Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES

58 Pages·2007·0.38 MB·French

Alg`ebre lin´eaire et g´eom´etrie pour le
CAPES1
Olivier DEBARRE
1Version tr`es pr´eliminaire

Table des mati`eres
Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications lin´eaires 5
1. D´efinitions 5
2. Applications lin´eaires 5
3. Bases 5
Chapitre 2. R´eduction des endomorphismes 7
1. Sous-espaces stables 7
2. Sous-espaces propres et polynˆome caract´eristique 8
3. Trigonalisation 9
4. Polynoˆme minimal 10
5. Espaces caract´eristiques 11
6. D´ecomposition de Dunford 14
Chapitre 3. G´eom´etrie affine 17
1. Espaces et sous-espaces affines 17
2. Applications affines 17
3. Rep`eres 18
4. Barycentres 18
5. Convexes 21
Chapitre 4. Espaces vectoriels euclidiens 23
1. Produit scalaire, norme 23
2. Bases orthogonales, bases orthonorm´ees 24
3. Endomorphismes sym´etriques 25
4. Isom´etries 27
5. Isom´etries du plan complexe 28
6. Isom´etries et d´eplacements de l’espace 28
7. Produit vectoriel 29
Chapitre 5. Espaces affines euclidiens 31
1. Projection sur un convexe 31
2. Isom´etries affines 33
3. Isom´etries et d´eplacements du plan 35
4. Similitudes 39
3
4 TABLE DES MATIE`RES
5. Similitudes planes 40
6. Homographies 41
7. Isom´etries et d´eplacements de l’espace 42
Chapitre 6. Coniques et quadriques 45
1. Formes quadratiques 45
2. D´efinition des quadriques 47
3. Classification euclidienne des coniques 49
4. Classification euclidienne des quadriques 51
5. Coniques 51
6. Application `a la r´esolution d’´equations quadratiques dans Z 55
7. Quadriques sur un corps fini 57
CHAPITRE 1
Espaces vectoriels et applications lin´eaires
1. D´efinitions
Espace vectoriel, sous-espace vectoriel.
Exemples : Rn, plan et droites dans R3.
Intersection de sous-espaces vectoriels, sous-espace vectoriel engendr´e par une
partie S comme intersection des sous-espaces contenant S ou comme ensemble des
combinaisons lin´eaires d’´el´ements de S.
Somme de sous-espaces vectoriels comme sous-espace vectoriel engendr´e par la
r´eunion ou comme ensemble de sommes d’´el´ements de chaque sous-espace vectoriel.
Somme directe, exemples dans R3.
2. Applications lin´eaires
D´efinition,image,noyau(exempleavec´equationsdansR3).Exemples:sym´etries
et projections.
3. Bases
Famille g´en´eratrice, libre; base. Th´eor`emes fondamentaux sur l’existence des
bases.
Formule du rang, formule de Grassmann.
5

CHAPITRE 2
R´eduction des endomorphismes
Dans tout ce chapitre, u d´esigne un endomorphisme d’un espace vectoriel E non
nul de dimension n > 0 sur un corps k.
Le but de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes est de trouver une
base de E dans laquelle la matrice de u soit « la plus simple possible ». Il y a bien
suˆr plusieurs fa¸cons de comprendre cette expression, et donc diff´erents types de
r´eduction.
Du point de vue matriciel, cela revient, ´etant donn´ee une matrice carr´ee M, a`
trouver une matrice inversible P telle que P−1MP soit « la plus simple possible ».
1. Sous-espaces stables
Un sous-espace vectoriel F de E est stable u si l’image par u de tout point de
F est encore dans F. On ´ecrit u(F) ⊂ F. C’est une notion tr`es importante.
Si F est un sous-espace stable de E et que G est un suppl´ementaire de F dans E,
c’est-a`-dire que l’on a E = F ⊕G, la matrice de u dans une base de E constitu´ee de
la r´eunion d’une base B de F et d’une base B de G est «triangulaire sup´erieure
F G
par blocs », c’est-`a-dire de la forme
(cid:18) (cid:19)
A B
0 D
ou` A est la matrice dans la base B de la restriction de u a` F. La d´etermination
F
d’un sous-espace stable est donc d´eja` le d´ebut d’une r´eduction de u.
Si on peut trouver un suppl´ementaire G qui est aussi stable par u (mais ce n’est
pas toujours possible), on a B = 0 dans la matrice ci-dessus, qui est donc de la
forme
(cid:18) (cid:19)
A 0
0 D
On dit qu’elle est « diagonale par blocs ». On peut donc pr´eciser l’objectif de la
r´eduction:trouveruned´ecompositiondeE ensommedirectedesous-espacesstables
par u tels que la restriction de u a` chacun de ces sous-espaces (correspondant a`
chacun des « blocs ») soit « la plus simple possible ».
7
8 2. RE´DUCTION DES ENDOMORPHISMES
Exercice 1. Trouver une droite de R2 stable par l’endomorphisme u d´efini
par
u(x,y) = (x,x+y)
Admet-elle un suppl´ementaire stable?
2. Sous-espaces propres et polynoˆme caract´eristique
L’endomorphisme le plus simple est une homoth´etie. Suivant le principe ci-
dessus, on cherche un sous-espace de E sur lequel u est une homoth´etie de rapport
λ ∈ k. Dans ce but, on d´efinit, pour chaque λ ∈ k, l’espace propre de u associ´e par
E = Ker(u−λId )
λ E
C’est un sous-espace vectoriel stable de E sur lequel u est l’homoth´etie de rapport
λ. Un´el´ement de E s’appelle un vecteur propre de u (pour la valeur propre λ). Pour
λ
des raisons techniques, on suppose souvent un vecteur propre non nul (de sorte que
la valeur propre associ´ee est bien d´etermin´ee). Les valeurs propres de u sont les
´el´ements λ de k pour lesquels existe un vecteur propre (non nul). C’est le cas si et
seulement si l’endomorphisme u−λId n’est pas injectif, ou encore pas bijectif, vu
E
que l’on est en dimension finie. Les valeurs propres de u sont donc les racines dans
k du polynˆome caract´eristique
χ (X) = d´et(XId −u)
u E
polynoˆme unitaire de degr´e n a` coefficients dans k. Pratiquement, on calcule donc
les valeurs propres en cherchant les racines du polynoˆme caract´eristique. Lorsque
k = C, il existe toujours des valeurs propres (puisqu’on a suppos´e n > 0).
La multiplicit´e de la valeur propre λ est par d´efinition sa multiplicit´e comme
racine de χ .
u
Exercice 2. L’endomorphisme u de R2 d´efini par
u(x,y) = (y,−x)
a-t-il des valeurs propres?
Les espaces propres sont en somme directe, mais leur somme n’est E que si u
est diagonalisable. Par exemple, la seule valeur propre de la matrice carr´ee
 
0 1 0 ··· ... 0
0 0 1 0 ... 0
 
... ... ... ... ...
(1) U =  
s ... ... ... 0
 
0 ··· ··· ··· 0 1
0 ··· ··· ··· ··· 0
est 0, et l’espace propre associ´e est de dimension 1.
3. TRIGONALISATION 9
Exercice 3. Montrer que l’endomorphisme de kn de matrice
 
1 ··· 1
. .
. .
. .
1 ··· 1
dans la base canonique est diagonalisable en d´eterminant ses valeurs propres et
ses espaces propres.
3. Trigonalisation
On dit que u est trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice
est triangulaire sup´erieure.
Exercice 4. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice d’un
endomorphisme trigonalisable est triangulaire inf´erieure.
The´ore`me 1. Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son po-
lynˆome caract´eristique est scind´e dans k.
En particulier, lorsque k = C, tout endomorphisme est trigonalisable.
De´monstration. On proc`ede par r´ecurrence sur la dimension n de E. Il existe par
hypoth`ese une racine λ dans k du polynoˆme caract´eristique, c’est-`a-dire une valeur
propre. Soit e un vecteur propre associ´e, soit E la droite vectorielle engendr´ee par
1
e et soit E un suppl´ementaire de E dans E. On est dans la situation ´evoqu´ee plus
2 1
haut : la matrice de u dans une base de E constitu´ee de e et d’une base de E est
2
« triangulaire sup´erieure par blocs » du type
(cid:18) (cid:19)
λ B
0 D
On peut appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence a` l’endomorphisme de E de matrice
2
D : dans une base convenable de E , sa matrice est triangulaire sup´erieure. Si on
2
ajoute e a` cette base, on obtient une base de E dans laquelle la matrice de u est
triangulaire sup´erieure. (cid:3)
Exercice 5. Soit u un endomorphisme nilpotent de E, c’est-`a-dire tel qu’il
existe un entier r > 0 tel que ur = 0.
(a) Montrer que u n’est pas injectif.
(b) Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est de la
(cid:18) (cid:19)
0 B
forme , ou` D est une matrice carr´ee d’ordre n−1.
0 D
(c) Montrer que la matrice D est nilpotente.
10 2. RE´DUCTION DES ENDOMORPHISMES
(d) Montrer par r´ecurrence sur n qu’il existe une base dans laquelle la ma-
trice de u est triangulaire sup´erieure avec des 0 sur la diagonale. D´eterminer le
polynˆome caract´eristique de u.
(e) Montrer un = 0.
4. Polynˆome minimal
Si P(X) = a +a X+···+a Xr est un polynˆome a` coefficients dans k, on note
0 1 r
P(u) l’endomorphisme a Id +a u+···+a ur de E. On d´efinit ainsi un morphsime
0 E 1 r
de k-alg`ebres
ϕ : k[X] −→ End(E)
u
P (cid:55)−→ P(u)
Cela signifie que l’on a (P + Q)(u) = P(u) + Q(u) et (PQ)(u) = P(u) ◦ Q(u).
L’espace vectoriel End(E) des endomorphismes de E ´etant de dimension finie n2, la
famille {Id ,u,u2,...,un2} est li´ee. Il existe donc un polynˆome non nul P (de degr´e
E
au plus n2) tel que P(u) = 0. En d’autres termes, le morphisme ϕ n’est pas injectif.
u
Son noyau est un id´eal non nul de l’anneau principal k[X] donc est engendr´e par un
polynoˆme unitaire uniquement d´etermin´e, que l’on appelle le polynˆome minimal de
u, et que l’on notera µ . C’est le polynoˆme unitaire de plus petit degr´e qui annule
u
u. Il est toujours de degr´e > 0 (car E (cid:54)= 0).
Exemples 1. (1) Le polynoˆme minimal de l’homoth´etie λId est X − λ; en
E
particulier, le polynoˆme minimal de l’endomorphisme nul est X.
(2) On d´efinit de fac¸on analogue le polynˆome minimal d’une matrice carr´ee M
a` coefficients dans k. Notons que le polynoˆme minimal de M reste le polynˆome
minimal de la matrice M vue comme matrice a` coefficients dans n’importe quel
corps contenant k. Cela r´esulte du fait que le degr´e du polynˆome minimal est le
rang de la famille {Mr} .
r∈N
Exercice 6. Montrer que si u est nilpotent, son polynˆome minimal est Xs,
avec s (cid:54) n (utiliser l’exercice 5.(e)).
Lemme 1. Les valeurs propres de u sont exactement les racines dans k de son
polynˆome minimal.
De´monstration. Soit λ ∈ k; en substituant u a` X dans la division euclidienne
µ (X) = Q(X)(X −λ)+µ (λ), on obtient
u u
(2) 0 = µ (u) = Q(u)◦(u−λId )+µ (λ)Id
u E u E
Si λ est valeur propre de u, on a u(x) = λx pour un vecteur propre (non nul) x. Si
on applique l’´egalit´e (2) a` x, on obtient
(cid:0) (cid:1)
0 = Q(u) (u−λId )(x) +µ (λ)x = µ (λ)x
E u u