G+H)(cid:54)dimF+dimG+dimH−dim(F∩G)−dim(G∩H)−dim(H∩F)+dim(F∩
G∩H).
Trouverunexempleoùl’inégalitéeststricte.
Correction(cid:72) [005576]
Exercice15 ***
SoientF ,F ,...,F nsous-espacesvectorielsd’unespaceE dedimensionfiniesurK(n(cid:62)2).
1 2 n
Montrerquedim(F +...+F )(cid:54)dimF +...+dimF avecégalitésietseulementsilasommeestdirecte.
1 n 1 n
Correction(cid:72) [005577]
2
Exercice16 **I
SoitE unK-espacevectorieldedimensionn(cid:62)3.Montrerquel’intersectionden−1hyperplansdeE estnon
nulle.
Correction(cid:72) [005578]
Exercice17 **
Soient(x ,..,x )unefamilledenvecteursderangr et(x ,...,x )unesousfamillederangs(m(cid:54)nets(cid:54)r).
1 n 1 m
Montrerques(cid:62)r+m−n.Casd’égalité?
Correction(cid:72) [005579]
Exercice18 **
SoientE etF deuxespacesvectorielsdedimensionfinieetsoient f etgdeuxapplicationslinéairesdeE dans
F.Montrerque|rgf −rgg|(cid:54)rg(f +g)(cid:54)rgf +rgg.
Correction(cid:72) [005580]
Exercice19 **
SoientE,F etG,troisK-espacesvectorielspuis f ∈L(E,F)etg∈L(F,G).
Montrerquergf +rgg−dimF (cid:54)rg(g◦ f)(cid:54)Min{rgf,rgg}.
Correction(cid:72) [005581]
Exercice20 ***
SoientE unespacededimensionfinieetF etGdeuxsous-espacesdeE.Conditionnécessaireetsuffisantesur
F etGpourqu’ilexisteunendomorphisme f deE telqueF =Kerf etG=Imf.
Correction(cid:72) [005582]
Exercice21 ***
SoientE unespacevectorielnonnuldedimensionfinieet f unendomorphismedeE.
Montrerque:
1. (f noninjective)⇔(f =0ou f diviseurdezéroàgauche).
2. (f nonsurjective)⇔(f =0ou f diviseurdezéroàdroite).
Correction(cid:72) [005583]
Exercice22 ***I
SoientE unespacededimensionfiniennonnulleet f unendomorphismenilpotentdeE.Montrerque fn=0.
Correction(cid:72) [005584]
Exercice23 ***I
 
8 2 −2
Soient A∈M3,2(R) et B∈M2,3(R) telles que AB= 2 5 4 . Justifier l’existence de A et B puis
−2 4 5
calculerBA.
Correction(cid:72) [005585]
Exercice24 **INoyauxitérés
Soient E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Pour k∈N, on pose N =Ker(fk) et I =Im(fk)
k k
(cid:91) (cid:92)
puisN = N etI= I .(N estlenilespacede f etI lecœurde f)
k k
k∈N k∈N
3
1. (a) Montrer que les suites (Nk)k∈N et (Ik)k∈N sont respectivement croissante et décroissante pour l’in-
clusion.
(b) MontrerqueN etI sontstablespar f.
(c) Montrerque∀k∈N,(N =N )⇒(N =N ).
k k+1 k+1 k+2
2. OnsupposedeplusquedimE =nentiernaturelnonnul.
(a) SoitA={k∈N/N =N }etB={k∈N/I =I }.Montrerqu’ilexisteunentier p(cid:54)ntelque
k k+1 k k+1
A=B={k∈N/k(cid:62) p}.
(b) MontrerqueE =N ⊕I .
p p
(c) Montrerque f estnilpotentetque f ∈GL(I).
/N /I
3. Trouverdesexemplesoù
(a) AestvideetBestnonvide,
(b) AestnonvideetBestvide,
(c) (****)AetBsontvides.
4. Pourk∈N,onposedk =dim(Ik).Montrerquelasuite(dk−dk+1)k∈N estdécroissante.
Correction(cid:72) [005586]
Exercice25 ***I
Soit E un espace vectoriel non nul. Soit f un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille
(x,f(x))soitliée.Montrerque f estunehomothétie.
Correction(cid:72) [005587]
Exercice26 ***I
SoitE unespacededimensionfinie.Trouverlesendomorphismes(resp.automorphismes)deE quicommutent
avectouslesendomorphismes(resp.automorphismes)deE.
Correction(cid:72) [005588]
Exercice27 **I
Soient petqdeuxprojecteursd’unC-espacevectorielE.
Montrerque(p+qprojecteur)⇔(p◦q=q◦p=0)⇔(Im(p)⊂Ker(q)etIm(q)⊂Ker(p)).
Danslecasoù p+qestunprojecteur,déterminerKer(p+q)etIm(p+q).
Correction(cid:72) [005589]
Exercice28 **I
SoitE unespacededimensionfinie.Montrerquelatraced’unprojecteurestsonrang.
Correction(cid:72) [005590]
Exercice29 ****
Soient p ,..., p nprojecteursd’unC-espacededimensionfinie.Montrerque(p +...+p projecteur)⇔∀i(cid:54)=
1 n 1 n
j, p ◦p =0.
i j
Correction(cid:72) [005591]
Exercice30 ***
SoitE unC-espacededimensionfinien.Soient p ,..., p nprojecteursnonnulsdeE telsque∀i(cid:54)= j, p ◦p =0.
1 n i j
1. Montrerquetousles p sontderang1.
i
2. Soientq ,...,q nprojecteursvérifiantlesmêmeségalités.Montrerqu’ilexisteunautomorphisme f de
1 n
E telque∀i∈[[1,n]],q = f ◦p ◦ f−1.
i i
4
Correction(cid:72) [005592]
Exercice31 ***
Soit E un espace vectoriel. Soit G un sous-groupe fini de GL(E) de cardinal n. Soit F un sous-espace de E
stablepartouslesélémentsdeGet punprojecteurd’imageF.Montrerque 1∑ g◦p◦g−1estunprojecteur
n g∈G
d’imageF.
Correction(cid:72) [005593]
Exercice32 ***
SoitGunsous-groupefinideGLn(R)telque∑M∈GTr(M)=0.Montrerque∑M∈GM=0.
Correction(cid:72) [005594]
Exercice33 ***
SoitGunsous-groupedeGL(E)avecdimE =netcardG= p.SoitF ={x∈E/∀g∈G, g(x)=x}.
MontrerquedimF = 1∑ Trg.
p g∈G
Correction(cid:72) [005595]
Exercice34 ***I
Soient A ,..., A p matrices distinctes et inversibles de M (R) telles que G={A ,...,A } soit stable pour la
1 p n 1 p
multiplication.SoitA=A +...+A .MontrerqueTrAestunentierdivisiblepar p.
1 p
Correction(cid:72) [005596]
Exercice35 ****
MontrerquetouthyperplandeM (R)contientdesmatricesinversibles.
n
Correction(cid:72) [005597]
5
Correctiondel’exercice1(cid:78)
⇐)SiF ⊂GouG⊂F alorsF∪G=GouF∪G=F.Danstouslescas,F∪Gestunsous-espacevectoriel.
⇒)SupposonsqueF (cid:54)⊂GetqueF∪Gestunsous-espacevectorieldeE etmontronsqueG⊂F.
F n’estpasinclusdansGetdoncilexistexélémentdeE quiestdansF etpasdansG.
SoityunélémentdeG.x+yestdansF∪GcarxetyysontetcarF∪Gestunsous-espacevectorieldeE.Si
x+yestélémentdeGalorsx=(x+y)−yl’estaussicequiestexclu.Doncx+yestélémentdeF etparsuite
y=(x+y)−xestencoredansF.Ainsi,toutélémentdeGestdansF etdoncG⊂F.
Correctiondel’exercice2(cid:78)
⇐)Immédiat.
⇒)Onraisonneparrécurrencesurn.
Pourn=2,c’estl’exercice1.
Soitn(cid:62)2.Supposonsquetouteréuniondensous-espacesdeE estunsous-espacedeE sietseulementsil’un
decessous-espacescontienttouslesautres.
SoientF ,...,F ,F n+1sous-espacesvectorielsdeE telsqueF ∪...∪F soitunsous-espacevectorielde
1 n n+1 1 n+1
E.PosonsF =F ∪...∪F .
1 n
•SiF contientF,c’estfini.
n+1
• Si F ⊂F, alors =F ∪...∪F =F ∪...∪F ∪F est un sous-espace vectoriel de E. Par hypothèse de
n+1 1 n 1 n n+1
récurrence, F est l’un des F pour un certain i élément de [[1,n]]. F =F contient également F et contient
i i n+1
donctouslesF pour j élémentde[[1,n+1]].
j
•SupposonsdorénavantqueF (cid:54)⊂F etqueF (cid:54)⊂F etmontronsquecettesituationestimpossible.
n+1 n+1
IlexisteunvecteurxquiestdansF etpasdansF etunvecteuryquiestdansF etpasdansF .
n+1 n+1
Soitλ unélémentdeK.y−λxestunélémentdeF∪F (puisqueF∪F estunsous-espace)maisy−λx
n+1 n+1
n’estpasdansF caralorsy=(y−λx)+λxyseraitcequin’estpas.
n+1
Donc∀λ ∈K,y−λx∈F.Onendéduitquepourtoutscalaireλ,ilexisteunindicei(λ)élémentde[[1,n]]telque
y−λx∈F .Remarquonsenfinquesiλ (cid:54)=µ alorsi(λ)(cid:54)=i(µ).Eneffet,sipourλ etµ deuxscalairesdistincts
i(λ)
donnés,ilexisteunindiceiélémentde[[1,n]]telquey−λxety−µxsoientdansF,alorsx= (y−µx)−(y−λx) est
i µ−λ
encoredansF etdoncdansF,cequin’estpas.
i
Comme l’ensemble des scalaires est infini et que l’ensemble des indices ne l’est pas, on vient de montrer que
cettedernièresituationn’estpaspossible,cequiachèveladémonstration.
Correctiondel’exercice3(cid:78)
1èresolution.F estlenoyaud’uneformelinéairenonnullesurE etestdoncunhyperplandeE.
Soit x=(x ,...,x ) un élément de F∩G. Il existe λ ∈K tel que x=(λ,...,λ) et nλ =0 et donc λ =0 puis
1 n
x=0.DoncF∩G={0}.Deplusdim(F)+dim(G)=n−1+1=n=dim(E)<+∞etdoncF⊕G=E.
Soit x=(x ,...,x ) un vecteur de E. Soit λ ∈K. x−(λ,...,λ)∈F ⇔(x −λ)+...+(x −λ)=0⇔λ =
1 n 1 n
n1∑ni=1xi.LeprojetédexsurGparallèlementàF estdonc 1n∑ni=1xi(1,...,1)etleprojetédexsurF parallèlement
2àèGmeestsoxl−utn1io∑nni=(d1axni(s1,l.e..c,1as).où K = R). On munit Rn de sa structure euclidienne canonique. Posons →−u =
(1,...,1).
→−
OnaF = u⊥=G⊥.Parsuite,F estlesupplémentaireorthogonaldeF.
Soitx∈E.LeprojetéorthogonaldexsurGest x.u u= x1+...+xn(1,...,1).
(cid:107)u(cid:107)2 n
Correctiondel’exercice4(cid:78)
 
3 1 7
1. La matrice de la famille (e1,e2,e3) dans la base canonique de R4 est  01 50 52 . Les trois
−2 −1 1
dernières équations du système λe +µe +νe =0 d’inconnues λ, µ et ν forment un sous-système
1 2 3
6
 
0 5 5
dematriceA= 1 0 2 
−2 −1 1
Endéveloppantledéterminantdecettematricesuivantsapremièrecolonne,onobtientdet(A)=−10−
2×10 = −30 (cid:54)= 0. Ce sous-système est de CRAMER et admet donc l’unique solution (λ,µ,ν) =
(0,0,0).Parsuite,lafamille(e ,e ,e )estlibre.
1 2 3
2.
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 1 1 1 (cid:12) (cid:12) 1 1 1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12) 11 11 −11 −11 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=(cid:12)(cid:12)(cid:12) 00 00 −02 −02 (cid:12)(cid:12)(cid:12) (pour2(cid:54)i(cid:54)4, Li←Li−L1)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 −1 1 1 (cid:12) (cid:12) 0 −2 0 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 0 −2 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
=(cid:12) 0 −2 0 (cid:12)=−8(cid:54)=0.
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) −2 0 0 (cid:12)
Donclafamille(e ,e ,e ,e )estunefamillelibre(etdoncunebasedeE).
1 2 3 4
3. Notons(u ,u ,u ,u )labasecanoniquedeR4.
1 2 3 4
La famille (e ,e ,e ,e )=(u ,u ,u ,u ) a même rang que la famille (u ,u ,u ,u ) c’est-à-dire 4. La
1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4
famille(e ,e ,e ,e )estdoncunebasedeR4.
1 2 3 4
 
1 2 4 1
4. La matrice de la famille (e2,e1,e3,e4) dans la base canonique de R4 est  11 −31 51 −22 . Cette
1 1 3 0
matriceamêmerangquelesmatricessuivantes:
 
1 0 0 0
 1 −3 −3 −3 
 1 1 1 1 (e5=e1−2e2,e6=e3−4e2 ete7=e4−e2)
1 −1 −1 −1
 
1 0 0 0
 1 −3 0 0 
 1 1 10 0 (e8=e6−e5 ete9=e7−e5).
1 −1 0 0
Lamatriceci-dessusestderang2.Ilenestdemêmedelafamille(e ,e ,e ,e )quiestenparticulierliée.
1 2 3 4
Lanullitédelatroisièmecolonnefournit0=e =e −e =(e −4e )−(e −2e )=−e −2e +e et
8 6 5 3 2 1 2 1 2 3
donce =e +2e .Lanullitédelaquatrièmecolonnefournit0=e =e −e =(e −e )−(e −2e )=
3 1 2 9 7 5 4 2 1 2
e +e −e etdonce =e −e .
4 2 1 4 1 2
Correctiondel’exercice5(cid:78)
Soit(a,b,c)∈Q3.
√ √ √ √ √ √
a+b 2+ 3=0⇒(a+b 2)2=(−c 3)2⇒a2+2b2+2ab 2=3c2⇒2ab 2∈Q.
√
Mais 2estirrationneldoncab=0.
√ √
Si b=0, puisque a+c=0 et que 3 est irrationnel, on en déduit que c=0 (sinon 3 serait rationnel) puis
a=0etfinalementa=b=c=0.
(cid:113)
Si a=0, il reste 2b2 =3c2. Mais 3 est irrationnel (dans le cas contraire, il existe deux entiers p et q non
2
nuls tels que 3q2 =2p2 et par exemple l’exposant du nombre premier 2 n’a pas la même parité dans les deux
membresdel’égalitécequiestimpossible)etdoncb=c=0puisencoreunefoisa=b=c=0.
√ √ √ √
On a montré que ∀(a,b,c)∈Q3, (a+b 2+ 3=0⇒a=b=c=0). Donc la famille (1, 2, 3) est une
famillederéelsQ-libre.
7
Correctiondel’exercice6(cid:78)
Lesfonctions f , f et f sontbiendéfiniessurR+.
1 2 3
Soienta,betctroisréelstelsqueaf +bf +cf =0.
1 2 3
Premièresolution.Siaestnonnul,lafonctionaf +bf +cf estéquivalenteauvoisinagede+∞àalnxetne
1 2 3
peutdoncêtreégaleàlafonctionnulle.Donca=0.Puissibestnonnul,lafonctionaf +bf +cf =bf +cf
1 2 3 2 3
estéquivalenteàbln(lnx)etnepeutêtreégaleàlafonctionnulle.Doncb=0.Puisc=0.
Deuxième solution. On effectue un développement limité à un ordre suffisant de la fonction af +bf +cf
1 2 3
quandxtendvers0:
f (x)=ln(1+x) = x−x2 +x3 +o(x3)puis
1 2 3
x→0
(cid:18) x2 x3 (cid:19) (cid:18) x2 x3(cid:19) 1(cid:18) x2(cid:19)2 1
f (x)=ln(1+ f (x)) = ln 1+x− + +o(x3) = x− + − x− + x3+o(x3)
2 1
x→0 2 3 2 3 2 2 3
7
=x−x2+ x3+o(x3)
6
puis
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
f (x)=ln(1+ f (x)) = ln 1+x−x2+7x3+o(x3) = x−x2+7x3 −1(cid:0)x−x2(cid:1)2+1x3+o(x3)
3 2
x→0 6 6 2 3
3 5
=x− x2+ x3+o(x3).
2 2
Par suite, af (x)+bf (x)+cf (x) = (a+b+c)x+(cid:0)−a−b−3c(cid:1)x2+(cid:0)a+7b+5c(cid:1)x3+o(x3). L’égalité
1 2 3 2 2 3 6 2
x→0
af +bf +cf =0fournit, paridentificationdesparties régulièresdesdéveloppements limitésàl’ordretrois
1 2 3
enzéro:

a+b+c=0 
 a+b+c=0
 −a−b−3c =0 
2 2 ouencore a+2b+3c=0 .
 a+7b+5c  2a+7b+15c=0
3 6 2
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 1 1 (cid:12) (cid:12) 1 0 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Comme(cid:12) 1 2 3 (cid:12)=(cid:12) 1 1 1 (cid:12)=3(cid:54)=0,onadonca=b=c=0.
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 2 7 15 (cid:12) (cid:12) 2 5 8 (cid:12)
Correctiondel’exercice7(cid:78)
Soientnunentiernaturelnonnulpuisa ,...,a nréelsdeuxàdeuxdistinctsetλ ,...,λ nréels.
1 n 1 n
Supposons λ1fa1+...+λnfan =0. Soit i un élément de [[1,n]]. On a λifai =−∑j(cid:54)=iλjfaj et on ne peut avoir
λ (cid:54)=0caralorslemembredegaucheestunefonctionnondérivableena tandisquelemembrededroitel’est.
i i
Parsuite,touslesλi sontnulsetdonclafamille(fai)1(cid:54)i(cid:54)n estlibre.
Onamontréquetoutesous-famillefiniedelafamille(fa)a∈R estlibreetdonclafamille(fa)a∈R estlibre.
Correctiondel’exercice8(cid:78)
Soienta1<...<an nréelsdeuxàdeuxdistinctsetλ1,...,λn nréelstelsque∑ni=1λifai =0(∗).
Première solution. Après multiplication des deux membres de (∗) par e−anx puis passage à la limite quand x
tendvers+∞,onobtientλ =0.Enréitérant,onobtientdoncλ =λ =...=λ =0.
n n n−1 1
Deuxièmesolution.Onnote f lafonctionapparaissantaupremiermembrede(∗).
f =0⇒∀k∈[[0,,n−1]], f(k)(0)=0
⇒∀k∈[[0,n−1]], λ ak+...+λ ak =0.
1 1 n n
8
Le système prédédent d’ inconnues λ, 1(cid:54)n, est un système linéaire homogène à n équations et n inconnues.
i
Son déterminant est le déterminant de Vandermonde des a et est non nul puisque les a sont deux à deux
i i
distincts.Lesystèmeestdoncde CRAMERetadmetl’uniquesolution(0,...,0).
Troisièmesolution.(danslecasoùonserestreintàdémontrerlalibertédelafamille(x(cid:55)→enx)n∈N).
Soientn1<...<np pentiersnaturelsdeuxàdeuxdistincts.Supposonsquepourtoutréelxonait∑ni=1λienix=
0. On en déduit que pour tout réel strictement positift, on a ∑ni=1λitni =0 et donc le polynôme ∑ni=1λiXni est
nul (car a une infinité de racines) ou encore les coefficients du polynôme ∑ni=1λiXni à savoir les λi sont tous
nuls.
Quatrième solution. (pour les redoublants) L’application ϕ qui à f de classeC∞ fait correspondre sa dérivée
est un endomorphisme de l’espace des fonctions de classe C∞ sur R à valeurs dans R. Pour a réel donné,
ϕ(fa)=afa etlafamille(fa)a∈R estconstituéedevecteurspropresdeϕ (les fa sontnonnulles)associésàdes
valeurspropresdeuxàdeuxdistinctes.Onsaitqu’unetellefamilleestlibre.
Correctiondel’exercice9(cid:78)
SoientnunentiernaturelnonnulpuisP ,...,P npolynômesnonnulsdedegrésrespectifsd <...<d .
1 n 1 n
Soit(λ ,...,λ )∈Kn telqueλ P +...+λ P =0.Supposonsparl’absurdequelesλ nesoientpastousnuls
1 n 1 1 n n i
etposonsk=Max{i∈[[1,n]]/λ (cid:54)=0}.Onnepeutavoirk=1carP (cid:54)=0puis
i 1
λ1P1+...+λnPn=0⇒λ1P1+...+λkPk =0⇒λkPk =−∑i<kλiPi.
Cette dernière égalité est impossible car λkPk est un polynôme de degré dk (car λk (cid:54)=0) et −∑i<kλiPi est un
polynômededegréauplusd <d .Donctouslesλ sontnuls.
k−1 k k
Lamêmedémarchetientenremplaçantdegréparvaluationetens’intéressantàlapluspetitevaluationaulieu
duplusgranddegré.
Correctiondel’exercice10(cid:78)
Premièresolution.ChaqueP,0(cid:54)k(cid:54)n,estdedegrék+n−k=netestdoncdansR [X].
k n
Les polynômes P, 0(cid:54)k(cid:54)n ont des valuations deux à deux distinctes et donc constituent une famille libre.
k
Commedepluscard(Pk)0(cid:54)k(cid:54)n=n+1=dim(E)<+∞,lafamille(Pk)0(cid:54)k(cid:54)n estunebasedeE.
Deuxièmesolution.LamatricecarréeM delafamille(Pk)0(cid:54)k(cid:54)n danslabasecanoniquedeRn[X]esttriangu-
laireinférieure.Sescoefficientsdiagonauxsonttousnonnulscarégauxà1.M estdoncinversibleet(Pk)0(cid:54)k(cid:54)n
estunebasedeE.
Correctiondel’exercice11(cid:78)
Unicité.Soiti∈[[0,n]].L doitadmettrelesnracinesdeuxàdeuxdistinctesa où jestdifférentdeietdoncL
i j i
est divisible par le polynôme ∏j(cid:54)=i(X−aj). Li doit être de degré n et donc il existe un réel non nul λ tel que
Li=λ∏j(cid:54)=i(X−aj).EnfinLi(ai)=1fournitλ = ∏j(cid:54)=i(1ai−aj).AinsinécessairementLi=∏j(cid:54)=iaXi−−aajj.
Existence.LesL ainsidéfinisconviennent.
i
∀i∈[[0,n]], Li=∏j(cid:54)=iaXi−−aajj.
Montronsquelafamille(Li)0(cid:54)i(cid:54)n estlibre.
Soient λ ,..., λ n+1 nombres complexes tels que λ L +...+λ L =0. En particulier, pour un indice i de
0 n 0 0 n n
[[0,n]] donné, ∑nj=0λjLj(ai)=0 et donc λi =0 au vu des égalités définissant les Lj. La famille (Li)0(cid:54)i(cid:54)n est
libre.
De plus les Li sont tous dans Cn[X] et vérifient card(Li)0(cid:54)i(cid:54)n = n+1 = dimCn[X] < +∞. Donc la famille
(Li)0(cid:54)i(cid:54)n estunebasedeCn[X].
SoitPunpolynômequelconquededegréinférieurouégalàn.
On écrit P dans la base (Lj)0(cid:54)j(cid:54)n : P=∑nj=0λjLj. En prenant la valeur en ai, i donné dans [[0,n]], on obtient
λi=P(ai).D’oùl’écrituregénéraled’unpolynômededegréinférieurouégalàndanslabase(Li)0(cid:54)i(cid:54)n :
9
∀P∈C [X],P=P(a )L +...+P(a )L .
n 0 0 n n
Maisalors:(∀i∈[[0,n]], P(a)=b)⇒P=b L +...+b L .
i i 0 0 n n
Réciproquement le polynôme P = b L +...+b L vérifie bien sûr les égalités demandées et est de degré
0 0 n n
inférieurouégalàn.
Ainsi, il existe un et un seul polynôme de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀i∈[[0,n]], P(a)=b à savoir
i i
P0=∑ni=0biLi.
SoientP∈C[X]etR=(X−a )...(X−a )(deg(R)=n+1).
0 n
(∀i∈[[0,n]] P(a)=b)⇔(∀i∈[[0,n]] P(a)=P (a))
i i i 0 i
⇔P−P admetlesn+1racinesdeuxàdeuxdistinctesa ,...,a
0 0 n
⇔P−P estdivisibleparR⇔∃Q∈C[X]/P=P +QR.
0 0
LespolynômescherchéssontlesP +QRoùQdécritC[X].
0
Correctiondel’exercice12(cid:78)
1. Pour petqentiersrelatifs,posonsI(p,q)=(cid:82)2πei(p−q)xdx.
0
Si p(cid:54)=q,I(p,q)= 1 (cid:2)ei(p−q)x(cid:3)2π =0.Soientalors petqdeuxentiersnaturels.
i(p−q) 0
Donc si p (cid:54)= q, J(p,q)1Re(I(p,q)+I(p,−q)) = 0 puis K(p,q) = 1Im(I(p,−q)−I(p,q)) = 0 puis
2 2
L(p,q)= 1Re(I(p,−q)−I(p,q))=0.
2
Si p=q,J(p,p)=2π si p=0etπ si p(cid:54)=0puisK(p,p)=0puisL(p,p)=π si p(cid:54)=0et0si p=0.
2. Sur l’espace E des fonctions continues sur R à valeurs dans R et 2π-périodiques, l’application qui
à (f,g) élément de E2 associe (cid:82)2π f(t)g(t) dt est classiquement un produit scalaire. La famille de
0
fonctionsproposéeestunefamilleorthogonalepourceproduitscalaireetnecontientpaslevecteurnul
deE.Cettefamilleestdoncestlibre.
Correctiondel’exercice13(cid:78)
Soit f l’applicationdeF×GdansE quiàunélément(x,y)deF×Gassociex+y.
f estclairementlinéaireetd’aprèslethèorèmedurang
dim(F×G)=dim(Kerf)+dim(Imf)avecdim(FxG)=dimF+dimGetdim(Imf)=dim(F+G).
IlresteàanalyserKerf.
Soit(x,y)∈E2.(x,y)est élémentde Kerf si etseulement six est dansF,yest dansGetx+y=0 ouencore
sietseulementsixetysontdansF∩Gety=−x.DoncKerf ={(x,−x), x∈F∩G}.
Montrons enfin que Kerf est isomorphe à F∩G. Soit ϕ l’application de F∩G dans Kerf qui à l’élément x
de F∩G associe (x,−x) dans Kerf. ϕ est clairement une application linéaire, clairement injective et claire-
ment surjective. Donc ϕ est un isomorphisme de F∩G sur Kerf et en particulier dim(Kerf)=dim(F∩G).
Finalement
dim(F+G)=dimF+dimG−dim(F∩G).
Correctiondel’exercice14(cid:78)
dim(F+G+H)=dim((F+G)+H)=dim(F+G)+dimH−dim((F+G)∩H)
=dimF+dimG+dimH−dim(F∩G)−dim((F+G)∩H).
10